Introduccion a la probabilidad

Probabilidad Es el lenguaje para cuantificar la incertidumbre -Wasserman

  1. Terminologia de probabilidad: Espacio de resultados, eventos, fuinciones de probabilidad, etc.
  2. Interpretacion frecuentista de la probabilidad.
  3. Probabilidad condicional y sus relacion con la independencia

##Espacio de resultados Y eventos.

El Espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aletorio.

Por ejemplo si lanzamos una moneda dos veces entoces:

\[ \Omega =\{AA, AS, SA, SS\ } \] Un evento es un subconjunto del espacia muestral, los eventos usualmente se denotan por mayusculas

Por ejemplo Que el primer lanzamiento resulte aguila.

\[ A=\{AA, AS\} \] Por ejemplo Que el primer lanzamiento resulte sello.

\[ S=\{SS,SA\} \] ##Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extension de la idea de proporcion, o cociente de una parte con respecto a con un todo.

Por ejemplo En la carrera de ingeneria quimica hay 300 estudiantes que son hombres y 700 mujeres,la proporcion de hombres es:

\[ \frac{300}{700+300} =0.3 \] Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \] Por lo que solo hace falta contar

Por ejemplo Conbinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comites, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comites que incluyen 3 hombres y 2 mujeres Por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}}\] Y la funcion para calcular las combinaciones es: choose(n, r)

choose(6,3) * choose(9,2) / choose(15,5)
## [1] 0.2397602

Interpretacion frecuentista de la probabilidad

Una fecuencia relativa es una proporcion que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una secuension de observaciones.

Lanzamientos_10 <- sample(c("A","S"),10, replace = TRUE )
Lanzamientos_10
##  [1] "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A"

Podemos calcular las secuencia de frecuencias relativas del aguila

cumsum(Lanzamientos_10 == "A") #Suma acumulada o frecuencia acumulada 
##  [1] 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4

Dividiendo

round(cumsum(Lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2) 
##  [1] 1.00 0.50 0.33 0.25 0.20 0.33 0.29 0.38 0.33 0.40

##Distribuciones de probabilidad