Introduccion a la probabilidad

Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar la incertidumbre. -Wasser

  1. Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.
  2. Inerpretación frecuentista de la probabilidad.
  3. Probabilidad condicional y su relación con la independencia.

espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio.

e.g. Si lanzamos una moneda dos véces, entonces:

\[\Omega = \{AA, AS, SA, SS\} \] Un evento es un subconjunto del espacio muestral, usualmente se denotan por máyusculas.

e.g. Que el primer lanzamiento resulte águila.

\[ A=\{AA, AS\} \] ## Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extención e la idea de proporción o cociente de una parte con respecto aun todo.

e.g. En la carrera de Ing. Química hay 300 hombres y 700 mujeres, la proporción de hombres es:

\[\frac{300}{700+300} = .3 \] Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos, la probabilidad del evento A es el número de resultados dividido entre el número total de posibles resultados:

\[P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \] Por lo que solo hace falta contar.

e.g.Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \] y la función para calcular las combinaciones en R (random) es choose(n, r)

choose (6, 3) * choose(9, 2) / choose (15, 5)
## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de probabilidad

Una frecuencia relativa es una porción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones

lanzamientos_10 <-sample(c("A","S"),10, replace = TRUE )
lanzamientos_10
##  [1] "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A"

Podemos calcular la secuencia de frecuencias relativas de águila:

cumsum(lanzamientos_10 == "A") #Suma acumulada de águila
##  [1] 0 0 0 1 2 2 2 2 3 4

Dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2)
##  [1] 0.00 0.00 0.00 0.25 0.40 0.33 0.29 0.25 0.33 0.40

Distribuciones de probabilidad