U1A4

Introducción a la probabilidad.

Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar la incertidumbre. - Warsserman

1. Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc. 2.Interpretación frecuentista de la probabilidad.
2. Probabilidad condicional y su relación con la independencia.

Espacio de resultados y eventos.

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio.

e.g. Si lanzamos una moneda dos veces, entonces:

\[\Omega =\{AA, AS, SA, SS \} \] Un evento es un subconjuto del espacio muestral, los eventos usualmente se denota por mayúsculas.

e.g. Que el primer lanzamiento resulte águila.

\[ A= \{AA, AS\} \]

Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción o cociente de una parte con respecto a un todo,

e.g. En la carrera de Ing. Química hay 300 hombres y 700 mujeres, la proporción de hombres es:

\[ \frac {300}{700}=0.3 \]

Eventos equiprobables si todos los elementos del espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos, entonces la probilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

\[ P(A)= \frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \] Por lo que solo hace falta contar.

e.g. Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \] y la función para calcular las combinaciones es choose (n, r)

choose(6, 3) * choose(9, 2) / choose(15, 5)

## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de la probabilidad.

Una frecuencia relatica es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones.

lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"),10, replace= TRUE )
lanzamientos_10

##  [1] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A"

Podemos calcular las secuencias de frecuencias relativas de águila:

cumsum(lanzamientos_10 == "A") #Suma acumulada de águilas.

##  [1] 0 0 0 1 1 1 2 2 3 4

Dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10=="A") / 1:10, 2)

##  [1] 0.00 0.00 0.00 0.25 0.20 0.17 0.29 0.25 0.33 0.40

summary(cars)

##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

Including Plots

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Note that the echo = FALSE parameter was added to the code chunk to prevent printing of the R code that generated the plot.