“Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar incertidumbre.” -Wasserman
Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.
Interpretación frecuentista de probabilidad.
Probabilidad condicional y su relación con independencia.
La regla de Bayes. es un teorema que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de solo A. Formula: \[P(Ai|B) = \{P(B|Ai)P(Ai)/P(B)\}\]
El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.
Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces entonces:
\[ \Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \] Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios:
Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por letras mayúsculas.
El evento: que el primer lanzamiento resulte águila es:
\[ A = \{AA, AS\} \]
Eventos Equiprobables
La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo. Si en la carrera de Ing.Química tenemos:
la proporción de hombres es:
\[ \frac{300}{700+300}=0.3\ \] Eventos equiprobables Si todos los elementos del espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces A es el numero de resultados en A dividido entre el numero posible de resultados:
\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \]
por lo que hace falta contar Ejemplo. Combinaciones
Un comité de 5 personas sera eleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. si la seleccion es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?
Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.
por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comites que incluyen 3 hombres y dos mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:
\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \] y la función para calcular las combinaciones es: choose (n, r) n = el numero total de cosas r = la manera en la que se van a tomar esas cosas. En este caso n = 6 hombres totales y r = 3 hombres elegidos
choose(6, 3) * choose(9,2) / choose(15,5)## [1] 0.2397602##Interpretación frecuentista de la prbabilidad
Una frecuencia relativa es una proporcion que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones.
lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"), 10, replace = TRUE)
lanzamientos_10## [1] "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S"podemos calculas las secuencias de frecuencia relativas de águilas:
cumsum(lanzamientos_10 == "A") # suma acumulada de águilas## [1] 1 2 2 3 4 5 6 7 8 8Dividiendo
round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10,2)## [1] 1.00 1.00 0.67 0.75 0.80 0.83 0.86 0.88 0.89 0.80Conclusión Para concluir la probabilidad nos sirve para cuantificar la incertidumbre de los eventos de cualquier fenomeno aleatorio, puede ayudarnos a estudiar los porcentajes que se pueden obtener para cualquier decisión matematica, como lo de la moneda, o mas serio como el problema del comité, esto nos sirve para poder tomar decisiones un poco mas seguro entre problemas que parecen muy aleatorias