Introducción a la probabilidad

“Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar incertidumbre.” -Wasserman

  1. Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.

  2. Interpretación frecuentista de probabilidad.

  3. Probabilidad condicional y su relación con independencia.

  4. La regla de Bayes.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[ \Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \] Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios:

Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por letras mayúsculas.

El evento: que el primer lanzamiento resulte águila es

\[ A = \{AA, AS\} \]

Eventos Equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo. Si en la carrera de química tenemos:

la proporción de hombres es:

\[ \frac{300}{700+300}=0.3\ \]

Ahora, supongamos que elegimos un estudiante al azar, la probabilidad de elegir una mujer es 0.7.

En el ejemplo hay un supuesto implícito en elegir al azar (o aleatoria mente), en este caso estamos suponiendo que todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser elegidos, que nos lleva al siguiente concepto:

Eventos equiprobables. Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \]

Por lo que solo hace falta contar.

e.g. La probabilidad de obtener AA si lanzamos una moneda 2 veces es de 1/4 que también es 0.25 ó 25%, y la probabilidad del evento que el primer lanzamiento resulte águila es de 2/4 = 0.5 ó 50%

Ejemplo: combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \]

la función para calcular las combinaciones en R (random) es choose(n, r)

choose (6, 3) * choose(9, 2) / choose (15, 5)

Interpretación frecuentista de probabilidad

Las probabilidades se entienden como una aproximación matemática de frecuencias relativas cuando la frecuencia total tiende a infinito.

supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y obtenemos:

lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"),10, replace=TRUE)

#para calcular la secuencia de frecuencias relativas de águila

cumsum(lanzamientos_10 == "A") #suma acumulada de águilas
##  [1] 1 1 2 2 2 3 4 4 5 6
round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2 )
##  [1] 1.00 0.50 0.67 0.50 0.40 0.50 0.57 0.50 0.56 0.60
plot(cars)

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \]

Aquí tenemos la gráfica de los carros:

\[ \begin{array}{l|l|l|c} \text{Función} & \text{Significado} & \text{Uso}& \text{Observación}\\ \hline p & \text{probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{density} & \text{Calcula probabilidades puntuales} & \text{Sólo uso gráfico en el caso continuo}\\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribución específica} & \text{---}\\ \hline \end{array} \]

v.a. normal estándar \(Z\), es decir, un valor \(x\) tal que \(\mathbb{P}(Z\leq x) = 0.7\)):

DATA606::normalPlot(mean = 0, sd = 1, bounds = c(-0.4, 1.5), tails = FALSE)

El número de lanzamientos de un dado hasta que obtienes un 6.

e.g. La probabilidad de que las N donde N = 1:6 números. \[\frac{N}{6} =0.16\] por lo que podemos decir que el numero de posibilidades que te salga N que N es un numero entre 1 y 6 (1:6) es \[P(N) = \frac{\#(N)}{\#(\Omega)} \] Pero la probabilidad cambia a la hora de pedir que N puede ser par o impar entre numeros del 1 al 6 (1:6) la probabilidad de que salga N es

\[ \frac{N}{3}=\] ya que solo hay 3 pares y 3 impares en este caso, por lo tanto la formula final se veria representada de la siguiente manera: \[ P(N) = \frac{\#(N)}{(\frac{\#(\Omega)}{2})}\] # Tu calificación final en el curso e.g. En este caso las cosas estan mas sencillas, si tenemos 4 unidades las cuales cada una representa (1/4) de la totalidad del curso su representacion seria: \[S = \sum (u1...uN)\] donde N es el numero de unidades en el curso, en este caso N = 4 por lo tanto el promedio de el fin del curso es \[F = \frac{S}{N}\]