Dos resistencias conectadas en serie tienen una resistencia equivalente de \(690\,\Omega\). Cuando están conectadas en paralelo, su resistencia equivalente es de \(150\,\Omega\). Encuentres las resistencias de cada resistencia.
Solución: La resistencia equivalente para las resistencias en serie y en paralelo son:
\[\begin{eqnarray*} R_{_1}+R_{_2}&=&690 \quad \Rightarrow \quad R_{_1}=690-R_{_2}\\[0.30cm] \frac{1}{R_{_1}}+\frac{1}{R_{_2}}&=&\frac{1}{150} \quad \Rightarrow \quad \frac{R_{_2}+R_{_1} }{R_{_1}R_{_2}}=\frac{1}{150} \quad \Rightarrow \quad \frac{690}{R_{_1}R_{_2}}=\frac{1}{150} \end{eqnarray*}\]
\[\begin{equation*} R_{_1}R_{_2}=(690-R_{_2})R_{_2}=103500 \quad \Rightarrow \quad 690R_{_2}-R_{_2}^2=103500 \quad \Rightarrow \quad -R_{_2}^2+690R_{_2}-103500=0 \end{equation*}\]
\[\begin{equation*} R_{_2}-690R_{_2}+103500=0 \end{equation*}\]
Aplicando la fórmula cuadrática con \(a=1, b=-690\) y \(c=103500\), se tiene
\[\begin{eqnarray*} R_{_2}&=&\frac{-b\pm \sqrt{-b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-690)\pm \sqrt{(-690)^2-4(1)(103500)}}{2(1)}=\frac{690\pm \sqrt{62100}}{2}\\[0.30cm] &=&\frac{690\pm 2\sqrt{15525}}{2}=345\pm \sqrt{15525}\\[0.30cm] R_{_1}&=&345+\sqrt{15525}\approx 470\,\Omega\\[0.30cm] R_{_2}&=&345-\sqrt{15525}\approx 220\,\Omega\\ \end{eqnarray*}\]
Comprobación
\[\begin{eqnarray*} R_{_1}+R_{_2}&=&345+\sqrt{15525}+345-\sqrt{15525}=345+345=690\\[0.30cm] \frac{1}{R_{_1}}+\frac{1}{R_{_2}}&=&\frac{1}{345+\sqrt{15525}}+\frac{1}{345-\sqrt{15525}}=\frac{345+\sqrt{15525}+345-\sqrt{15525}}{(345+\sqrt{15525})(345-\sqrt{15525})}\\[0.30cm] &=&\frac{690}{119025-15525}=\frac{690}{103500}=\frac{1}{150} \end{eqnarray*}\]