En cierto lugar hay 16 plantas de las cuales 10 están en buen estado, 4 en regular estado y 2 en mal estado. Al seleccionar aleatoriamente dos plantas, ¿cuál es la probabilidad que
Solución: Hay que calcular la probabilidad que la primera planta esté en buen estado y la segunda esté en buen estado. La segunda planta se elige entre 15, ya que, una fue sacada y quedan 9 en buen estado. Sea \(A\) el evento: la primera planta está en buen estado y \(B\) la segunda planta está en buen estado, entonces:
\[\begin{equation*} P(A\cap B)=P(A)P(B)=\left(\frac{10}{16}\right)\left(\frac{9}{15}\right)=\frac{90}{240}=\frac{3}{8} \end{equation*}\]
Solución: Hay que calcular la probabilidad que la primera planta esté en mal estado y la segunda esté en mal estado. La segunda planta se elige entre 15, ya que, una fue sacada y quedan 1 en mal estado. Sea \(A\) el evento: la primera planta está en mal estado y \(B\) la segunda planta está en mal estado, entonces:
\[\begin{equation*} P(A\cap B)=P(A)P(B)=\left(\frac{2}{16}\right)\left(\frac{1}{15}\right)=\frac{2}{240}=\frac{1}{120} \end{equation*}\]
Solución: Hay que calcular la probabilidad que la primera planta esté en buen estado o la segunda esté en buen estado. Sea \(A\) el evento: la primera planta está en buen estado y \(B\) la segunda planta está en buen estado, entonces:
\[\begin{equation*} P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{10}{16}+\frac{10}{16}-\frac{3}{8}=\frac{5}{4}-\frac{3}{8}=\frac{7}{8} \end{equation*}\]
Solución: Hay que calcular la probabilidad que la primera planta no esté en mal estado y la segunda tampoco esté en mal estado. Sea \(A\) el evento: la primera planta no está en mal estado y \(B\) la segunda planta no está en mal estado, la probabilidad que la primera planta no esté en mal estado es la suma de la probabilidad que la planta esté en buen estado más la probabilidad que la planta esté en regular estado, es decir:
\[\begin{equation*} P(A)=\frac{10}{16}+\frac{4}{16}=\frac{14}{16} \end{equation*}\]
Ya se eligió la primera planta, entonces quedan 13 que no están en mal estado de 15, por tanto, \(P(B)=\frac{13}{15}\), la probabilidad pedida es:
\[\begin{equation*} P(A\cap B)=P(A)P(B)=\left(\frac{14}{16}\right)\left(\frac{13}{15}\right)=\frac{91}{120} \end{equation*}\]
Solución: Hay que calcular la probabilidad que la primera planta no esté en buen estado y la segunda tampoco esté en buen estado. Sea \(A\) el evento: la primera planta no está en buen estado y \(B\) la segunda planta no está en buen estado, la probabilidad que la primera planta no esté en buen estado es la suma de la probabilidad que la planta esté en regular estado más la probabilidad que la planta esté en mal estado, es decir:
\[\begin{equation*} P(A)=\frac{4}{16}+\frac{2}{16}=\frac{6}{16} \end{equation*}\]
Ya se eligió la primera planta, entonces quedan 5 que no están en buen estado de 15, por tanto, \(P(B)=\frac{5}{15}\), la probabilidad pedida es:
\[\begin{equation*} P(A\cap B)=P(A)P(B)=\left(\frac{6}{16}\right)\left(\frac{5}{15}\right)=\frac{30}{240}=\frac{1}{8} \end{equation*}\]
Sean dos sucesos tales que \(P(A)=0.4\) y \(P(A\cup B)=0.7\). Determine \(P(B)\) de modo que los sucesos \(A\) y \(B\) sean:
Solución: Los eventos son mutuamente excluyentes lo que significa que no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, \(P(A\cap B)=\emptyset\), por tanto:
\[\begin{equation*} P(A\cup B)=P(A)+P(B) \quad \Rightarrow \quad P(B)=P(A\cup B)-P(A)=0.70-0.4=0.3 \end{equation*}\]
Solución: Los eventos son independientes, esto significa que \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\), con los datos dados hacemos:
\[\begin{eqnarray*} P(A\cup B)&=&P(A)+P(B)-P(A\cap B) \quad \Rightarrow \quad P(B)-P(A)\cdot P(B)=P(A\cup B)-P(A)\\[0.20cm] P(B)[1-P(A)]&=&P(A\cup B)-P(A)\\[0.20cm] P(B)&=&\frac{P(A\cup B)-P(A)}{1-P(A)}=\frac{0.70-0.4}{1-0.4}=\frac{0.3}{0.6}=0.5\\ \end{eqnarray*}\]
En un laboratorio se encuentran 10 plantas de las cuales 6 están sanas. Se examinan las plantas una a una, ¿cuál es la probabilidad que al examinar las dos primeras:
Solución: Hay que calcular la probabilidad que la primera planta esté sana y la segunda esté sana. La segunda planta se elige entre 9, ya que, una fue sacada y quedan 5 sanas. Sea \(A\) el evento: la primera planta está sana y \(B\) la segunda planta está sana, entonces:
\[\begin{equation*} P(A\cap B)=P(A)P(B)=\left(\frac{6}{10}\right)\left(\frac{5}{9}\right)=\frac{30}{90}=\frac{1}{3} \end{equation*}\]
Solución: Se está pidiendo una probabilidad condicionada, es decir, probabilidad que la segunda planta esté sana dado (si) que la primera estaba sana. Sea \(A\) el evento: la primera planta está sana y \(B\) la segunda planta está sana, entonces:
\[\begin{equation*} P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{1/3}{6/10}=\frac{1}{3}\times \frac{10}{6}=\frac{10}{18}=\frac{5}{9} \end{equation*}\]
Solución: Hay que calcular la probabilidad que la primera planta esté enferma y la segunda esté enferma. La segunda planta se elige entre 9, ya que, una fue sacada y quedan 3 enferma. Sea \(A\) el evento: la primera planta está enferma y \(B\) la segunda planta está enferma, entonces:
\[\begin{equation*} P(A\cap B)=P(A)P(B)=\left(\frac{4}{10}\right)\left(\frac{3}{9}\right)=\frac{12}{90}=\frac{2}{15} \end{equation*}\]
Solución: Se está pidiendo una probabilidad condicionada, es decir, probabilidad que la primera planta esté enferma dado (si) que la segunda estaba enferma. Sea \(A\) el evento: la primera planta está enferma y \(B\) la segunda planta está enferma, entonces:
\[\begin{equation*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{2/15}{3/9}=\frac{2}{15}\times \frac{9}{3}=\frac{18}{45}=\frac{2}{5} \end{equation*}\]
Rustom, J., A. (2012). Estadística descriptiva, probabilidad e inferencia: Una visión conceptual y aplicada. Universidad de Chile, Facultad de Ciencias Agronómicas, Departamento de Economía Agraria.