Se cree que una nueva tecnología en crianza de cerdos produce a los 5 meses de edad ejemplares de peso promedio mayor a 85 kg. Se toma una muestra aleatoria de 8 cerdos de 5 meses producidos según la nueva tecnología, cuyos pesos resultan ser: \(88, 89, 83, 86, 91, 82, 92, 89\). ¿Es posible concluir con los datos de la muestra, al nivel del 5%, que con la nueva tecnología se obtienen cerdos de 5 meses con peso promedio mayor a 85 kg?
Solución: Los estadísticos son:
\[\begin{eqnarray*} \bar{x}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^nx_{_i}}{n}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_{_i}}{8}=\frac{700}{8}=87.5\\[0.30cm] s^2&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_{_i}-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}(x_{_i}-87.5)^2}{7}=\frac{90}{7}\approx12.857\\[0.30cm] s&=&\sqrt{s^2}=\sqrt{12.86}\approx3.586 \end{eqnarray*}\]
Las hipótesis del contraste son:
\[\begin{eqnarray*} H_{_0}&:&\mu\leq85\\ H_{_A}&:&\mu >85 \end{eqnarray*}\]
Este es un contraste unilateral derecho, el estadístico de prueba es:
\[\begin{eqnarray*} t&=&\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}=\frac{87.5-85}{3.586/\sqrt{8}}\approx\frac{2.5}{3.586/2.828}\approx\frac{2.5}{1.268}\approx1.972 \end{eqnarray*}\]
El valor \(t=1.972\) se compara con un valor crítico \(t\) con \(g. l=n-1=8-1=7\) grados de libertad y con un valor \(\alpha=5\%=0.05\). De la tabla para prueba de una cola se tiene \(t_{_{0.05, 7}}=1.895\).
Regla de decisión: No rechazar \(H_{_0}\) si \(t\leq1.895\), rechazar \(H_{_0}\) si \(t>1.895\).
Conclusión: El valor \(t=1.972>1.895\), se rechaza la hipótesis nula, por tanto, se puede concluir que con la nueva tecnología se obtienen cerdos de 5 meses con peso promedio mayor a 85 kg.
El contraste de hipótesis en R se obtiene con la función t.test(), aplicando la prueba se obtiene valor \(p=0.04461<\alpha=0.05\), por tanto, se rechaza \(H_{_0}\).
temperatura=c(88,89,83,86,91,82,92,89)
contraste=t.test(temperatura,mu=85,alternative="greater",conf.level=0.95)
contraste##
## One Sample t-test
##
## data: temperatura
## t = 1.972, df = 7, p-value = 0.04461
## alternative hypothesis: true mean is greater than 85
## 95 percent confidence interval:
## 85.09818 Inf
## sample estimates:
## mean of x
## 87.5Una variable estudiada por los biólogos es la temperatura interna del cuerpo en los animales poiquiloternos (animales cuya temperatura corporal fluctúa con el ambiente circundante). El nivel letal \((DL_{_{50}})\) para los lagartos del desierto es de \(45^{\circ}C\). Se ha observado que la mayor parte de estos animales se oculta del calor en verano para evitar aproximarse a este nivel letal. Se realiza un experimento para estudiar \(X\), tiempo (en minutos) que se requiere para que la temperatura del cuerpo de un lagarto del desierto alcance los \(45^{\circ}C\), partiendo de la temperatura normal de su cuerpo mientras está a la sombra. Se obtuvieron los siguientes datos: \(10.1\), \(12.5\), \(12.2\), \(10.2\), \(12.8\), \(12.1\), \(11.2\), \(11.4\), \(10.7\), \(14.9\), \(13.9\) y \(13.3\)
Solución: Los estadísticos son:
\[\begin{eqnarray*} \bar{x}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^nx_{_i}}{n}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{12}x_{_i}}{12}=\frac{145.3}{12}\approx12.1083\\[0.30cm] s^2&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_{_i}-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{12}(x_{_i}-12.1083)^2}{11}=\frac{24.04917}{11}\approx2.1863\\[0.30cm] s&=&\sqrt{s^2}=\sqrt{2.1863}\approx1.4786 \end{eqnarray*}\]
Las hipótesis del contraste son:
\[\begin{eqnarray*} H_{_0}&:&\mu\geq13\\ H_{_A}&:&\mu<13 \end{eqnarray*}\]
Este es un contraste unilateral izquierdo, el estadístico de prueba es:
\[\begin{eqnarray*} t&=&\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}=\frac{12.1083-13}{1.4786/\sqrt{12}}\approx\frac{-0.8917}{1.4786/3.4641}\approx\frac{-0.8917}{0.4268}\approx-2.089\\ \end{eqnarray*}\]
El valor \(t=-2.089\) se compara con un valor crítico \(t\) con \(g. l=n-1=12-1=11\) grados de libertad y con un valor \(\alpha=5\%=0.05\). De la tabla de la distribución t para prueba de una cola se tiene \(t_{_{0.05, 11}}=1.796\).\
Regla de decisión: No rechazar \(H_{_0}\) si \(t\geq1.796\), rechazar \(H_{_0}\) si \(t<1.796\).
Conclusión: El valor \(t=-2.089<1.796\), se rechaza la hipótesis nula, por tanto, se puede concluir con una significancia de 5% que el tiempo medio requerido para alcanzar la dosis letal es menor que trece minutos.
El contraste de hipótesis en R se logra mediante el siguiente código.
temperatura=c(10.1,12.5,12.2,10.2,12.8,12.1,11.2,11.4,10.7,14.9,13.9,13.3)
contraste=t.test(temperatura,mu=13,alternative="less",conf.level=0.95)
contraste##
## One Sample t-test
##
## data: temperatura
## t = -2.089, df = 11, p-value = 0.03037
## alternative hypothesis: true mean is less than 13
## 95 percent confidence interval:
## -Inf 12.87489
## sample estimates:
## mean of x
## 12.10833El valor \(p=0.03037<\alpha=0.05\), por tanto, se rechaza la hipótesis nula, tal y como se concluyó anteriormente.
Solución: Las hipótesis del contraste son:
\[\begin{eqnarray*} H_{_0}&:&\sigma^2\geq2.25\\ H_{_A}&:&\sigma^2<2.25 \end{eqnarray*}\]
Este es un contraste unilateral izquierdo, el estadístico de prueba es:
\[\begin{eqnarray*} \chi^2&=&\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}=\frac{(12-1)2.1863}{2.25}=\frac{(11)(2.1863)}{2.25}=\frac{24.0493}{2.25}\approx10.689\\ \end{eqnarray*}\]
El valor \(\chi^2=10.689\) se compara con un valor crítico de \(\chi^2\) con \(v=n-1=12-1=11\) grados de libertad y con un valor \(\alpha=5\%=0.05\). De la tabla de la distribución chi cuadrada para prueba de una cola se tiene:
\[\begin{equation*} \chi^2_{_{1-\frac{\alpha}{2}, v}}=\chi^2_{_{1-\frac{0.05}{2}, 11}}=\chi^2_{_{1-0.025, 11}}=\chi^2_{_{0.975, 11}}=3.816\\[0.30cm] \end{equation*}\]
Regla de decisión: No rechazar \(H_{_0}\) si \(\chi^2\geq3.816\), rechazar \(H_{_0}\) si \(\chi^2<3.816\).\
Conclusión: El valor \(\chi^2=10.689>3.816\), no se rechaza la hipótesis nula, es decir, no hay suficientes pruebas para sostener que la varianza de \(X\) es menor de 2.25 minutos.
El calcio se presenta normalmente en la sangre de los mamíferos en concentraciones de alrededor de 6 mg/100 mL de sangre total. La desviación típica normal de esta variable es 1 mg de calcio por cada 100 mL de sangre total. Una variabilidad mayor que ésta puede ocasionar graves trastornos en la coagulación de la sangre. Una serie de nueve pruebas realizadas sobre un paciente revelaron una media muestral de 6.2 mg de calcio por 100 mL de sangre total y una desviación típica muestral de 2 mg de calcio por cada 100 mL de sangre.
Solución: Los datos iniciales son \(n=9, \bar{x}=6.2\) y \(s=2\). Las hipótesis del contraste son:
\[\begin{eqnarray*} H_{_0}&:&\mu\leq6\\ H_{_A}&:&\mu>6 \end{eqnarray*}\]
Este es un contraste unilateral derecho, el estadístico de prueba es:
\[\begin{eqnarray*} t&=&\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}=\frac{6.2-6}{2/\sqrt{9}}\approx\frac{0.2}{2/3}\approx\frac{0.2}{0.6667}\approx0.300 \end{eqnarray*}\]
El valor \(t=0.300\) se compara con un valor crítico \(t\) con \(g. l=n-1=9-1=8\) grados de libertad y con un valor \(\alpha=5\%=0.05\). De la tabla de la distribución t para prueba de una cola se tiene \(t_{_{0.05, 8}}=1.860\).\
Regla de decisión: No rechazar \(H_{_0}\) si \(t\leq1.860\), rechazar \(H_{_0}\) si \(t>1.860\).
Conclusión: El valor \(t=0.300<1.860\), no se rechaza la hipótesis nula, por tanto, no existen suficientes evidencias para concluir que el nivel medio de calcio para este paciente sea más alto de lo normal.
Solución: Las hipótesis del contraste son:
\[\begin{eqnarray*} H_{_0}&:&\sigma\leq1\\ H_{_A}&:&\sigma>1 \end{eqnarray*}\]
Sin embargo, este contraste es equivalente al contraste:
\[\begin{eqnarray*} H_{_0}&:&\sigma^2\leq(1)^2=1\\ H_{_A}&:&\sigma^2>(1)^2=1 \end{eqnarray*}\]
Este es un contraste unilateral derecho, el estadístico de prueba es:
\[\begin{eqnarray*} \chi^2&=&\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}=\frac{(9-1)(2)^2}{1}=\frac{(8)(4)}{1}=32.000\\ \end{eqnarray*}\]
El valor \(\chi^2=32.000\) se compara con un valor crítico de \(\chi^2\) con \(v=n-1=9-1=8\) grados de libertad y con un valor \(\alpha=5\%=0.05\). De la tabla de la distribución chi cuadrada para prueba de una cola se tiene:
\[\begin{equation*} \chi^2_{_{\frac{\alpha}{2}, v}}=\chi^2_{_{\frac{0.05}{2}, 8}}=\chi^2_{_{0.025, 8}}=17.535\\[0.30cm] \end{equation*}\]
Regla de decisión: No rechazar \(H_{_0}\) si \(\chi^2\leq17.535\), rechazar \(H_{_0}\) si \(\chi^2>17.535\).
Conclusión: El valor \(\chi^2=32.000>3.816\), se rechaza la hipótesis nula, es decir, hay suficientes pruebas para concluir que la varianza del nivel de calcio es más alta que lo normal, por supuesto, la desviación típica del nivel de calcio es más alta que lo normal.
Di Rienzo, J., A., Casanoves, F., Gonzalez, L., A., Tablada, E., M., Díaz, M., del P., Robledo, C., W. y Balzarini, M., G. (2009). Estadística para las ciencias agropecuarias (7.\(^\text{a}\) ed.). Brujas.
Milton, J., S. (2007). Estadística para biología y ciencias de la salud (3.\(^\text{a}\) ed.). McGrill/Interamericana de España, S. A. U.
Rustom, J., A. (2012). Estadística descriptiva, probabilidad e inferencia: Una visión conceptual y aplicada. Universidad de Chile, Facultad de Ciencias Agronómicas, Departamento de Economía Agraria.