Considerar la variable rendimiento de maíz, cuya distribución es normal con media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\). Para estimar el rendimiento promedio del maíz bajo el efecto de un herbicida, se toma una muestra de tamaño \(40\) y se obtiene un promedio de \(60\,\,qq/ha\). Se sabe por experiencias anteriores que la varianza poblacional \(\sigma^2\) es \(25\,\,(qq/ha)^2\). Calcular el intervalo de confianza del 95% para \(\mu\).
Solución: Los datos iniciales son \(n=40, \bar{x}=60, \sigma^2=25, \sigma=5\) y \(\sigma_{_{\bar{x}}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{5}{\sqrt{40}}\approx0.79\). El coeficiente de confianza es 95%, entonces \(\alpha=5\%=0.05\). De la tabla de la distribución normal estándar \(Z_{_{\frac{\alpha}{2}}}=Z_{_{\frac{0.05}{2}}}=Z_{_{0.025}}=1.960\), el intervalo del 95% de confianza está dado por:
\[\begin{eqnarray*} \bar{x}-Z_{_{\frac{\alpha}{2}}}\sigma_{_{\bar{x}}}&\leq\mu\leq&\bar{x}+Z_{_{\frac{\alpha}{2}}}\sigma_{_{\bar{x}}}\\[0.30cm] 60-(1.960)(0.79)&\leq\mu\leq&60+(1.960)(0.79)\\[0.30cm] 60-1.55&\leq\mu\leq&60+1.55\\[0.30cm] 58.5&\leq\mu\leq&61.6 \end{eqnarray*}\]
Existe un 95% de confianza que el rendimiento promedio del maíz bajo el efecto del herbicida esté entre \(58.5\) y \(61.6\,\,qq/ha\)
El rendimiento \(X\) de una variedad de maíz se conoce que tiene una distribución \(X=N (\mu, \sigma^2)\). Con el fin de estimar \(\mu\) se siembran 10 parcelas con la variedad de maíz, obteniéndose los siguientes rendimientos a la cosecha: 48, 50, 62, 36, 45, 70, 56, 40, 52 y 44. Calcular el intervalo de confianza del 90% para el verdadero valor de la media.
Solución: Hay que calcular los estadísticos media y desviación típica.
\[\begin{eqnarray*} \bar{x}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^nx_{_i}}{n}=\frac{503}{10}=50.3\\[0.30cm] s&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_{_i}-\bar{x})^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{944.1}{9}}=\sqrt{104.9}=10.2420701\approx10.24\\ \end{eqnarray*}\]
Luego se tiene que \(s_{_{\bar{x}}}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{10.24}{\sqrt{10}}=\frac{10.24}{3.16227766}=3.238172324\approx3.24\). El coeficiente de confianza es del 90%, entonces \(\alpha=10\%=0.1\), el valor \(t\) es la intersección de la fila 9 (grados de libertad) con la columna 6 (prueba de dos colas):
\[\begin{equation*} t_{_{\frac{\alpha}{2},g. l}}=t_{_{\frac{0.10}{2},9}}=t_{_{0.05, 9}}=1.833 \end{equation*}\]
El intervalo del 90% de confianza está dado por
\[\begin{eqnarray*} \bar{x}-ts_{_{\bar{x}}}&\leq\mu\leq&\bar{x}+ts_{_{\bar{x}}}\\[0.30cm] 50.3-(1.833)(3.24)&\leq\mu\leq&50.3+(1.833)(3.24)\\[0.30cm] 50.3-5.93892&\leq\mu\leq&50.3+5.93892\\[0.30cm] 44.36108&\leq\mu\leq&56.23892\\ 44.4&\leq\mu\leq&56.2\\ \end{eqnarray*}\]
Se puede afirmar con un 90% de confianza que el verdadero valor del rendimiento promedio de la variedad de maíz está entre \(44.4\) y \(56.2\).
Para calcular en R el intervalo de confianza se usa la función t.test() tal y como se muestra en seguida
rendimiento=c(48,50,62,36,45,70,56,40,52,44)
Intervalo=t.test(rendimiento,conf.level=0.90)
Intervalo##
## One Sample t-test
##
## data: rendimiento
## t = 15.53, df = 9, p-value = 8.34e-08
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 90 percent confidence interval:
## 44.36286 56.23714
## sample estimates:
## mean of x
## 50.3Un investigador desea estimar el contenido de Ca en frutos de nectarines, para lo cual selecciona aleatoriamente una muestra de estos obteniendo los siguientes valores: 10, 8.9, 9.7, 10.8, 11.0, 10.9, 9.5, 10.7, 8.3 y 9.9. Calcular el intervalo de confianza del 95% para la varianza del contenido de Ca en los nectarines.
Solución: Los estadísticos son:
\[\begin{eqnarray*} \bar{x}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^nx_{_i}}{n}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{_i}}{10}=\frac{98.8}{10}=9.88\\[0.30cm] s^2&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_{_i}-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{_i}-9.88)^2}{9}=\frac{7.381}{9}\approx0.820\\ \end{eqnarray*}\]
El nivel de confianza es del 95%, entonces \(\alpha=5\%=0.05\). Los puntos críticos de chi cuadrado al 95% de confianza y con 9 grados de libertad son:
\[\begin{equation*} \chi^2_{_{1-\frac{\alpha}{2}, g. l}}=\chi^2_{_{1-\frac{0.05}{2}, 9}}=\chi^2_{_{0.975, 9}}=2.700 \quad \text{y} \quad \chi^2_{_{\frac{\alpha}{2}, g. l}}=\chi^2_{_{\frac{0.05}{2}, 9}}=\chi^2_{_{0.025, 9}}=19.023 \end{equation*}\]
El intervalo de confianza está dado por
\[\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{_{\frac{\alpha}{2}}}}&<\sigma^2<&\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{_{1-\frac{\alpha}{2}}}}\\[0.30cm] \frac{(9)(0.820)}{19.023}&<\sigma^2<&\frac{(9)(0.820)}{2.700}\\[0.30cm] \frac{7.38}{19.023}&<\sigma^2<&\frac{7.38}{2.700}\\[0.30cm] 0.387951427&<\sigma^2<&2.733333333\\[0.30cm] 0.39&<\sigma^2<&2.73\\[0.30cm] \end{eqnarray*}\]
Se puede asegurar con un 95% de confianza que el valor real de la varianza del contenido de Ca en los nectarines está en el intervalo \([0.43, 3.05]\).
Para calcular el intervalo de confianza en R se hará uso de la función ICVar() (Intervalo de Confianza para la Varianza).
ICVar=function(x,confidence)
{
s2=var(x) #Varianza muestral
alfa=1-confidence #Nivel de significancia
n=length(x) #Tamaño de la muestra
x1=qchisq(p=1-alfa/2,df=n-1) #Valor critico chi cola izquierda
x2=qchisq(p=alfa/2,df=n-1) #Valor critico chi cola derecha
LIC=(s2*(n-1))/x1 #Limite inferior de confianza
LSC=(s2*(n-1))/x2 #Limite superior de confianza
return(c(LIC,LSC))
}ca=c(10,8.9,9.7,10.8,11.0,10.9,9.5,10.7,8.3,9.9)
ICVar(ca,0.95)## [1] 0.3880087 2.7333094Se sabe que los aumentos en peso de corderos durante un período de 25 días tiene una distribución normal \(N (\mu, \sigma^2)\). Una muestra aleatoria de corderos tuvo las siguientes ganancias de peso a los 25 días: 9, 11, 12, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 29, 17 y 20. Calcular el intervalo de confianza del 90% para la desviación típica de las ganancias de pesos.
Solución: Los estadísticos son:
\[\begin{eqnarray*} \bar{x}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^nx_{_i}}{n}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{12}x_{_i}}{12}=\frac{207}{12}=17.25\\[0.30cm] s^2&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_{_i}-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{12}(x_{_i}-17.25)^2}{11}=\frac{360.25}{11}\approx32.75\\ \end{eqnarray*}\]
El nivel de confianza es del 90%, entonces \(\alpha=10\%=0.10\). Los puntos críticos de chi cuadrado al 90% de confianza y con 11 grados de libertad son:
\[\begin{equation*} \chi^2_{_{1-\frac{\alpha}{2}, g. l}}=\chi^2_{_{1-\frac{0.10}{2}, 11}}=\chi^2_{_{0.95, 11}}=4.575 \quad \text{y} \quad \chi^2_{_{\frac{\alpha}{2}, g. l}}=\chi^2_{_{\frac{0.10}{2}, 11}}=\chi^2_{_{0.05, 11}}=19.675 \end{equation*}\]
El intervalo de confianza está dado por
\[\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{_{\frac{\alpha}{2}}}}&<\sigma^2<&\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{_{1-\frac{\alpha}{2}}}}\\[0.30cm] \frac{(11)(32.75)}{19.675}&<\sigma^2<&\frac{(11)(32.75)}{4.575}\\[0.30cm] \frac{360.25}{19.675}&<\sigma^2<&\frac{360.25}{4.575}\\[0.30cm] 18.31003812&<\sigma^2<&78.7431694\\[0.30cm] \sqrt{18.31003812}&<\sigma<&\sqrt{78.7431694}\\[0.30cm] 4.3&<\sigma<&8.9\\[0.30cm] \end{eqnarray*}\]
Se puede asegurar con un 90% de confianza que el valor real de la desviación típica de las ganancias de pesos está contenida entre \(4.3\) y \(8.9\).
El intervalo de confianza para la varianza es se calcula mediante:
peso=c(9,11,12,14,15,16,19,21,24,29,17,20)
ICVar(peso,0.90)## [1] 18.30991 78.74639El intervalo de confianza para la desviación típica es la raíz cuadrada de LIC y LSC, es decir:
peso=c(9,11,12,14,15,16,19,21,24,29,17,20)
ICDesv=sqrt(ICVar(peso,0.90))
ICDesv## [1] 4.279008 8.873916Di Rienzo, J., A., Casanoves, F., Gonzalez, L., A., Tablada, E., M., Díaz, M., del P., Robledo, C., W. y Balzarini, M., G. (2009). Estadística para las ciencias agropecuarias (7.\(^\text{a}\) ed.). Brujas.