Introducción a la probabilidad

probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar la incertidumbre Wasserman

  1. Teminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, Etc.
  2. Interpretación frecuentista de la probabilidad.
  3. Probabilidad condicional y su relación de independencia.

Espacio de resultados y eventos.

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio.

e.g. si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[\Omega = \{AA,AS,SA,SS\}\] Un Evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por máyusculas.

e.g. Que el primer lanzamiento resulte águila.

\[ A =\{AA,AS\}\] ## Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo.

e.g. En la carrera de Ing. Química hay 300 Hombres y 700 Mujeres, la proporción de hombres es:

\[ \frac{300}{700+300} =0.3 \]

Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)}\] Por lo que solo hace falta contar.

e.g. Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comite este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma probabilida de ser seleccionado.

Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}}\] y la función para calcular las combinaciones es choose (n,r)

choose(6,3) * choose(9,2) / choose(15,5)
## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de la probabilidad.

Una frecuencia relativa es una proporción que mide tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones.

lanzamientos_10 <- sample(c("A","S"),10,replace = TRUE)
lanzamientos_10
##  [1] "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A"

Podemos calcular las secuencias de frecuencias relativas de águila:

cumsum(lanzamientos_10 == "A") # suma acumulada de águilas
##  [1] 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9

Dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2)
##  [1] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.86 0.88 0.89 0.90