Probabilidad

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Introducción a la probabilidad

Incertidumbre

Introducción

Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar la incertidumbre - Waserman

1. Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, Etc.
2. Interpretación frecuentista de la probabilidad.
3. Probabilidad condicional y su relación con la independencia.
4. La regla de Bayes.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio

e.g. si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[\Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \] Un Evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayúsculas.

e.g. Que el primer lanzamiento resulte águila.

\[ A=\{AA, AS\} \]

Escribe el espacio muestral

Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo.

e.g. En la carrera de Ing. Química hay 300 Hombres y 700 Mujeres. la proporción de hombre es:

\[ \frac{300}{700+300} =0.3 \] Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

\[ p(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \] Por lo que solo hace falta contar.

e.g. Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿Cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccinado.

Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \] y la función para calcular las combinaciones es choose (n, r)

choose(6, 3) * choose(9, 2) / choose(15, 5)

## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de la probabilidad

Una frecuencia relativa es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones.

lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"),10, replace = TRUE )
lanzamientos_10

##  [1] "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A"

Podemos calcular las secuencias de frecuencias relativas de águila:

cumsum(lanzamientos_10 == "A") #Suma acumulada de águilas

##  [1] 0 1 2 3 3 3 4 4 4 5

Dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2)

##  [1] 0.00 0.50 0.67 0.75 0.60 0.50 0.57 0.50 0.44 0.50

Lanzamiento