Introducción a la probabilidad

Probabilidad es el lenguaje mateático par calcular la incertidumbe. -Wasserman

  1. Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.
  2. Interpretación frecuentista de la probabilidad.
  3. Probabilidad condicional y su relación con la independencia

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[\Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \] Un Evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayúsculas.

Ejemplo: Que el primer lanzamiento resulte águila.

\[ A==\{AA, AS\} \] ## Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción o cociente de una parte con respecto a un todo.

Ejemplo: En la carrera de ingeniería química hay 300 himbres y 700 mujeres, la proporción de hombres es:

\[ \frac{300}{700+300} = 0.3 \] Eventos equiprobables: si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos, entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \] Por lo que solo hace falta contar.

Ejemplo: Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \[\dbinom{15}{5} \] posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay \[\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\] posiblees comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \] y la función para calcular las combinaciones es: choose (n, r)

choose(6, 3) * choose(9, 2) / choose(15, 5)
## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de la probabilidad

Una frecuencia relativa es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones.

lanzamientos_10 <- sample(c("A","S"),10, replace = TRUE )
lanzamientos_10
##  [1] "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A"

Podemos calcular la secuencia de frecuencias relativas de águila:

cumsum(lanzamientos_10 == "A") #suma acumulada de águilas
##  [1] 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6

Dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2)
##  [1] 1.00 0.50 0.33 0.25 0.20 0.33 0.43 0.50 0.56 0.60