• Sequência \(\Rightarrow\) representa uma sucessão de objetos ou fatos em uma ordem determinada.

• Pode ser de tamanho, de lógica, de ordem cronológica, entre outros.

• A sequência abaixo qual seria o próximo animal?

• Matemática \(\Rightarrow\) denota uma sucessão de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função que é chamada de termo geral da sequência ou lei de recorrência.

• Uma sequência infinita é uma sucessão sem fim de números, chamados de termos. Existe um primeiro termo \(a_{1}\), um segundo termo \(a_{2}\), um terceiro termo \(a_{3}\), um quarto termos \(a_{4}\) e assim por diante. Em toda sequência infinita, a cada \(i \in \mathbb{N}^{*}\) está associado um \(a_{i} \in \mathbb{R}\).

Por convenção, iremos indicar uma sequência \(f\) anotando apenas a imagem de \(f\), isto é,

• Uma sequência de números reais \((a_{n})\) é uma função \(a:\mathbb{N} \mapsto \mathbb{R}\) que associa a cada número natural \(n\) um número real \(a_{n}\).

• Igualdade de sequência Duas sequências, \(f=(a_{i})_{i} \in \mathbb{N}^{*}\) e \(g=(b_{i})_{i} \in \mathbb{N}^{*}\), são iguais quando

• \((2, 4, 6, 8, 10, 12, ... )\) sequência de números pares positivos.

• \((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...)\) sequência de números naturais.

• \((10, 20, 30, 40, 50...)\) sequência de números múltiplos de \(10\).

• \((10, 15, 20, 25, 30)\) sequência de números múltiplos de \(5\), maiores que cinco e menores que \(35\).

As sequências podem ser determinadas obedecendo a certa regra, isto é, lei de formação . Esta pode ser apresentada de três maneiras:

• 1 - Por fórmula de recorrência:

• 2 - Expressando cada termo em função de sua posição:

• 3- Por propriedade dos termos:

É apresentado duas regras:

1. identificar o primeiro termo da sequência \((a_{i})\);

2. calcular cada termo \((a_{n})\) a partir do seu antecessor \((a_{n – 1})\).

Exemplos: Escreva os cinco primeiros termos da sequência infinita cujo \(a_{1}= 3\) e \(a_{n}=2\cdot a_{n – 1}+4\).Temos:

\(n=1\Rightarrow a_{2}=3\\ n=2\Rightarrow a_{2}=2\cdot 3+4=10 \\ n=3\Rightarrow a_{3}=2\cdot 10+4=24 \\ n=4\Rightarrow a_{4}=2\cdot 24+4=52 \\ n=5\Rightarrow a_{5}=2\cdot 52+4=108 \\\)

então \(f=(3, 10, 24, 52, 108, ... )\).

É dada uma fórmula que expressa \(a_{n}\) em função de \(n\).

Exemplos: Encontre os cincos primeiros elementos da sequência infinita \(f\) em que os termos verificam a relação \(b_{n}=\frac{2n}{1+n}\). Temos

Solução do exemplo

então \(f=(\frac{2}{2},\frac{4}{3}, \frac{6}{4}, \frac{8}{5}, \frac{10}{6}, ... )\).

É dada uma propriedade que os termos da sequência devem apresentar.

Exemplos: Escrever os cinco termos iniciais da sequência infinita \(f\) formada pelos números primos positivos colocados em ordem crescente.

Temos então \(f=(2,3,5,7,11, ... )\)

\(\Rightarrow\) Não existe uma fórmula para o termo geral da sequência dos números primos, mas todos eles estão determinados e podem ser encontrados, por exemplo, pelo chamado “crivo de Erastóstenes”

• Entregar os próximos dois exercícios via Moodle até dia \(21/09/2020 - 19:00\) hora.

Ao lançarmos uma moeda temos dois resultados possíveis (cara ou coroa), se lançarmos duas moedas teremos quatro possibilidades (cara cara),(cara, coroa),(coroa, cara) e (coroa, coroa).Responda as perguntas seguintes:

• Se lançarmos três moedas diferentes quantos resultados possíveis serão? Quais são esses resultados?

• Seja \(f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{R}\) definida por \((f(1)=a_{1}, f(2)=a_{2},...,f(10)=a_{10},...)\).

  • Faça o diarama dessa função;

  • Determine a sequência para os \(10\) primeiros termos.

  • Qual é a lei de formação dessa sequência?

• Escreva os \(10\) primeiros termos inicias das sequências dadas pelas fórmulas de recorrência: