Probabilidad

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Introducción a la probabilidad

Incertidumbre

“Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar la incertidumbre.” -Wasserman

1. Terminología de probabilidad:, espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.
2. Interpretación frecuentista de la probabilidad.
3. Probabilidad condicional y su relación con la independencia.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultado \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio.

e.g. Sí lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[\Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \] Un Evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayúsculas.

e.g. Que el primer lanzamiento resulte águila.

\[ A=\{AA, AS\} \] ## Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extensión de la ide a de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo.

e.g. En la carrera de Ing. Química hay 300 Hombres y 700 Mujeres, la proporción de hombres es:

\[\frac{300}{700+300} = 0.3 \] Eventos equiprobables Sí todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados de A dividido entre el número total de posibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \] Por lo que solo hace falta contar.

e.g. Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Sí la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posisbles comités, cada uno tiene la misma probabilidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[\frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}}\] y la función para calcular las combinaciones es choose (n, r)

choose(6, 3 ) * choose(9, 2) / choose(15, 5)

## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de la probabilidad

Una frecuencia relativa es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una secesión de observaciones.

lanzamientos_10 <- sample(c("A","S"),10, replace = TRUE )
lanzamientos_10

##  [1] "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A"

Podemos calcular las secuencia de frecuencias relativas de águila:

cumsum(lanzamientos_10 == "A") #suma acumulada de águilas

##  [1] 1 1 1 2 2 2 2 3 4 5

Dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2)

##  [1] 1.00 0.50 0.33 0.50 0.40 0.33 0.29 0.38 0.44 0.50

Lanzamientos