Probabilidad

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Introducción a la probabilidad

Incertidumbre

Introducción

Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar la incertidumbre. Wasseman

1. Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.

2. Interpretación frecuentista de la probabilidad.

3. Probabilidad condicional y su relación con la independencia.

4. La regla de Bayes.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio.

e.g. Si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[ \Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \]

Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios:

• El número de lanzamientos de un dado hasta que obtienes un 6.
• Tu calificación final en el curso.
• El tiempo en minutos hasta tu próximo estornudo.
• El peso de una lata de Coca-Cola (incluyendo el líquido).

Un Evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayúsculas.

e.g. Que el primer lanzamiento resulte águila.

\[ A=\{AA, AS\} \] Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver con una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo.

e.g. En la carrera de Ing. Química hay:

• 300 estudiantes Hombres

• 700 Mujeres

la proporción de hombres es:

\[ \frac{300}{700+300} = 0.3\]

Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A divido entre el número de total de posibles resultados:

\[P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)}\]

Por lo que solo hace falta contar.

e.g. Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de se seleccionado.

Por otra parte, hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}}\]

y la función para calcular las combinaciones es choose (n, r)

choose(6, 3) * choose(9, 2) / choose(15, 5)

## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de la probabilidad

Una frecuencia relativa es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones.

Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y obtenemos:

lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"),10, replace = TRUE )
lanzamientos_10

##  [1] "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S"

Podemos calcular la secuencia de frecuencias relativas de águilas:

cumsum(lanzamientos_10 =="A") #Suma acumulada de águila

##  [1] 0 0 0 1 1 2 3 4 5 5

Dividiendo:

round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2)

##  [1] 0.00 0.00 0.00 0.25 0.20 0.33 0.43 0.50 0.56 0.50

Lanzamientos

Conclusiones

En esta asignación se analizaron los conocimientos básicos de probabilidad y como es que se relaciona con la estadística. Además, se incluyeron nuevos conocimientos de personalización de tema para Markdown y la agregación de imágenes al documento.