1 LIMITES

1.1 Introdução

Em cálculo de de função de uma variável \(y = f(x)\), dizemos que

\(\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L\)

se para \(x\) suficientemente próximo de \(a\), pudermos tomar \(f(x)\) tão próximo de \(L\) quanto quisermos, isto é, dado um número qualquer \(\epsilon >0\) existe um número \(\delta >0\), tal que, para todo \(x\) com

\(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon\)

O fato de termos \(0<|x-a|<\delta\), significa que \(x\) está a uma distância de \(a\) menor que \(\delta\) do lado direito ou esquerdo de \(a\).

1.1 Limite de funções de duas variáveis

No caso de uma função de \(2\) variáveis, Se os valores de \(f(x, y)\) estão arbitrariamente próximos de um número real fixado \(L\) para todos os pontos \((x, y)\) suficientemente próximos de um ponto \((x_{0}, y_{0})\), dizemos que \(f\) se aproxima do limite \(L\) quando \((x, y)\) se aproxima de \((x_{0}, y_{0})\). Observe, entretanto, que, se \((x_{0}, y_{0})\) está no interior do domínio de \(f\), \((x, y)\) pode se aproximar de \((x_{0}, y_{0})\) a partir de qualquer direção. Para o limite existir, o mesmo valor limitante deve ser obtido, qualquer que seja a direção de aproximação tomada.

DEFINIÇÃO: Dizemos que uma função \(f(x, y)\) se aproxima do limite \(L\) à medida que \((x, y)\) se aproxima de \((x_{0},y_{0})\) e escrevemos

\(\lim_{(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})} f(x)=L\)

se, para todo número \(\epsilon >0\), existe um número \(\delta >0\) correspondente tal que, para todo \((x, y)\) no domínio de \(f\),

\(|f(x,y)-L|<\epsilon\) sempre que \(0<\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}<\delta\).

Observações:

  • O teorema do confronto também vale para limite de funções de várias variáveis;

  • Existem infinitas maneiras de \(x\) se aproximar de \(x_{0}\). Porém, a noção de distância não depende da maneira como \(x\) se aproxima de \(x_{0}\). Portanto, se o limite existe, \(f(x)\) deve se aproximar de \(L\) independentemente da maneira como \(x\) se aproxima de \(x_{0}\).

TEOREMA

-a)- Se \(f(x,y)\rightarrow L\) quando \((x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})\) então \(f(x,y) \rightarrow L\) ao longo de qualquer curva lisa.

-b)- Se o limite de \(f(x,y)\) deixar de existit quando \((x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})\) ao longo de uma curva lisa ou se \(f(x,y)\) tiver limites diferentes quando \((x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})\) ao longo de duas curvas diferentes no domínio de \(f(x,y)\) então o limite de \(f(x,y)\) não existe quando \((x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})\).

Exemplo Mostre que \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\) não existe.

Exemplo do meu caderno da UFLA e do livro do Stwart

TEOREMA 1 — Propriedades dos limites de funções de duas variáveis. As regras a seguir são verdadeiras se \(L\), \(M\) e \(k\) forem números reais e

Exemplo Podemos combinar os três resultados simples, seguindo a definição de limite com os resultados no Teorema 1 para calcular os limites. Simplesmente substituímos os valores de \(x\) e \(y\) do ponto sendo aproximado na expressão funcional para encontrar o valor limite.

Mais exemplos do Thomas