CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul

1 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS

1.1 Introdução

Em Cálculo I trabalhamos com funções de uma variável \(y = f(x)\) e o gráfico correspondente \(y = f(x)\), que é uma curva (no plano)

Domínio:\(D:[a,b]\)

Agora trabalharemos com funções de várias variáveis. Muitas funções dependem de mais do que uma variável independente.Estas funções aparecem naturalmente na natureza, na economia e nos mais variados campos da ciência. Por exemplo:

• A temperatura em um determinado ponto da terra depende da latitude, da longitude e a altitude, ou seja, depende de 3 variáveis.

• O lucro de um determinado produto, depende do custo da matéria prima, do custo da mão de obra e em alguns casos de outros custos adicionais.

• A área aproximada da superfície do corpo de uma pessoa depende do seu peso e altura.

• O volume de um cilindro circular reto depende de seu raio e a altura.

Todos estes exemplos representam funções de várias variáveis. Assim, no último exemplo, temos que o volume do cilindro pode ser indicado por uma função de duas variáveis independentes \(r\) e \(h\), indicada por \(V=V (r,h)\), e cuja regra é \(V(r,h)= \pi \cdot r^{2} \cdot h\).

As funções reais de várias variáveis reais independentes são definidas da mesma forma que as funções no caso de uma variável. Os pontos no domínio são pares ordenados (triplas, quádruplas, n-uplas) de números reais, e os valores na imagem são números reais.

A terminologia e a notação para funções de duas ou mais variáveis são análogas àquelas para funções de uma variável. Por exemplo, a expressão \(z = f (x, y)\) significa que \(z\) é uma função de \(x\) e \(y\) no sentido de que um único valor da variável dependente \(z\) é determinado especificando valores para as variáveis independentes \(x\) e \(y\).

Analogamente, \(w = f (x, y, z)\) expressa \(w\) como uma função de \(x\), \(y\) e \(z\) e \(u = f (x_{1}, x_{2}, . . . , x_{n})\) expressa \(u\) como uma função de \(x_{1}, x_{2},…, x_{n}\).

1.1 Função de duas variáveis

DEFINIÇÃO : Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função \(f:A\rightarrow B\), onde \(A \subset \mathbb{R}^{2}\). Uma tal função associa a cada par \((x, y) \in A\), um único número \(ƒ( x, y ) \in \mathbb{R}\). O domínio é todo o plano \(xy\) ou parte dele.

Exemplo 01: A função é \(z=f(x,y)= 5\)

A superfície é um plano infinito, paralelo a \(x\),\(y\) e passando por \(z=5\).

Exemplo 02: Determine o domínio, o gráfico e a imagem da função \(f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}\).

A imagem de \(f(x, y)\) é o conjunto de valores que \(f(x, y)\) assume para \((x, y) \in D\). Pode ser obtida projetando o gráfico \(z = f(x, y)\) no eixo dos \(z: I = [0, 3]\):

Exemplo 03: Descreva o domínio da função \(f(x,y)= \sqrt{y-x^{2}}\).

Solução: Uma vez que \(f\) é definida somente onde \(y – x^{2} ≥ 0\), o domínio é a região fechada, não limitada. A parábola \(y=x^{2}\) é a fronteira do domínio. Os pontos acima da parábola compõem o interior do domínio.

Exemplo 04: meu livro do anton página 926

1.1 Curvas de nível

Estamos todos familiarizados com os mapas topográficos (ou de contornos) nos quais uma paisagem tridimensional, tal como a extensão de uma montanha, está representada por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevação constante.

Suponha que o gráfico de \(f(x, y)\) é a superfície da montanha do Pão de Açúcar:

O mapa de contornos foi construído passando planos de elevação constante pela montanha, projetando o contorno resultante sobre uma superfície plana e classificando os contornos por sua elevação.

Note que o gráfico de \(f(x, y)\) à volta dos cumes da montanha se parece com um parabolóide elíptico (voltado para baixo), enquanto que o gráfico de \(f(x, y)\) à volta do vale da montanha se parece com um parabolóide hiperbólico (‘sela’). Podemos identificar isso também no Mapa de contorno.

Imagine que descemos a montanha da altura \(k = 200\) para \(k = 150\), ora pelo caminho \(1\), como ilustrado na figura acima, ora pelo caminho \(2\). Por qual dos caminhos o declive da montanha é maior? O declive é maior pelo caminho \(1\), pois descemos a mesma altura percorrendo uma distância menor.

Os mapas de contornos são úteis também para o estudo de funções de duas variáveis. Se a superfície \(z = f(x, y)\) for cortada pelo plano horizontal \(z = k\), então todos os pontos da interseção têm \(f(x, y) = k\). A projeção dessa interseção sobre o plano \(xy\) é denominada curva de nível de altura k ou curva de nível com constante k. Um conjunto de curvas de nível para \(z = f(x, y)\) é chamado de um esboço de contornos ou mapa de contornos de f.

Exemplo: Esboce o mapa de contornos de \(f(x, y)= 6-3x-2y\) usando as curvas de nível de altura \(k = −6,0,6, 12\).

A seguinte figura apresenta o gráfico da função \(f(x, y)= 6-3x-2y\)

As curvas de nível da função \(f(x, y)= 6-3x-2y\) para um certo \(k\) satisfazem

\(6 − 3x − 2y = k\) ou \(3x + 2y + (k − 6)\)

São retas com inclinação \(-\frac{3}{2}\) e estão as curvas de nível para os valores \(k = −6, 0, 6,12\) são.

Exemplo: Esboce o mapa de contornos de \(f(x, y) = 4x^{2} + y^{2}\) usando as curvas de nível de altura \(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5\).

• Solução O gráfico da superfície \(z = 4x^{2} + y^{2}\) é o paraboloide, logo é razoável esperar que o mapa de contorno seja uma família de elipses centradas na origem. A curva de nível de altura \(k\) tem a equação $ 4x^{2} + y^{2}=k$.

Se \(k = 0\), então o gráfico é o único ponto \((0, 0)\). Se \(k > 0\), podemos reescrever a equação como

que representa uma família de elipses com cortes no eixo \(x\) iguais \(a\pm \frac{\sqrt{k}}{2}\) cortes no eixo \(y\) iguais \(a\pm {\sqrt{k}}\) O mapa de contornos para os valores especificados de \(k\) é

1.1 Funções de três variáveis

DEFINIÇÃO Uma função com três variáveis associa a cada tripla ordenada \((x,y, z) \in D \subseteq \mathbb{R}^{3}\) um único número real, denotado por \(f (x, y, z)\) .

ExemploO domínio da função \(f(x,y,z)=ln(z−y)+xy \sin z\), é o conjunto \(D=f(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}: z>y\)

Uma vez que os gráficos de funções de três variáveis consistem em pontos \((x, y, z,f (x, y, z))\) em um espaço quadridimensional, não podemos esboçá-los de maneira eficaz em nosso sistema tridimensional de coordenadas de referência. Podemos ver como a função se comporta, entretanto, analisando suas superfícies de nível tridimensionais.

Contudo, se \(k\) for consntante, então o gráfico da equação \(f(x,y,z)=k\) será geralmente, uma superfície no espaço tridimendional.

Exemplo: Descreva as superfícies de nível de \(f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\)

Solução: As superfícies de nível têm equações da forma \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=k\),

-Se \(k>0\), o gráfico dessa equação é uma esfera de raio \(\sqrt{k}\) centrada na origem;

-Se \(k=0\), o gráfico é um único ponto \((0,0,0)\);

-Se \(k<0\), não há superfície de nível, pois não temos pontos \((x,y,z)\) que satisfaz a equação.