Las variables aleatorias cuantitativas se pueden resumir con cuatro tipos de medidas, que permiten determinar el comportamiento de las mismas en la muestra o población observada:
Dado que en general no se acostumbra a medir toda la población (censo), generalmente las mediciones se hacen sobre una muestra, por lo que las medidas que se presentan a continuación son denominadas “muestrales”.
En esta sección el estudiante comprenderá:
El rector de universidad quiere saber qué tan buenos hábitos alimencios y de estilo de vida tienen sus estudiantes, para lo cuál seleccionó una muestra de los mismos y les midió el peso y la talla, entre otras cosas.
Pregunta de investigación: ¿Cuál es el valor promedio del IMC en los estudiantes de la muestra?, ¿la media es un buen indicador del centro del IMC de los estudiantes?
Asumiendo que la variable de interés es \(X\) y que los valores observados en la muestra son \(x_1\),\(x_2\),,\(x_n\), la media aritmética es el valor que se ubica justo en el “centro de gravedad” de los datos, el cual se define como: \[M(x)=\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\]
Los siguientes datos correponden al IMC (kg/m\(^2\)) de 20 estudiantes:
21.1, 22.5, 20.1, 23.4, 21.8, 20.3, 24.7, 20.9, 18.9, 22.0, 22.2, 20.8, 17.9, 19.0, 20.3, 16.9, 22.4, 21.2, 21.2, 21.5
Calcular el IMC promedio para estos 20 estudiantes.
En este caso se tiene que \(n=20\) y \[ M(x) = \frac{1}{20}(21.1 + 22.5 + \ldots + 21.5) = 20.955\,. \]
# Datos (IMC)
x <- c(21.1, 22.5, 20.1, 23.4, 21.8, 20.3, 24.7, 20.9, 18.9, 22.0,
22.2, 20.8, 17.9, 19.0, 20.3, 16.9, 22.4, 21.2, 21.2, 21.5)
# tamaño de la muestra
length(x)## [1] 20## [1] 20.955## [1] 20.955De 500 estudiantes cuya estatura promedio es 1.57 metros, 150 son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1.52 metros, ¿cuál es la estatura promedio de los hombres?
En este caso \(n=500\) (total de individuos en la muestra), \(n_1=150\) (total de mujeres), y \(n_2=500-150=350\) (total de hombres). Además, el promedio “global” es \(\bar{x} = 1.57\) y el promedio de las mujeres es \(\bar{x}_1 = 1.52\). Si \(\bar{x}_2\) denota el promedio de los hombres, entonces: \[ \bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n} \quad\Rightarrow\quad \bar{x}_2 = \frac{(1.57)(500) - (150)(1.52)}{350}=1.591\,. \] Así, el promedio de los hombres es 1.591 metros.
## [1] 1.591429En algunas ocasiones no se dispone de los datos de cada individuo, sino de una tabla de resumen con los conteos obtenidos para cada valor de la variable, así:
| Valor | F. Absoluta | F. Relativa |
|---|---|---|
| \(y_1\) | \(n_1\) | \(h_1\) |
| \(y_2\) | \(n_2\) | \(h_2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(y_m\) | \(n_m\) | \(h_m\) |
| Total | \(n\) | \(1\) |
Así, el promedio de la variable \(y\) está dado por: \[M(y)=\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n_j}y_{ij}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}n_jy_{j}=\sum_{j=1}^{m}h_jy_j\]
Suponga que a un grupo de \(200\) estudiantes se le indagó sobre el número de hermanos (\(y\)). Los resultados fueron los siguientes:
| \(y_j\) | \(n_j\) | \(h_j\) |
|---|---|---|
| 0 | 38 | |
| 1 | 67 | |
| 2 | 44 | |
| 3 | 32 | |
| 4 | 11 | |
| 5 | 8 | |
| Total | 200 |
El número promedio de hermanos para estos \(n=200\) estudiantes es de \(1.675\), ya que \[M(y)=\frac{1}{200}(0*38+1*67+2*44+3*32+4*11+5*8)=\frac{335}{200}=1.675\]
Note que el valor del promedio no es necesariamente un valor plausible de la variable, ya que no es posible tener \(1.675\) hermanos.
# número de hermanos
y <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5)
# frecuencia absoluta
nj <- c(38, 67, 44, 32, 11, 8)
# tamaño de la muestra
sum(nj)## [1] 200## [1] 0.190 0.335 0.220 0.160 0.055 0.040## [1] 1.675## [1] 1.675Para las variables continuas, es posible que la información disponible se encuentre en una tabka con datos agrupados por intervalos:
| Intervalo | Marca de clase | F. Absoluta | F. Relativa |
|---|---|---|---|
| \(y'_{0}-y'_{1}\) | \(y_1\) | \(n_1\) | \(h_1\) |
| \(y'_{1}-y'_{2}\) | \(y_2\) | \(n_2\) | \(h_2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(y'_{m-1}-y'_{m}\) | \(y_m\) | \(n_m\) | \(h_m\) |
Donde \(y_j=\frac{y'_{j-1}+y'_{j}}{2}\) es la marca de clase del intervalo \(j\) y el promedio se calcula como:
\[M(y)=\bar{y}\approx \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}n_jy_{j}=\sum_{j=1}^{m}h_jy_j\] ¿En la fórmula anterior, por qué se utiliza \(\approx\) en lugar de \(=\)?
Una vez se observó la muestra, se obtuvieron los siguientes resultados:
| \((y'_{j-1}-y'_{j}]\) | \(y_j\) | \(n_j\) |
|---|---|---|
| \(15-16\) | \(15.5\) | \(2\) |
| \(16-17\) | \(16.5\) | \(5\) |
| \(17-18\) | \(17.5\) | \(29\) |
| \(18-19\) | \(18.5\) | \(76\) |
| \(19-20\) | \(19.5\) | \(118\) |
| \(20-21\) | \(20.5\) | \(96\) |
| \(21-22\) | \(21.5\) | \(83\) |
| \(22-23\) | \(22.5\) | \(37\) |
| \(23-24\) | \(23.5\) | \(4\) |
Calcular la media asociada con este conjunto de datos agrupados.
El número de intervalos es \(m=9\) y el tamaño de la muestra es \(n=\sum_{j=1}^{m} n_j = 450\). De este modo, la media del IMC asociada con este conjunto de datos agrupados está dada por: \[M(y)\approx\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}n_j\,y_{j}=\frac{1}{450}\left( (2)(15.5) + (5)(16.5) + \ldots + (4)(23.5) \right)=20.015\,.\] Por lo tanto, la media del IMC de este grupo de 450 personas es 20.015.
# limite inferior de los intervalos
li <- 15:23
# limite superior de los intervalos
ls <- 16:24
# marca de clase
yj <- (li+ls)/2
print(yj)## [1] 15.5 16.5 17.5 18.5 19.5 20.5 21.5 22.5 23.5## [1] 9## [1] 450## [1] 0.004444444 0.011111111 0.064444444 0.168888889 0.262222222 0.213333333
## [7] 0.184444444 0.082222222 0.008888889## [1] 20.01556## [1] 20.01556La media aritmética otorga igual “importancia” (ponderación o peso) a cada observación: \(1/n\). Sin embargo, en algunas ocasiones la importancia relativa de los datos no es la misma, por lo que los datos son ponderados de tal forma que esta importancia se ve reflejada en las medidas estadísticas correspondientes.
La media aritmética ponderada es un promedio que tiene en cuenta la importancia relativa de cada uno de los datos y se calcula como: \[ M(x)=\frac{\sum_{i} w_i x_i}{\sum_{i} w_i} \] donde \(w_i\) es la ponderación y \(x_i\) es el dato, la clase o la marca de clase correspondiente. El límite superior de las sumatorias de la fórmula anterior depende de si se dispone de datos agrupados o no agrupados.
Las calificaciones de un estudiante están conformadas de acuerdo con la información que se presenta en la siguiente tabla. Calcular la calificación promedio del estudiante.
| Actividad | Calificación | Valor |
|---|---|---|
| Examen | 4.5 | 40% |
| Trabajo | 1.0 | 10% |
| Investigación | 3.5 | 50% |
Observe que las actividades académicas no tienen el mismo peso en la evaluación. Por lo tanto, siguiendo la fórmula del promedio ponderado se obtiene que el promedio del estudiante es: \[ M(x) = \frac{\sum_{i} w_i x_i}{\sum_{i} w_i} = \frac{(4.5)(0.4) + (1.0)(0.10) + (3.5)(0.50) }{0.40 + 0.10 + 0.5} =3.65. \] Luego, el promedio del estudiante en esta asignatura es 3.65.
## [1] 0.4 0.1 0.5## [1] 3.65La mediana o percentil 50 del conjunto de datos \(x_1,x_2,\ldots, x_n\) corresponde al dato cuyo valor acumula el \(50\%\) de los datos, y se calcula como:
\[ P_{50}= \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} & \text{si $n$ es impar}\\ \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)}+x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} & \text{si $n$ es par} \end{cases} \] donde \(x_{(i)}\) es la observación que ocupa la \(i\)-ésima posición del conjunto de datos ordenado ascendentemente.
Calcular e interpretar la mediana del IMC de los 20 estudiantes.
Dado que el tamaño de la muestra es un número par, \(n=20\), se tiene que la mediana corresponde al promedio de las posiciones \(\frac{n}{2}=10\) y \(\frac{n}{2}+1=11\) del conjunto de datos ordenados ascendentemente,esto es:
\[P_{50} = \frac{x_{(10)}+x_{(11)}}{2} =\frac{21.1+21.2}{2}=21.15\,.\]
Por lo tanto, el 50% de los IMCs son menores (mayores) o iguales que 7.7.
Además, observe que en este caso la mediana (21.15) es ligeramente mayor que la media (20.955), lo cual sugiere que la distribución de los IMCs presenta un leve sesgo negativo (a la izquierda).
# Datos (IMC)
x <- c(21.1, 22.5, 20.1, 23.4, 21.8, 20.3, 24.7, 20.9, 18.9, 22.0, 22.2, 20.8, 17.9, 19.0, 20.3, 16.9, 22.4, 21.2, 21.2, 21.5)
# tamaño de la muestra
n<-length(x)
n## [1] 20#posiciones
pos1<-n/2
pos2<-n/2+1
# ordenar datos ascendentemente
x <- sort(x, decreasing = FALSE)
# mediana, dato en la posicion (n+1)/2
(x[pos1]+x[pos2])/2## [1] 21.15## [1] 21.15## 50%
## 21.15Los datos de la siguiente tabla corresponden al número de hijos de una muestra de empleados de una empresa. Calcular e interpretar la mediana.
| Número de hijos | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F. Absoluta | 12 | 12 | 6 | 4 | 6 | 40 |
El tamaño de la muestra es \(n=40\). Ahora, debido a que el total de datos es par y que los datos de la tabla están organizados ascendentemente, se tiene que la mediana es el valor ubicado entre las observaciones de las posiciones \(\frac{n}{2} = 20\) y \(\frac{n}{2} + 1 = 21\). Por lo tanto, la mediana es \(P_{50} = \frac{1+1}{2} = 1\). Este valor indica que la mitad de los empleados no tienen hijos o tienen uno solo.
# numero de hijos
y <- 0:4
# frecuencia absoluta
nj <- c(12, 12, 6, 4, 6)
# tamaño de la muestra
n <- sum(nj)
print(n)## [1] 40## [1] 20## [1] 21## [1] 12 24 30 34 40## [1] 1Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencia por intervalos: \[P_{50}\approx y'_{k-1}+a_k\left(\frac{0.5n-N_{k-1}}{n_k}\right)\] donde:
El intervalo que acumula el \(50\%\) es \((19,20]\), por lo tanto la mediana del IMC de los \(450\) estudiantes es:
\[P_{50}=19+\left(\frac{0.5*450-112}{118}\right)=19.96\] Es decir que el \(50\%\) de los \(450\) estudiantes tuvieron un IMC de \(19.96\) o menos.
# limite inferior de los intervalos
li <- 15:23
# limite superior de los intervalos
ls <- 16:24
# marca de clase
yj <- (li+ls)/2
print(yj)## [1] 15.5 16.5 17.5 18.5 19.5 20.5 21.5 22.5 23.5## [1] 9# frecuencia absoluta
nj <- c(2, 5, 29, 76, 118, 96, 83, 37, 4)
# tamaño de la muestra
n <- sum(nj)
print(n)## [1] 450## [1] 0.004444444 0.011111111 0.064444444 0.168888889 0.262222222 0.213333333
## [7] 0.184444444 0.082222222 0.008888889## [1] 0.004444444 0.015555556 0.080000000 0.248888889 0.511111111 0.724444444
## [7] 0.908888889 0.991111111 1.000000000## [1] 2 7 36 112 230 326 409 446 450# indice primer intervalo tal que Hj > 0.5
k <- 5
# mediana
li[k] + (ls[k]-li[k])*((0.5*n - Nj[k-1])/nj[k])## [1] 19.95763# en este caso no se debe utilizar las funciones median y quantile dado que los
# datos estan agrupados en una tablaNota: La media y la mediana coinciden cuando la distribución de los datos es simétrica.
La moda de un conjunto de datos agrupados por intervalos, denotada con \(M_d(x)\) o \(\breve{x}\), corresponde al(a los) valor(res) que maximiza(n) la distribución de frecuencias, para datos agrupados en forma continua:
\[M_d(x)=y'_{k-1}+a_k\left(\frac{n_k-n_{k-1}}{2n_k-n_{k-1}-n_{k+1}}\right)\] donde:
Calcule la moda del IMC en el grupo de los \(450\) estudiantes.
Las medidas de localización o percetiles son valores que delimitan superiormente un determinado porcentaje de los datos observados.
El percentil \(t\) de un conjunto de datos, denotado con \(P_t\), se define como un valor tal que \(t\%\) de los datos es menor o igual que dicho valor.
Como casos particulares se tienen los cuartiles (percentiles 25, 50 y 75; la mediana es el percentil 50 o cuartil 2).
\[P_t=\left\lbrace\ x\mid H_x=t/100\right\rbrace\]
Calcular e interpretar los cuartiles del conjunto de datos no agruapdos del IMC.
# Datos (IMC)
x <- c(21.1, 22.5, 20.1, 23.4, 21.8, 20.3, 24.7, 20.9, 18.9, 22.0, 22.2, 20.8, 17.9, 19.0, 20.3, 16.9, 22.4, 21.2, 21.2, 21.5)
# percentiles 25 y 75
quantile(x, probs = c(0.25, 0.75))## 25% 75%
## 20.25 22.05Para datos agrupados por intervalo:
\[P_{t}=y'_{k-1}+c_k\left(\frac{nt/100-N_{k-1}}{n_k}\right)\] donde:
Calcule los percentiles \(25\) y \(75\) del IMC del grupo de \(450\) pacientes.