1.1 Introdução

As funções são definidas abstractamente por certas relações. Por causa de sua generalização, as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas. O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de “fórmula matemática”. Por exemplo: O perímetro de um quadrado é o quádruplo do lado, então o perímetro \(P\) está em função do lado \(L\) através da fórmula \(P=4 L\).

1.2 Conjuntos, relações e funções

1. Sejam \(A = \{0,5,15\} \text{ e } B = \{0,5,10,15,20,25\}\) e a relação de \(A\) em \(B\) expressa pela fórmula \(y = x+5, \text{ com } x \in A \text{ e } y \in B\). Podemos observar que:

• todos os elementos de A estão associados a elementos de B;
• cada elemento de A está associado a um único elemento de B.
• Logo, esta relação de \(A\) em \(B\) é uma função de \(A\) em \(B\).

2. Sejam \(A = \{-2,0,2,5\} \text{ e } B = \{0,2,5,10,20\}\) e a relação de \(A\) em \(B\) expressa pela fórmula \(y = x \text{ com } x \in A \text{ e } y \in B\). Podemos observar que:

• nem todos os elementos de \(A\) estão associados aos elementos de \(B\) (o elemento \(-2\) não possui correspondente em \(B\)).
• Logo, esta relação de \(A\) em \(B\) não é uma função de \(A\) em \(B\).

3. Sejam \(A = \{-3,-1,1,3\} \text{ e } B = \{1,3,6,9\}\) e a relação de \(A\) em \(B\) expressa pela fórmula \(y = x^2 , \text{ com } x \in A \text{ e } y \in B\). Podemos observar que:

• todos os elementos de \(A\) estão associados a elementos de \(B\);
• cada elemento de \(A\) está associado a um único elemento de \(B\).
• Logo, esta relação de \(A\) em \(B\) é uma função de \(A\) em \(B\).

4. Sejam \(A = \{-2,2,-3,3\} \text{ e } B = \{16,81\}\) e a relação de \(A\) em \(B\) expressa pela fórmula \(y = x^4, \text{ com } x \in A \text{ e } y \in B\). Podemos observar que ( completar! ).

1.3 Definição de função

Sendo \(A\) e \(B\) dois conjuntos não vazios e uma relação \(f\) de \(A\) em \(B\). Esta relação \(f: A \rightarrow B\) é uma função de \(A\) em \(B\) se a cada elemento \(x\) do conjunto \(A\) está associado um único elemento \(y\) de \(B\). E utilizamos a notação \(y = f(x)\), como por exemplo: \[ y=f(x)=x+5, \] significa que cada elemento \(x\) de \(A\) está relacionado a um único elemento \(y\) de \(B\) através da fórmula \(y=f(x)=x+5\).

1.4 Exercícios

1. \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ tal que } f(x)=x^2\). Especifique os conjuntos domínio, contradomínio e imagem da função.

2. Sejam \(A=\{-1,0,1\} \text{ e }, B = \{-2,-1,1,2,3,4\} \text{ e } f: A \rightarrow B \text{ tal que } f(x) = 2x+1\).

1. Especifique os conjuntos domínio, contradomínio e imagem da função;
2. Represente no diagrama de flechas.

3. Para as funções abaixo, especifique os conjuntos domínio e imagem, e construa o gráfico da função.

1. \(f(x)=\frac{x^2}{2}\);
2. \(f(x)=x^3\).

1.5 Classificação das funções

1.5.1 Função injetora, sobrejetora ou bijetora

• Função injetora
  Uma função é injetora se cada elemento da imagem está associado a apenas um único elemento do domínio, isto é, \(x \neq y\) no domínio implica que \(f(x) \neq f(y)\) no contradomínio. Então temos que
• O número de elementos do contradomínio é sempre maior que ou igual ao número de elementos do domínio.

Example 1.2 Sejam \(A=\{-1,0,1,2\}, B=\{0,1,2,3,4,5\} \text{ e } f: A \rightarrow B \text{ tal que } f(x) = x+1\). Esta função é injetora.

• Função sobrejetora
  Uma função é sobrejetora se todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio. Então temos que
• O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio.

Example 1.3 Sejam \(A=\{-2,-1,0,1\}, B=\{0,1,4\} \text{ e } f: A \rightarrow B \text{ tal que } f(x) = x^2\). Esta função é sobrejetora.

• Função bijetora, ou bijetiva
  Uma função é bijetora se ela for injetora e sobrejetora, isto é, se todos os elementos do domínio estão associados aos elementos do contradomínio sob uma relação um-a-um.

Example 1.4 Sejam \(A=\{0,2,3\}, B=\{1,5,7\} \text{ e } f: A \rightarrow B \text{ tal que } f(x)=2x+1\). Esta função é bijetora.

Figure 1.1: Exemplos de a) função injetora, b) função sobrejetora, c) função bijetora.

Figure 1.2: Exemplos de a) função injetora, b) função sobrejetora, c) função bijetora.

Figure 1.3: Exemplos de a) função injetora, b) função sobrejetora, c) função bijetora.

Example 1.5 Seja \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ tal que } f(x)=x^2\). Esta função não é injetora nem sobrejetora. Tarefa: Justificar a afirmação acima, construir o gráfico e interpretar.

1.6 Tipos de funções

1.7 Função composta

Quando se calcula uma expressão da forma \(g(f(x))\), em que \(f\) e \(g\) são funções, estamos calculando \(h(x)\), em que \(h\) é a função composta de \(g\) e \(f\). Assim, a função composta \(h=g\circ f\) (lê-se “g bola f”), deve ser entendida como uma função \(h\) em que, primeiro, a função \(f\) é executada, e, em seguida, a função \(g\) é executada: \[ h(x)=(g\circ f)(x) \text{ ou seja } h(x) = g(f(x)). \]

Matematicamente Sejam as funções \(f:X \rightarrow Y \text{ e } g:Y \rightarrow Z, \text{ a função composta } g \circ f \text{ é a função }<br> h: X \rightarrow Z \text{ tal que } h(x)=g(f(x)), \forall x \in X.\)

1.8 Função inversa

A função inversa de uma função \(f:X \rightarrow Y \text{ é, quando existe, a função } f^{-1}:Y \rightarrow X\) tal que
\(f \circ f^{-1} = Id(x) \text{ e } f^{-1} \circ f = Id(x), \text{ em que } Id(x)\) é a função identidade.
Importante Uma função \(f\) somente possui inversa se \(f\) for bijetora:

• Cada elemento do conjunto imagem de \(f\) está relacionado a um, e somente um elemento do conjunto domínio de \(f\);
• O conjunto contradomínio de \(f\) é igual ao conjunto imagem de \(f\).

• A função \(f\) é bijetora;

• A inversa da função \(f\) é a função \(f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \text{ tal que } f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3}\);

• Passos para encontrar a função inversa: Seja \(y=3x+2\);

  • Passo I): Isolar o \(x\) na equação: \(x=\frac{y-2}{3}\);
  • Passo II): Substituir \(y\) por \(x\), e \(x\) por \(y\) na equação: \(y=\frac{x-2}{3}\).

• Conclusão: \(f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3}\). Representação no diagrama de flechas em aula.

• A função composta \(f\circ f^{-1}(x)\) é a função identidade pois \(f\left(f^{-1}(x)\right)=3\left(\frac{x-2}{3}\right)+2=x\);

• A função composta \(f^{-1}\circ f(x)\) é a função identidade pois \(f^{-1}\left(f(x)\right)=\frac{(3x+2)-2}{3}=x\);

• Graficamente, as funções \(f\) e \(f^{-1}\) são simétricas com relação à reta y=x . Este fato acontece para qualquer função. Matematicamente, dizemos que quando uma função possui inversa, esta inversa é única.

ACHAR ESSA FUNCAO PARA COLOCAR

• A função \(f(x)\) é uma função racional (razão de dois polinômios);
• \(x \neq -\frac{3}{2}\) para que \(f(x)\) seja função;
• \(y \neq \frac{1}{2}\) para que o conjunto contradomínio seja igual ao conjunto imagem de f;
• A função \(f(x)\) é bijetora;
• A inversa da função \(f\) é a função \(f^{-1}:\{x \in \mathbb{R}\mid x \neq \frac{1}{2}\} \rightarrow \{y \in \mathbb{R}\mid y \neq -\frac{3}{2}\} \text{ tal que } f^{-1}(x)=\frac{5-3x}{2x-1}\).
• Passos para encontrar a função inversa: Seja \(y=\frac{x+5}{2x+3}\);
  • Passo I): Isolar o \(x\) na equação: \[\begin{eqnarray*} y(2x+3)&=&x+5<br> \Rightarrow y.2x + 3y &=& x+5 \text{ } \text{ } \text{ } \text{ donde } \Rightarrow: \text{ lê-se "portanto" é o símbolo utilizado}<br> \Rightarrow x(2y-1)&=&5-3y \text{ } \text{ } \text{ } \text{ nos passos de uma demonstração }<br> \Rightarrow x &=& \frac{5-3y}{2y-1}. \end{eqnarray*}\]
  • Passo II): Substituir \(y\) por \(x\), e \(x\) por \(y\) na equação: \(y=\frac{5-3x}{2x-1}\);
• O conjunto domínio da função \(f\) é igual ao conjunto contradomínio da função \(f^{-1}\); o conjunto contradomínio da função \(f\) é igual ao conjunto domínio da função \(f^{-1}\); ambas funções \(f\) e \(f^{-1}\) possuem conjunto imagem sendo exatamente igual ao conjunto contradomínio;
• A função composta \(f\circ f^{-1}(x)\) é a função identidade. Tarefa Verificar;
• A função composta \(f^{-1} \circ f(x)\) é a função identidade. Tarefa Verificar.
  
• Tarefa Construa o gráfico da função no excel ou no software R (www.r-project.org). Veja abaixo o código no R (código resumido) para estes gráficos.

Figure 1.4: teste

1.9 Função constante

Função constante é qualquer função do tipo \(f(x)=c, \text{ com } c \in \mathbb{R}\). - \(c\) é uma constante em \(\mathbb{R}\); - O valor da função será sempre o mesmo, para qualquer valor de \(x\) no conjunto domínio; - O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo \(x\).

• O conjunto domínio é: \(D=\mathbb{R}\) e o conjunto imagem é: \(IM=\{2\}\);
• A função não é injetora e não é sobrejetora;
• A função é constante (não é crescente e não é decrescente).

1.10 Função Identidade

Função identidade é a função do tipo \(f(x)=x\).

• O conjunto domínio é: \(D=\mathbb{R}\) e o conjunto imagem é: \(IM=\mathbb{R}\);
• A função é bijetora;
• A função é crescente;
• O gráfico da função \(f(x)=x\), ou equivalentemente \(y=x\) é uma reta que passa pela origem (ponto \((0,0)\)) e pelos 1º e 3º$ quadrantes formando um ângulo de \(45^{\circ}\) com o eixo \(x\);

    x=seq(-10,10,0.1)
    y=rep(2,length(x))
    plot(x,y,type='l',lwd=2,cex.lab=1.5,cex.main=1.5,cex.axis=1.5,axes=FALSE,ylim=c(-2,10),xlab="",ylab="",main="a)")
    abline(h=0)
    abline(v=0)
    text(10,-1/2,"x")
    text(-1/2,10,"y")
    text(-1/2,2.5,"2")
    text(9,2.5,"f(x)=2")

Figure 1.5: Gráficos das funções: a) função constante \(f(x)=2\); b) função identidade \(f(x)=x\)

    #FUNÇÃO IDENTIDADE
    plot(x,x,type='l',lwd=2,cex.lab=1.5,cex.main=1.5,cex.axis=1.5,axes=FALSE,ylim=c(-10,10),xlab="",ylab="",main="b)")
    text(10,-1/2,"x")
    text(-1/2,10,"y")
    text(8,10,"f(x)=x")
    abline(h=0)
    abline(v=0)

Figure 1.6: Gráficos das funções: a) função constante \(f(x)=2\); b) função identidade \(f(x)=x\)

1.11 Função Afim ou função de 1º grau

Função afim (ou função de 1º grau) é qualquer função do tipo \(f(x) = ax+b\), com \(a,b \in \mathbb{R} \text{ e } a \neq 0\).

• \(a\) e \(b\) são os coeficientes da função;
• \(a\) é o coeficiente angular \(\Rightarrow\) o valor de \(a\) determina a inclinação da reta;
• \(b\) é o coeficiente linear, também chamado de intercepto \(\Rightarrow\) o valor de \(b\) determina o ponto onde a reta intercepta o eixo \(y\);
• A função é bijetora;
• A função é crescente quando \(a>0\) ou decrescente quando \(a<0\).

1. \(f(x)=x+5<br> \Rightarrow a=1 \text{ e } b=5\). A função é crescente;
2. \(f(x)=-\frac{x}{3}+7<br> \Rightarrow \text{ o coeficiente angular é igual a } -\frac{1}{3} \text{ e o coeficiente linear é igual a 7 }\). A função é decrescente;
3. \(f(x)=\sqrt{5} x - 8<br> \Rightarrow \text{ o coeficiente angular é igual a } \sqrt{5} \text{ e o intercepto é igual a -8 }\). A função é crescente;
4. \(f(x) = \frac{5}{\sqrt{7}} x - 1<br> \Rightarrow a = \frac{5}{\sqrt{7}} \text{ e a reta intercepta o eixo y no ponto } (0,-1)\). A função é crescente.

1.12 Inequações de 1º grau

Exemplo:
Resolva a inequação: \(5x-1 > 3x+5\). Resp. \(\{x \in \mathbb{R} \mid x > 3\}\).
Passo a passo Deve-se isolar o \(x\) na inequação: \[\begin{eqnarray*} 5x-1 &>& 3x+5 \\ \Rightarrow 5x - 3x &>& 5+1 \\ \Rightarrow 2x &>& 6 \\ \Rightarrow x&>&3. \end{eqnarray*}\] Intepretação gráfica Consiste em fazer o estudo de sinal da função \(f(x)=2x-6\). O gráfico está na figura 9.

Exemplo:
Resolva a inequação: \(2x+1 \leq 4x+6\). Resp. \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -\frac{5}{2}\}\).
Passo a passo \[\begin{eqnarray*} 2x+1 &\leq& 4x+6 \\ \Rightarrow 2x - 4x &\leq& 6-1 \\ \Rightarrow -2x &\leq& 5 \\ \Rightarrow x &\geq& -\frac{5}{2}. \end{eqnarray*}\] Intepretação gráfica Consiste em fazer o estudo de sinal da função \(f(x)=-2x-5\). O gráfico está na figura 9.

Figure 1.9: Gráficos das funções a) \(f(x)=2x-6\); b) \(f(x)=-2x-5\).

Figure 1.10: Gráficos das funções a) \(f(x)=2x-6\); b) \(f(x)=-2x-5\).

1.13 Inequações de 1º grau simultâneas

Exemplo:
Resolva a inequação: \(-1 < 2x-3 \leq x\). Resp. \(\{x \in \mathbb{R} \mid 1 < x \leq 3 \}\).
Passo I) Resolva a inequação do lado esquerdo: \[\begin{eqnarray*} -1 &<& 2x-3\\ \Rightarrow 2 &<& 2 x\\ \Rightarrow 1 &<& x, \text{}{}{}\text{}{}{} \text{donde lê-se: "x é maior do que 1"}; \end{eqnarray*}\] Passo II) Resolva a inequação do lado direito: \[\begin{eqnarray*} 2x-3 &\leq& x\\ \Rightarrow x &\leq& 3. \end{eqnarray*}\]

Intepretação gráfica Consiste em fazer o estudo de sinal das funções \(f(x)=x-1\) e \(f(x)=x-3\). O gráfico está na figura 10.

Figura 10: Gráficos das funções \(f(x)=x-1\) e \(f(x)=x-3\).

Figure 1.11: Gráficos das funções \(f(x)=x-1\) e \(f(x)=x-3\)

1.14 Fatoração de uma função de segundo grau

Exemplo:
Seja a função quadrática \(f(x)=x^2-7x+10\).

• 1. Escreva esta função na forma fatorada: como um produto de duas funções de primeiro grau. Resp. \(f(x)=(x-5)(x-2)\).
     Descrição do método
     Uma função de segundo grau \(f(x)\) escrita em sua forma fatorada deve ser \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\), onde \(a\) é o coeficiente que acompanha o termo \(x^2\) e \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes da função, que podem ser obtidas pela formula de Bhaskara.
• 2. Faça o estudo de sinal da função. Resp. Como a parábola é voltada para cima (\(a>0\)):

\(\checkmark\) \(f(x)=0\) se \(x=5\) ou \(x=2\); \(\checkmark\) \(f(x)>0\) se \(x<2\) ou \(x>5\); \(\checkmark\) \(f(x)<0\) se \(2 < x <5\).

Também podemos recorrer ao o esquema de estudo de sinal, como na figura ; - c) Tarefa Faça o gráfico da função e o estudo de sinal a partir do gráfico.

Dica Algumas vezes conseguimos fatorar uma função de segundo grau sem ter que recorrer à fórmula de Bhaskara, como por exemplo, nos produtos notáveis abaixo.

1. \(f(x)=x^2-1=(x+1)(x-1)\) ou também \(g(x)=x^2-4=(x+2)(x-2)\),
   donde \(f(x)\) tem duas raízes: \(-1\) e \(1\), e o intercepto é igual a \(-1\),
   e \(g(x)\) tem duas raízes \(-2\) e \(2\), e o intercepto é igual a \(-4\);
2. \(f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\), ou também \(g(x)=x^2+4x+4=(x+2)^2\),
   donde \(f(x)\) tem uma raíz: \(-1\), e o intercepto é igual a \(1\),
   e \(g(x)\) tem uma raíz: \(-2\), e o intercepto é igual a 4;
3. \(f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2\), ou também \(g(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\),
   donde \(f(x)\) tem uma raíz: \(1\), e o intercepto é igual a \(1\),
   e \(g(x)\) tem uma raíz: \(2\), e o intercepto é igual a \(4\).

Dica A fatoração da função de segundo grau nos auxilia a:

\(\checkmark\) Encontrar os zeros (ou raízes) da função; \(\checkmark\) Fazer o estudo de sinal da função, mesmo sem conhecer o seu gráfico.

Dica 2 Também podemos fatorar uma função cúbica, como nos casos abaixo:

1. \(f(x)=x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3\), e \(g(x)=x^3+6x^2+12x+8=x^3+3.x^2.2+3.x.2^2+2^3=(x+2)^3\),
   donde \(-1\) é o zero da função \(f(x)\), e o intercepto é igual a \(1\),
   e \(g(x)\) tem uma raíz:\(-2\), e o intercepto é igual a \(8\);
2. \(f(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\), e \(g(x)=x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3\),
   donde \(f(x)\) tem uma raíz: \(1\), e o intercepto é igual a \(-1\),
   e \(g(x)\) tem uma raíz: \(2\), e o intercepto é igual a \(-8\).

Os gráficos estão na figura 14. Tarefa Faça o estudo de sinal das funções \(f(x)\) e \(g(x)\) nos itens “a)” e “b)”.

Figura 14: Gráficos das funções cúbicas.