Lógica Proposicional.

La lógica proposicional es la rama de la Lógica que se encarga de estudiar enunciados cuya validez sólo depende del modo en que las proposiciones se relacionan con los conectivos, más no su estructura interna.

En otras palabras, la lógica proposicional nos permite determinar si un enunciado es verdadero o no, sin importar su significado.

Analogía.

Supongamos que ustedes van a aprender a hablar chino, para poder crear frases necesitan conocer las palabras y para conocer las palabras necesitan conocer el abecedario.

En nuestro caso nosotros queremos aprender a hablar el lenguaje de la Lógica proposicional. El “abecedario” de la lógica proposicional está compuesto de letras proposicionales y conectivos, con esto podemos crear “palabras” o enunciados y determinar si son verdaderos o falsos.

Letras proposicionales.

Las letras proposicionales son parte del “abecedario” de la lógica proposicional sobre el cual trabajaremos. Generalmente se utilizan las letras P, Q y R seguidas por números \(\{1,2,3,\dots ,n\}\) para denotar a las letras proposicionales.

Por ejemplo: la frase “mi perro se llama Gorila” puede representarse mediante la letra proposicional P1.

La frase “mi crush no me hace caso” puede representarse mediante la letra proposicional P2.

Nota:

• El significado de los enunciados no importa. Lo que nos interesa saber es si, por ejemplo, P1 es falso o no.
• No importa el lenguaje de los enunciados, es decir, las frases pueden estar escritas en chino, árabe, inglés, japonés, etc, pero en la lógica proposicional son lo mismo.

Conectivos.

Como parte de este “abecedario” están los conectivos, con los cuales vamos a relacionar las letras proposicionales. Las letras proposicionales junto con los conectivos nos permiten crear enunciados más complejos.

Palabra	Conectivo	Símbolo - lógica proposicional
o	Disyunción	\(\lor\)
y, pero, a pesar de, coma (,)	Conjunción	\(\land\)
no, tampoco	Negación	\(\neg\)
si, entonces, luego, por lo tanto	Implicación	\(\to\)
si y solo si	Doble implicación	\(\leftrightarrow\)

Las letras proposicionales junto con los conectivos nos permiten formar “palabras”.

Por ejemplo, “(P1 \(\to\) P2) \(\land\) P3” es una palabra del lenguaje de la lógica proposicional.

Ejemplos.

Las frases “Está lloviendo” y “La calle está mojada” pueden unirse con el conectivo y como sigue: “Está lloviendo y la calle está mojada”.

Otro ejemplo: las frases “Pienso” y “existo” pueden unirse con el conectivo implicación como sigue: “Pienso, luego existo” - René Descartes.

Estas frases pueden ser representadas dentro del lenguaje de la lógica proposicional como sigue:

• “P1 \(\land\) P2”
• “P3 \(\to\) P4”

Donde:

    "P1": Está lloviendo
    "P2": La calle está mojada.
    "P3": Pienso.
    "P4": Existo.

Del español a la lógica proposicional.

Ahora que ya sabemos cómo son las palabras en la lógica proposicional podemos “traducir” las frases en español a la lógica proposicional. El procedimiento para hacer esto es el siguiente:

1. Identificamos los conectivos y las frases que aparecen dentro del enunciado. 1.1 Resaltar los conectivos así como las comas y los puntos.
2. Creamos un diccionario para representar a las frases identificadas. Aquí asignamos letras proposicionales a las frases encontradas.
3. Obtenemos una fórmula asociada.Aquí juntamos las frases con los conectivos encontrados. Esta es la traducción.

Nota: las letras proposicionales no deben representar a frases con conectivos. Por ejemplo:

“Mi perro no come” es la negación de la frase “Mi perro come”, entonces la primer frase no debe ser representada como letra proposicional.

La fórmula asociada es: “\(\neg Q1\)”, donde “Q1”: Mi perro come.

Del español a la lógica proposicional.

Para ilustrar el procedimiento traduciremos la frase:

    "Si mi crush no me quiere y mi ex tampoco, entonces me voy de fiesta."
    

al lenguaje de la lógica proposicional.

1. “Si mi crush no me quiere y mi ex tampoco , entonces me voy de fiesta”. Está compuesto de 3 frases y 4 conectivos.

2. Creamos el diccionario:

    "P1": Mi crush me quiere.
    "P2": Mi ex me quiere.
    "P3": Me voy de fiesta.

3. Fórmula asociada: “(\(\neg P1\) \(\land\) \(\neg P2\)) \(\to\) P3”.

    "Q1": Anita lava la tina.
    "Q2": ¿Yo qué hago?
    "Q3": Pienso.
    "Q4": Existo.

    "Q1": Anita lava la tina.
    "Q2": ¿Yo qué hago?
    "Q3": Pienso.
    "Q4": Existo.

Ejercicio.

Tenemos el enunciado en el lenguaje de la lógica proposicional.

Paso 1. "Si \(f(x)\) es una función continua en un intervalo \([a,b]\) , y la función \(F(x)\) está definida por:

\(F(x) = \int_a^x f(t)dt\) ,

entonces \(F'(x)=f(x)\) en \([a,b]\) ."

Está compuesto por 3 frases y 2 conectivos.

Paso 2. Creamos el diccionario:

• “R1”: \(f(x)\) es una función continua en un intervalo \([a,b]\).
• “R2”: la función \(F(x)\) está definida por: \(F(x) = \int_a^x f(t)dt\).
• “R3”: \(F'(x)=f(x)\) en \([a,b]\).

Paso 3. “(R1 \(\land\) R2) \(\to\) R3”.

Métodos de demostración.

Hay varios métodos de demostración, los métodos más utilizados son: directo, contrarrecíproca (contraposición), contradicción, reducción al absurdo y por inducción.

Cada método de demostración tiene asociado un esquema dentro de la lógica proposicional, este esquema es en el cual nos basamos al momento de realizar una demostración.

Directo: se prueba directo el enunciado.

Contrarrecíproca: se utiliza para demostrar enunciados del tipo implicación: “\(P1 \to P2\)”.

El método consiste demostrar “\(\neg P2 \to \neg P1\)”, es decir, se supone cierto “\(\neg P2\)” y se prueba “\(\neg P1\)”, este método se utiliza cuando es más fácil demostrar un enunciado que el otro.

Contradicción: se utiliza para demostrar enunciados del tipo implicación: “\(P1 \to P2\)”.

Lo que se hace es suponer cierto “P1” y "\(\neg P2\)’ para poder llegar a una contradicción, es decir, a algo falso.

Reducción al absurdo: se utiliza con enunciados que se escriben con una sola letra proposicional, el método consiste en negar dicho enunciado y llegar a una contradicción.

Por inducción: se utiliza cuando se quiere probar la validez de una propiedad para los números naturales.

Ejemplos.

Ahora veremos cómo elegir cada método y cómo escribirlo:

1. El enunciado: “Si \(a<b\), entonces \(a+c<b+c\)”, se escribe como “\(P1 \to P2\)” es de tipo implicación.

• se puede demostrar de manera directa, es decir, probando que \(a+c<b+c\).
• con el método de contrarrecíproca. Vamos a suponer \(\neg P2\) y vamos a demostrar \(\neg P1\). Esto es, demostrar que: \(a+c\geq b+c\) implica que \(a\geq b\).
• con el métodos de contradicción, vamos a suponer que \(P1\) y \(\neg P2\) son ciertos, es decir, se cumple \(a<b\) y \(a + c \geq b + c\).

2. El enunciado “\(\sqrt 2\) es irracional”, se expresa con una letra proposicional “S1”.

• se puede demostrar de manera directa.
• se puede demostrar con el método reducción al absurdo suponiendo que “\(\sqrt 2\)” es un número racional y luego llegar a una contradicción.

3. El enunciado \(\sum_{k=0}^{k=n}k=\frac{n(n + 1)}{2}\) es un enunciado que involucra a los números naturales, por lo tanto se demuestra con inducción. También se puede probar de manera directa.

¿Cuándo dar un contraejemplo y cuándo hacer una demostración?

Si se tiene un enunciado verdadero entonces se procede a hacer una demostración, por otro lado si el enunciado es falso se debe dar un contraejemplo el cual muestra que dicho enunciado es falso. La pregunta es: ¿Cómo saber qué resultados son verdaderos y cuáles son falsos? Si se sospecha que un enunciado es falso se busca un contraejemplo, generalmente esto puede llegar a ser igual de complicado que demostrar que es verdadero. Actualmente existen resultados que no se han demostrado ni se han encontrado contraejemplos; se llama conjetura cuando se tiene sospecha de que el resultado es verdadero pero no se ha demostrado ni dado contraejemplos.

Tablas de verdad.

La lógica proposicional utiliza las tablas de verdad para determinar si un enunciado es falso o verdadero. No solo en las matemáticas se utilizan, también se utiliza dentro de la programación; se llaman operadores lógicos a los operadores que funcionan como los conectivos conjunción, disjunción y negacion dentro de un lenguaje de programación. Sus tablas de verdad son:

\(P1\)	\(P2\)	\(P1\land P2\)	\(P1\lor P2\)	\(\neg P1\)
V	V	V	V	F
V	F	F	V	F
F	V	F	V	V
F	F	F	F	V