Fundamentos de matemática IV

1.1 Introdução

Segundo dados do Instituto de Geografia e Estatística (IBGE) éramos aproximadamente $194$ milhões de brasileiros em $2012$. Considerando um crescimento populacional aproximado de $1\%$ ao ano, qual foi a estimativa da popualção feita naquele ano, para $2025$?

Podemos notar que em $2016$ a população alcançou mais de $200$ milhões de brasileiros. Notamos que a cada ano que passa, a população cresce devido a uma taxa constante. A estimativa de brasileiros de cada ano é obtida multiplicando-se o número de brasileiros do ano anterior por uma constante $q$ ($1,01$). Em 2025 estima-se que a população brasileira irá ultrapassar seus $220$ milhoes de habitantes. Quando observamos que os nossos dados estão a uma razão constante de multiplicação, chamamos essa progressão de Progressão Geométrica de razão $q$.

1.1 Definição

Chama-se Progressão Geométrica (P.G.) uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante real. Essa constante é chamada de razão da P.G. e é indicado por q, de acordo com a seguinte fórmula de recorrência:

em que $a$ e $q$ são números reais dados.

Exemplos:

i)$(4,12,36,108,...)$, é uma P.G., de razão $q=3$;
ii)$(-3,-15,-75,-375,...)$, é uma P.G., de razão $q=5$;
iii)$(2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...)$, é uma P.G., de razão $q=\frac{1}{2}$;
iv)$(2,-8,32,-128,512,...)$, é uma P.G., de razão $q=-4$;
v)$(-1000,-100,-10,-1,...)$, é uma P.G., de razão $q=\frac{1}{10}=0,1$;
vi)$(-4,-4,-4,-4,...)$, é uma P.G., de razão $q=1$;
vii)$(-\frac{3}{2},\frac{3}{2},-\frac{3}{2},\frac{3}{2}...)$, é uma P.G., de razão $q=-1$;
viii)$(\sqrt{3},0,0,0,0,...)$, é uma P.G., de razão $q=0$;

1.1 Classificação

As progressões geométricas podem ser classificadas em cinco categorias:

1 - Crescente: cada termo é maior que o anterior. Isso pode ocorrer de duas maneiras:

a)- $a_{1}>0$ e $q>0$. Exemplo $i)$ ou

b)- $a_{1}<0$ e $0<q<1$. Exemplo $v)$.

2 - Decescente: cada termo é menor que o anterior. Isso pode ocorrer de duas maneiras:

a)- $a_{1}>0$ e $0<q<1$. Exemplo $iii)$ ou

b)- $a_{1}<0$ e $q>1$. Exemplo $ii)$.

3 - Constante: constantes são as P.G. em que cada termo é igual ao anterior. Observemos que isso ocorre em duas situações:

a)- $q=1$. Exemplo $vi)$ ou

b)- $a_{1}=0$ e $q$ é qualquer número real.

4 - Alternada ou oscilante: são as P.G. em que cada termo tem sinal contrário ao do termo anterior. Isso ocorre quando $q< 0$.

Exemplos: $iv)$ e $vii)$.

5 - Estacionária: é uma P.G. em que $a_{1} \neq0$ e $a_{2}=a_{3}=a_{4}=...=0$. Isso ocorre quando $q=0$.

Exemplos: $viii)$.

1.1 Notações especiais

Para a obtenção de uma P.G. com $3$ ou $4$ ou $5$ termos é muito prática a notação seguinte:

Para $3$ termos: $(x, xq, xq^{2})$ ou $(\frac{x}{q},x,xq)$;
Para $4$ termos: $(x, xq, xq^{2},xq^{3})$ ou $(\frac{x}{y^3},\frac{x}{y},xy,xy^{3})$;
Para $5$ termos: $(x, xq, xq^{2},xq^{3},xq^{4})$ ou $(\frac{x}{q^2},\frac{x}{q},x,xq,xq^{5})$.

Exemplo Qual é o número que deve ser somado a $1,9$ e $15$ para termos, nessa ordem, três números em uma P.G.?

1.1 Fórmula do termo geral

Utilizando a fórmula de recorrência pela qual se define uma P.G. e admitindo dados o primeiro termo $(a_{1} \neq 0)$, a razão $(q \neq 0)$ e o índice $(n)$ de um termo desejado, temos:

$a_{2}=a_{1} \cdot q$

$a_{3}=a_{2} \cdot q$

$a_{4}=a_{3} \cdot q$

$\cdot$

$a_{n}=a_{n-1} \cdot q$

Multiplicando essas $n-1$ igualdades, temos:

então,

A equação acima é conhecida como fórmula geral do termo de uma P.G., nos permite conhecer qualquer termo da P.G. em função de $a_{1}$ e $q$. Demosntração pode-se utilizar o princípio de indução finita.

Exemplo: Obtenha o $10º$ e o $15º$ termos da P.G. $(1, 2, 4, 8, …)$.

1.1 Interpolação geométrica

Interpolar $k$ meios geométricos entre os números $a$ e $b$ significa obter uma P.G. de extremos $a_{1}=a$ e $a_{n}= b$, com $n=k+2$ termos. Para determinar os meios dessa P.G. é necessário calcular a razão. Assim, temos:

Exemplos: Interpolar $8$ meios geométricos (reais) entre $5$ e $2560$.

Formemos uma P.G. com $10$ termos em que $a_{1}=5$ e $a_{10}=2560$. Temos:

1.1 Produto

Será apresentado uma fórmula para calcular o produto $P_{n}$ dos $n$ termos iniciais de uma P.G.

1.1 Soma dos termos de P.G. finita

Queremos encontrar uma expressão para a soma de seus $n$ primeiros termos de uma P.G.. Conhecendo-se os valores de $a_{1} e $q$,Temos:

$S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+...+a_{1}q^{n-2}+a_{1}q^{n-1}$ (1)

Multiplicando ambos os membros por $q$, obtemos:

$qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+...+a_{1}q^{n-1}+a_{1}q^{n}$ (2)

Subtraindo (1) de (2) podemos observar que a $a_{1}$ só aparece em (1) e $a_{1}q^{n}$ só aparece em (2) e os demais são comuns nas duas igualdades, então,temos:

$(2)- (1) \Rightarrow qS_{n}- S_{n} \Rightarrow a_{1}q^{n}-a_{1} \Rightarrow S_{n} \cdot (q-1)=a_{1}q^{n}-a_{1}$

Para $q \neq 1$, a soma dos $n$ termos iniciais de uma P.G. é:

Observe que, se $q=1$, a fórmula deduzida não pode ser aplicada, pois anula o denominador. O que pode ser feito nesse caso?

Exemplos Calcular a soma dos $10$ termos iniciais da P.G. $(1, 3, 9, 27, … )$

1.1 E a soma dos termos de P.G. infinita?

1.1 Progressão Geométrica e a função exponencial

A fórmula do termo geral $a_{n}= a_{1}\cdot q^{n-1}$ é equivalente à $a_{n}=a_{0} \cdot q^{n}$, em que os termos iniciam por $a_{0}$. Logo, podemos associar esta relação como sendo uma função exponencial restrita a números naturais (domínio $= \mathbb{N}$ ) do tipo $a(x) = a_{0} .q^{x}$.

O gráfico dessa função é formado por uma sequência de pontos pertencentes ao gráfico de uma função exponencial.