Introdução

• Literatura: Gestão de Portfólio

• Otimização por média - e variância: Markowitz (1952)

• Carteira de Mínima variância: Estimação de Covariância

• Menor erro de estimação (Merton, 1980)

• Problema de dimensionalidade: Uma carteira com muitos ativos

• Modelo de fatores: retornos financeiros dependem de um pequeno número de variáveis subjacentes chamadas fatores;

• Modelo de Fama - French - Carhart (1997)

\[y_{it} = \alpha_{it} + \beta_{1it}(R_{m} - R_{f}) + \beta_{2it} SMB_{t} + \beta_{3it} HML_{t} + \beta_{4it} PR1YR_{t} + \epsilon_{it}\]

Amostra

• 2722 Observações diárias;

• Período: Jan/2000 a dez/2010;

• Preços;

• 61 ações que fizeram parte do IBOVESPA;

• As primeiras 1722 observações constituem a amostra para estimação dos paramêtros e as outras 1000 observações constituem o teste.

Matriz de Covariância Condicional

• Modelo de fatores dinâmicos heterocedástico e flexível: Santos e Moura (2012)

• Matriz estimada por máxima verossimilhança

\[\mathbf{\beta_t} = \left[\begin{array} {rrr} \beta_{11t} & \beta_{12t} & \beta_{13t} & ... & \beta_{1it} \\ \beta_{21t} & \beta_{22t} & \beta_{23t} & ... & \beta_{2it} \\ \beta_{31t} & \beta_{32t} & \beta_{33t} & ... & \beta_{3it} \\ \beta_{41t} & \beta_{42t} & \beta_{43t} & ... & \beta_{4it} \end{array}\right] \]

• Pesos variantes no tempo

• Especificações: RW e Learning

\[RW: \beta_{it}= \beta_{it-1} + u_{it}\] \[Learning: \beta_{it} = (1 - \phi)B_{it}+\phi \beta_{it-1}+u_{it}\]

• DFGARCH-OLS: Parâmetros constantes

Matriz de Covariância Condicional

• Matriz de Covariância Condicional: Estimado por Correlação Condicional Dinâmica

\[H_t = \beta_t \Omega_t \beta´_t + Ξ_t \] onde \(Ξ = diag(h_{1t}, ..., h_{Nt})\) dado que \(\epsilon\) ~ \(N(0,h_{it})\)

• Matriz de covariância condicionais dos fatores: Estimado por Garch univariado

\[ \Omega_t = D_t R_t D_t\]

onde \(D_t = diag(\sqrt h_{f1t} ,...,\sqrt h_{fkt})\), \(h_{fkt}\) é a variância condicional do k-ésimo fator. \(R_t\) é uma matriz simétrica postiva definida das correlações condicionais com elemento \(\rho_{ij,t}\), onde i,j = 1, …,K

\[\rho_{ij,t} = \frac{q_{ij,t}}{\sqrt{q_{ii,t}q_{jj,t}} } \]

Outros modelos

• Garch Ortogonal

• CKL

• Risk Metrics

Metodologia para avaliação do desempenho

• Variâcia:

\[\sigma^2 = \frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^{T-1}{(w_{t}^{´}R_{t+1} - \mu)^2}\]

• Índice de Sharpe:

\[IS = \frac{\mu}{\sigma}\]

• Turnover:

\[Turnover = \frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^{T-1}{\sum_{j=1}^{N}{(|w_{j,t+1} - w_{j,t}|)}}\]

Resultados

Desempenho das carteiras de variância mínima com rebalanceamento diário

Resultados

Desempenho das carteiras de variância mínima com rebalanceamento semanal

Resultados

Desempenho das carteiras de variância mínima com rebalanceamento mensal

Ideia

reg <- lmlist(y ~ PR + SMB + HML + MOM, data = dados)

coef <- reg$coefficients

res <- reg$residuals

D <- diag(sqrt(res))

R <- corr(dados)

omega <- D % * % R % * % t(D)

H <- coef % * % omega % * % t(coef) + diag(res)

uns <- rep(1,n)

pvm <- H % * % uns