1 Teoria dos Conjuntos

1.1 Introdução

Temos dois tipos de fenômenos presentes na natureza: determinísticos e não determinísticos (ou aleatórios). Nos fenômenos determinísticos, os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrências verificadas. (Existe uma regra geral, ou modelo que define esta regra, como por exemplo \(I = E/R\) (Lei de Ohm). Nos fenômenos não determinísticos, os resultados não são previsíveis (para cada ocorrência os resultados não são iguais). A estes fenômenos associamos um modelo ou regra não determinístico (ou estocástico), o qual será visto ao longo do curso.

1.2 Definições Preliminares

  • Experimentos Aleatórios ao serem repetidos nas mesmas condições não produzem os mesmos resultados.

Exemplo: Lançamento de uma moeda honesta; lançamento de um dado; retirada de uma carta de um baralho completo de \(52\) cartas (jogos de azar); determinação da vida útil de um componente eletrônico.

  • Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. É representado pela letra grega \(\Omega\) (lê-se “ômega”).
  • Eventos Aos subconjuntos do espaço amostral denominamos eventos. Os eventos contém elementos ou pontos amostrais do espaço amostral \(\Omega\). Sempre que um experimento for realizado, supõe-se que ocorrerá um e somente um evento. Eventos são representados pelas letras latinas maiúsculas \(A, B,C,\ldots\). Um evento pode ser um resultado ou subconjunto de resultados de um experimento.

Exemplo: No lançamento de um dado o espaço amostral é o conjunto: \(\Omega = \left\{1,2,3,4,5,6\right\}\). E o evento “face voltada para cima é par” será \(A = \left\{2,4,6\right\}\).

Exemplo: Lançam-se dois dados simultaneamente e verifica-se as faces voltadas para cima. Determine o espaço amostral. Neste caso, cada evento é a reunião de dois pontos amostrais, e pode ser determinado por tabela de dupla entrada ou diagrama em árvore. Enumere os seguintes eventos: A: saída de faces iguais, B: saída de faces cuja soma seja igual a \(10\), C: saída de números primos.

Exemplo: Uma moeda é lançada duas vezes sobre a superfície plana. Em cada um dos dois lançamentos pode ocorrer cara (CA) ou coroa (CO). Determine o espaço amostral.

Exemplo: Três peças são retiradas de uma linha de produção. Cada peça é classificada em boa (B)ou defeituosa (D). Determine o espaço amostral.

Exemplo: Uma moeda é lançada sucessivamente até que apareça “Cara” pela primeira vez. Se ocorrer cara no primeiro lançamento o experimento termina. Caso contrário, ele termina após a primeira ocorrência de “Cara”. Determine o espaço amostral.
Neste caso, o espaço amostral é infinito enumerável, assim como o conjunto dos números naturais \(\mathbb{N}\)).

Exemplo: Temos interesse em contar o número de chamadas telefônicas que chegam a uma central durante um determinado intervalo de tempo. Determine o espaço amostral.
Neste caso, o espaço amostral também é infinito enumerável.

Exemplo: Observar o tempo de vida de uma lâmpada, em horas, como variável contínua. Determine o espaço amostral.
Neste caso, o espaço amostral é infinito e não enumerável (corresponde ao conjunto dos números reais não negativos).

1.3 Operações em Teoria dos Conjuntos

  • União A união de dois eventos \(A\) e \(B\) representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos \(A\) ou \(B\). O evento resultante é \(A \cup B\). Logo:
    \(A\cup B\): lê-se “\(A\) união \(B\)”.
  • Intersecção A intersecção de dois eventos \(A\) e \(B\) representa a ocorrência simultânea de \(A\) e \(B\). O evento resultante é \(A \cap B\). Logo:
    \(A\cap B\): lê-se “\(A\) intersecção \(B\)” ou “\(A\) inter \(B\)”.
  • Evento Complementar O complementar de um evento \(A\), denotado por \(A^{c}\), é o evento que ocorre quando \(A\) não ocorre (representa a não ocorrência do evento A). Logo:
    A\(^{c}\),-se “\(A\) complementar” ou “complementar de \(A\)”.

Exemplo: Uma urna contém bolas numeradas de \(1\) a \(15\). Uma bola é retirada da urna e seu número anotado. Sejam \(A\) e \(B\) os seguintes eventos: A: o número da bola retirada é par; B: o número da bola retirada é múltiplo de \(3\). Determine o espaço amostral e os eventos \(A \cup B\), \(A \cap B\) e \(A^{c}\).

1.4 Definições Adicionais

  • Representação Gráfica O diagrama de Venn é útil para representar as operações entre eventos, com a presença de um, dois ou três eventos.
  • Conjunto Vazio Representado pela letra grega \(\emptyset\) ou \(\left\{\right\}\). É o conjunto que não contém elementos.
  • Subconjunto Sejam os conjuntos \(A\) e \(B\). Dizemos que \(A\) é subconjunto de \(B\) e escrevemos \(A\subset B\), se todo elemento de \(A\) é elemento de \(B\). Em símbolos: \(A \subset B\) \(\Leftrightarrow \forall x \in A \Rightarrow x \in B\). Quando temos \(A \subset B\), dizemos que “\(A\) está contido em \(B\)”. A relação \(\subset\) denota inclusão ou contenção. Logo:
    \(A \subset B\): lê-se “\(A\) está contido em \(B\)”.
    Verifique que \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\): lê-se “O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, o qual está contido no conjunto dos números racionais, o qual está contido no conjunto dos números reais”.

Figura 2: Representação gráfica de partição de um espaço amostral.

Dizemos que “\(A\) não está contido em \(B\)”, isto é, que \(A\subsetneq B\) se \(\exists x_0 \in A\) tal que \(x_0 \notin B\). - Eventos Disjuntos (também chamados de mutuamente exclusivos) Dois eventos \(A\) e \(B\) são denominados disjuntos, ou mutuamente exclusivos, se eles não podem ocorrer conjuntamente, ou seja, \(A \cap B = \emptyset\).

1.5 Propriedades das Operações

Sejam A, B e C eventos associados a um espaço amostral \(\Omega\). As seguintes propriedades são verdadeiras:

  • Idempotente: \(A \cap A=A\),
    \(A \cup A=A\),
  • Comutativa: \(A \cup B= B\cup A\),
    \(A \cap B=B \cap A\),
  • Associativa: \(A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C\),
    \(A \cup (B \cup C)=(A \cup B) \cup C\),
  • Distributiva: \((A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)\),
    \((A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)\),
  • Absorções: \(A \cup (A \cap B)=A\),
    \(A \cap (A \cup B)=A\),
  • Identidades: \(A \cap \Omega=A\),
    \(A \cup \Omega=\Omega\),
    \(A\cap\emptyset=\emptyset\),
    \(A\cup\emptyset=A\),
  • Complementares: \(\Omega^{c}=\emptyset\),
    \(\emptyset^{c}=\Omega\),
    \(A \cap A^{c}=\emptyset\),
    \(A\cup A^{c}=\Omega\),
    \(\left(A\cup A^{c}\right)^{c}=A\),
  • “Leis das dualidades” ou “Leis de Morgan”: \((A \cap B)^{c} =A^{c} \cup B^{c}\) ,
    \((A \cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}\).

1.6 Relações de pertinência e inclusão

  • Se um elemento qualquer \(x\) “pertence” a um conjunto \(A\) escrevemos \(x \in A\) (significa que x é membro de \(A\)),
  • Se \(x\) “não pertence” ao conjunto \(A\), escrevemos \(x \notin A\),
  • Um conjunto \(A\) é igual a um conjunto \(B\) se eles contém exatamente os mesmos elementos, ou seja, todos os elementos de B pertencem a A e vice-versa:
    \(A = B \Leftrightarrow A \subset B \text{ e } B \subset A\), lê-se "\(A\) é igual a \(B\) se e somente se \(A\) está contido em \(B\) e \(B\) está contido em \(A\).

1.7 Princípio da inclusão / exclusão

Primeiro denotamos no número de elementos de um conjunto \(A\) da seguinte forma:
\(n(A)\): -se “o número de elementos de \(A\)”,
ou também
\(\vert A \vert\): lê-se “o número de elementos de \(A\)”,
O princípio da inclusão / exclusão diz que: \[ n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B). \] Verificamos que:

  • Se \(A\) e \(B\) são disjuntos, \(n(A\cap B)=0\) então o número de elementos de \(A \cup B\) é dado pela soma do número de elementos de \(A\) e \(B\);
  • Caso contrário, \(n(A\cap B)>0\) então o número de elementos de \(A \cup B\) é dado pela soma do número de elementos de \(A\) e \(B\), menos o número de elemntos de \(A\cap B\).

*Tarefa: Interpretar o princípio da inclusão/exclusão através do Diagrama de Venn.
Cardinalidade:** A cardinalidade de um conjunto é o número de elementos deste conjunto:
\(n(A)\): lê-se “o número de elementos de A” ou “cardinalidade de A”.

1.8 Partição de um Espaço Amostral

Dizemos que os eventos \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) formam uma partição do espaço amostral \(\Omega\) se as seguintes propriedades são satisfeitas:

  • \(A_i\neq\emptyset,i=1,\ldots,n\),
  • \(A_i \cap A_j = \emptyset\), para \(i \neq j\),
  • \(\cup^{n}_{i=1}A_i=\Omega\),

Note que os eventos \(A_i,i=1,\ldots,n\) são disjuntos.

Figura 2: Representação gráfica de partição de um espaço amostral.

1.9 Conjunto das partes

O Conjunto das partes de um conjunto \(A\) é o conjunto que contém todos os subconjuntos de \(A\) e é representado por \(\mathcal{P(A)}\). Logo, podemos escrever: \[ \mathcal{P(A)}=\{X,X \subset A\}. \]

Exemplo: - a)Se \(A=\{3\}\), os elementos das partes de A são: o conjunto vazio e o conjunto A. Logo:
\[ \mathcal{P(A)}=\{\emptyset,\{3\}\}. \] Vale ressaltar que as seguintes afirmações são verdadeiras:

  • \(3 \in A\), lê-se “\(3\) pertence ao conjunto \(A\)”,
  • \(\emptyset \subset A\), lê-se “o conjunto vazio está contido no conjunto \(A\)”,
  • \(\emptyset \in \mathcal{P(A)}\), lê-se “o conjunto vazio pertence ao conjunto das partes de \(A\)”,
  • \(\{3\} \in \mathcal{P(A)}\), lê-se “o conjunto formado pelo elemento \(3\) pertence ao conjunto das partes de A”,
  • \(A \in \mathcal{P(A)}\), lê-se “o conjunto A pertence ao conjunto das partes de \(A\)”.

Tarefas: - b)Se \(A=\{5,7\}\), os elementos das partes de A são: \(\ldots\),
e podemos escrever \(\mathcal{P(A)}=\ldots\); - c)Se \(A=\{2,9,21\}\), os elementos das partes de A são: \(\ldots\),
e podemos escrever \(\mathcal{P(A)}=\ldots\);

Resultado de teoria de conjuntos: Se A é um conjunto finito com \(n\) elementos, então o conjunto das partes de A é composto por \(2^n\) elementos. Significa que um conjunto com \(n\) elementos possui \(2^n\) subconjuntos.

1.10 Exercícios

    1. Sejam A, B e C três eventos de um espaço amostral. Represente os eventos no diagrama de Venn e também na linguagem de conjuntos, utilizando as operações união, intersecção e complementar.
      1. Somente o evento \(A\) ocorre;
      1. Os eventos \(A\) e \(C\) ocorrem, mas o evento \(B\) não ocorre;
      1. Os eventos \(A\), \(B\) e \(C\) ocorrem;
      1. Pelo menos um evento ocorre;
      1. Exatamente um evento ocorre;
      1. Nenhum evento ocorre;
      1. Exatamente dois eventos ocorrem;
      1. Pelo menos dois eventos ocorrem;
      1. No máximo dois eventos ocorrem.
    1. Uma população consome três marcas de refrigerantes: \(A\), \(B\) e \(C\). Feita uma pesquisa de mercado, obtiveram-se os seguintes resultados:
#install.packages("DT")
library(DT)
marca=c("A","B","C","A e B", "B e C","C e A","A, B e C","nenhuma das três")
n=c(109,203,162,25,41,28,5,115)
dados=cbind(marca,n)
datatable(dados,caption="Tabela 1: Resultados da Pesquisa",class = 'cell-border order-column compact hover')

Determine:
- a) O número de pessoas consultadas;
- b) O número de pessoas que só consomem a marca \(A\);
- c) O número de pessoas que não consomem as marcas \(A\) ou \(C\);
- d) O número de pessoas que consomem ao menos duas marcas.

    1. Em certo município há indivíduos de três raças: branca, negra e amarela. Sabendo que \(70\) são brancos, \(210\) não são negros e \(50\%\) são amarelos,
      1. Quantos indivíduos possui o município?
      1. Quantos são os indivíduos amarelos?
  • Suponha que o espaço amostral é o intervalo \([0,1]\) dos números reais. Considere os eventos
    \(A=\{x:1/4\leq x \leq 5/8\}\) e \(B=\{x:1/2\leq x \leq 7/8\}\). Represente graficamente e em linguagem de conjuntos os seguintes eventos:
      1. \(A^c\),
      1. \(A\cap B^c\),
      1. \((A\cup B) ^c\),
      1. \(A^c \cup B\).

2 Conjuntos Numéricos

2.1 O conjunto dos números naturais \(\mathbb{N}\)

O conjunto dos números naturais é utilizado em dados de contagem, como por exemplo: número de pessoas, número de plantas, número de animais, etc.
Notação: \(\mathbb{N}= \{0,1,2,3,\ldots\}\).
Caso especial:
Conjunto dos números naturais sem o zero \(\mathbb{N}^* = \{1,2,3,\ldots\}\).

2.2 Operações fundamentais no conjunto dos números naturais

  • Adição:
      1. Associativa: \((a+b)+c = a+(b+c), \forall a, b \text{ e } c \in \mathbb{N}\),
        donde lê-se: “\((a+b)+c = a+(b+c)\), para quaisquer (ou para todos) \(a,b \text{ e } c\) pertencentes ao conjunto \(\mathbb{N}\)”;
      1. Comutativa: \(a+b = b+a, \forall a \text{ e } b \in \mathbb{N}\);
      1. Elemento Neutro: \(a+0 = a, \forall a \in \mathbb{N}\), portanto o zero é o elemento neutro na adição.

Propriedade do Fechamento A adição no conjunto dos números naturais é fechada porque a soma de dois números naturais é sempre um número natural. O mesmo não acontece para a subtração.

  • Multiplicação:
      1. Associativa: \((a.b)c = a(b.c), \forall a, b \text{ e } c \in \mathbb{N}\);
        onde o “.” pode ser substituído por “\(\times\)” ou por “vazio”, ou seja, da expressão “\(a b\)” subentende-se que é a multiplicação (ou produto) dos números \(a\) e \(b\);
      1. Comutativa: \(a.b = b.a, \forall a \text{ e } b \in \mathbb{N}\);
      1. Elemento Neutro: \(a.1 = a, \forall a \in \mathbb{N}\),
        portanto o \(1\) é o elemento neutro na multiplicação;
      1. Distributiva da multiplicação com relação à adição: \(a(b+c)= ab+ac, \forall a, b \text{ e } c \in \mathbb{N}\).

Propriedade do Fechamento: A multiplicação no conjunto dos números naturais é fechada porque o produto de dois números naturais é sempre um número natural. O mesmo não acontece para a divisão.

2.3 Conjuntos dos números inteiros \(\mathbb{Z}\)

O conjunto dos números inteiros é formado pelos elementos do conjunto \(\mathbb{N}\) e de seus elementos simétricos correspondentes. É utilizado em dados de temperatura, dados financeiros (acréscimos ou decréscimos), etc.
Notação \(\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}\).
Casos especiais do conjunto \(\mathbb{Z}\)
Conjunto dos números inteiros não negativos: \(\mathbb{Z^+}=\{0,1,2,3,\ldots\}=\mathbb{N}\),
Conjunto dos números inteiros não positivos: \(\mathbb{Z^-}=\{\ldots,-3,-2,-1,0\}\),
Conjunto dos números inteiros não nulos: \(\mathbb{Z^*}=\{\ldots,-3,-2,-1,1,2,3,\ldots\}\).

2.4 Operações fundamentais no conjunto dos números inteiros:

Valem as mesmas operações definidas para os números naturais.

Propriedades adicionais: - a) Elemento oposto: \(a+(-a) = 0, \forall a \in \mathbf{Z}\), logo: - o oposto de \(a\) é \(-a\), - o oposto de zero é zero, - \(a\) e \(-a\) são números simétricos com relação ao zero (as distâncias de zero são iguais), - $a $: lê-se “módulo de \(a\)” é igual à distância de um número \(a\) até o zero,

    1. Subtração: \(a-b = a+(-b), \forall a \text{ e } b \in \mathbf{Z}\).

Propriedade do Fechamento A adição, a subtração e a multiplicação no conjunto dos números inteiros são fechadas.

2.5 Conjuntos dos números racionais \(\mathbb{Q}\)

O conjunto ds números racionais consiste de todos os números que podem ser representados em forma de fração. Matematicamente, \[ \mathbb{Q}=\left\{x,x=\frac{a}{b},a \text{ e } b \in \mathbb{Z} \text{ e } b \neq 0\right\}, \] onde \(a\) é o numerador e \(b\) é o denominador.

Casos especiais do conjunto \(\mathbb{Q}\)
Conjunto dos números racionais não negativos: \(\mathbb{Q^+}\),
Conjunto dos números racinais não positivos: \(\mathbb{Q^-}\),
Conjunto dos números racionais não nulos: \(\mathbb{Q^*}\).

2.6 Operações fundamentais no conjunto dos números racionais

Valem as mesmas operações definidas para os números inteiros.

Propriedades adicionais

  • Igualdade: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Leftrightarrow a d = b c\),
  • Adição: \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a d + bc}{bd}\),
  • Multiplicação: \(\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\).

Propriedade do Fechamento A adição, a subtração, a multiplicação e a divisão (exceto divisão por zero) no conjunto dos números racionais são fechadas.

2.7 Resultados das operações fundamentais em \(\mathbb{Q}\)

  • Números racionais com denominador unitário:
      1. \(\frac{a}{1}=\frac{b}{1} \Leftrightarrow a=b\),
      1. \(\frac{a}{1}+\frac{b}{1} = \frac{a+b}{1}=a+b\),
      1. \(\frac{a}{1}.\frac{b}{1} = \frac{a.b}{1}=a.b\),
  • Operação de adição:
      1. Associativa: \(\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{e}{f}=\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)\),
      1. Comutativa: \(\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}\),
      1. Elemento neutro: \(\frac{a}{b}+0 =\frac{a}{b}\),
      1. Elemento oposto: \(\frac{a}{b}+\left(-\frac{a}{b}\right)=0\),
  • Operação de multiplicação:
      1. Associativa: \(\left(\frac{a}{b}.\frac{c}{d}\right).\frac{e}{f}=\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}.\frac{e}{f}\right)\),
      1. Comutativa: \(\frac{a}{b}.\frac{c}{d} = \frac{c}{d}.\frac{a}{b}\),
      1. Elemento neutro: \(\frac{a}{b}.1 = \frac{a}{b}\),
      1. Distributiva da multiplicação com relação à adição: \(\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)=\frac{ac}{bd}+\frac{ae}{bf}\),
      1. Elemento inverso: \(\forall x=\frac{a}{b} \in \mathbb{Q} \text{ e } a \neq 0, \exists y = \frac{b}{a} \text{ tal que } x y = 1\). Logo \(y=\frac{1}{x}\) é o inverso de x.
        O zero não possui inverso pois não existe divisão por zero!

2.8 Dízimas periódicas

  • Dízima periódica simples: o período (algarismo que se repete) aparece após a vírgula. Exemplos:

      1. \(0,444\ldots\): o período é igual a \(4\),
      1. \(0,5353 \ldots\): o período é igual a \(53\).

  • Dízima periódica composta: há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período. Temos a existência do antiperíodo. Exemplos:

      1. \(0,5333\ldots\): o período é igual a \(3\) e o antiperíodo é igual a \(5\),
      1. \(0,78555\ldots\): o período é igual a \(5\) e o antiperíodo é igual a \(78\).

2.9 Fração geratriz de uma dízima periódica

Qualquer dízima periódica pode ser expressa na forma de uma fração com denominador
diferente de zero.

  • Dízima periódica simples: \(0,444\ldots = \frac{4}{9}\) donde o período é igual a 4.
    Descrição do método Coloca-se o período no numerador da fração e para cada algarismo do período coloca-se \(9\) no denominador. Exemplo:
      1. \(0,535353 \ldots = \ldots\),
      1. \(0,234234 \ldots = \ldots\),
      1. \(1,555 \ldots= \ldots\),
  • Dízima periódica composta: \(0,2777 \ldots= \frac{27-2}{90} = \frac{25}{90}\) donde o período é igual a \(7\) e o antiperíodo é igual a \(2\).
    Descrição do método Coloca-se no numerador a parte inteira do número com antiperíodo e período, e subtrai-se o antiperíodo. No denominador, para cada algarismo do período coloca-se um \(9\) e para cada algarismo do antiperíodo coloca-se um zero. Exemplo:
      1. \(1,6444 \ldots= \ldots\)
      1. \(21,30888 \ldots= \ldots\)

2.10 Notação científica

É uma forma de representar números muito grandes ou muito pequenos na forma de potências de base \(10\). Exemplo: - a) \(5.000.000 = 5 . 10^6\), donde a mantissa é igual a \(5\) e o expoente é igual a \(6\), - b) \(0,0000000021 = 2,1 . 10^{-9}\), donde a mantissa é igual a \(2,1\) e o expoente é igual a \(-9\).

A mantissa, em módulo, deve ser maior ou igual a \(1\), e menor do que \(10\),
O expoente, em módulo, é o número de casas decimais em que deslocamos a vírgula para a esquerda ou para a direita.

2.11 Exercícios

  • Represente os seguintes números em forma de fração:
      1. \(0,2333\ldots\)
      1. \(0,45222 \ldots\)
      1. \(0,14275275 \ldots\)
      1. \(0,88831313 \ldots\)
      1. \(17,161515 \ldots\)
      1. \(2,4732121 \ldots\)

Dica Depois de encontrar a fração geratriz, efetue o cálculo da razão no caderno ou na calculadora e confira o resultado.

  • Represente os seguintes números em notação científica ou em forma decimal:
      1. \(120.000.000\)
      1. \(0,000000098\)
      1. \(512.000.000\)
      1. \(0,000000000000023\)
      1. \(-0,000123\)
      1. \(-4.570.000\)
      1. \(3,12 . 10^1\)

2.12 O conjuntos dos números irracionais \(\mathbb{I}\)

O conjunto dos números irracionais consiste dos números cujas representações decimais não são exatas e não são periódicas, ou seja, estes números não podem ser escritos sob forma de fração). Por exemplo:

  • \(\sqrt{2} \approx 1,4142136\),
    donde lê-se: “\(\sqrt{2}\) é aproximadamente igual a \(1,4142136\)”;
  • O famoso número “pi”: \(\pi \approx 3,1415926\);
  • O número de Euler: \(e \approx 2,718281828\),
    dentre vários outros números que não podem ser escritos sob forma de fração.

2.13 O conjuntos dos números reais \(\mathbb{R}\)

O conjunto dos números \(\mathbb{R}\) é a união do conjunto dos números racionais \(\mathbb{Q}\) com o conjunto dos números irracionais \(\mathbb{I}\). Assim, temos:

\[ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \text{ e } \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset. \]

Figura 3: Representação dos conjuntos numéricos.

Temos as seguintes relações:
Relação de ordem \(b>a \Leftrightarrow b - a >0\),
Propriedade da tricotomia Sejam \(a,b \in \mathbb{R}\), então uma e somente uma das afirmações é válida:
\[ a=b \text{ ou } a>b \text{ ou } a<b. \] Deste modo, temos que a cada ponto da reta corresponde a um único número real.

Figura 4: Representação dos números reais na reta.

Casos especiais do conjunto \(\mathbb{R}\)
Conjunto dos números reais não negativos: \(\mathbb{R^+}\),
Conjunto dos números reais não positivos: \(\mathbb{R^-}\),
Conjunto dos números reais não nulos: \(\mathbb{R^*}\).

2.14 Operações fundamentais no conjunto dos números reais

Valem as mesmas operações definidas para os números racionais.

Propriedade do Fechamento A adição, a subtração, a multiplicação e a divisão (exceto divisão por zero) no conjunto dos números reais são fechadas.

Propriedades adicionais
Sejam \(a,b \text{ e } c \in \mathbb{R}\), as seguintes afirmações valem:

  • Se \(a<b \text{ e } b<c \text{ então } a<c\);
  • Se \(a<b \text{ então } a+c < b+c\);
  • Se \(a<b \text{ e } c<d \text{ então } a+c<b+d\);
  • Se \(a<b \text{ e } c>0 \text{ então } ac < bc\);
  • Se \(a<b \text{ e } c<0 \text{ então } ac > bc\);
  • Se \(0<a<b \text{ então } \frac{1}{b} < \frac{1}{a}\).

Regras análogas valem para a relação “maior do que”.

2.15 Intervalos na Reta

Os intervalos da reta são subconjuntos de \(\mathbb{R}\) que podem ser limitados ou ilimitados.
Os intervalos limitados podem ser fechados, abertos ou semi-abertos, Assim, para quaisquer números \(a \text{ e } b \in \mathbb{R}\), com \(a \leq b\):

  • \([a,b]=\{x\in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}\)
    é o intervalo fechado à esquerda e fechado à direita;
  • \(]a,b[=\{x\in \mathbb{R} \mid a < x <b\}\)
    é o intervalo aberto à esquerda e aberto à direita, também representado por \((a,b)\);
  • \([a,b[ = \{x\in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}\)
    é um intervalo semi-aberto: fechado à esquerda e aberto à direita;
  • \(]a,b] = \{x\in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}\)
    é um intervalo semi-aberto: aberto à esquerda e fechado à direita;

Os intervalos ilimitados podem ser semi-retas ou retas. Assim, para qualquer número \(a \in \mathbb{R}\):

  • \(]-\infty,a[= \{x\in \mathbb{R} \mid x < a\}\),
    verifique que como o limite inferior é igual a “menos infinito”, o intervalo tem que ser aberto à esquerda, pois “infinito” não é um número;
  • \(]-\infty,a]= \{x\in \mathbb{R} \mid x \leq a\}\);
  • \(]a,+\infty[= \{x\in \mathbb{R} \mid x > a\}\),
    ou equivalentemente \(]a,\infty[\), em que não é necessário colocar o sinal de “+”;
  • \([a,+\infty[= \{x\in \mathbb{R} \mid x \geq a\}\);
  • \(]-\infty,+\infty[= \mathbb{R}\).

Tarefa Representar cada um destes intervalos graficamente.

2.16 Exercícios - continuação

  • [3.] Escreva os intervalos na linguagem de conjuntos e represente na reta real:

    • a)\([6,10]\);
      1. \(]-6,0[\);
      1. \(]-\infty,3[\);
      1. \(]-\infty,1]\);
      1. \(]-1,5]\);
      1. \([0,+\infty[\);
      1. \([-6,2[\);
      1. \(]-5,\sqrt{3}]\);
      1. \(]-\infty,+\infty[\).

3 Indução Finita

3.1 Introdução

Algumas vezes nos defrontamos com afirmações envolvendo os números naturais e a pergunta que surge é: será estas afirmações são verdadeiras sempre, ou seja, vale para qualquer número natural?

Exemplo: Será que estas afirmações são sempre verdadeiras?

    1. \(1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}\),
      donde lê-se: “-se:”A soma dos \(n\) primeiros números naturais maiores ou iguais a \(1\) é dada pela expressão \(\frac{n(n+1)}{2}\)";
    1. \(1+q+q^2+\ldots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\),
      donde lê-se: “-se:”A soma dos \(n+1\) primeiros termos de uma progressão geométrica (P.G.) de razão igual a \(q\) e primeiro termo igual a \(1\) é dada pela expressão \(\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)";
    1. \(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\),
      donde lê-se: “-se:”A soma dos quadrados dos \(n\) primeiros números naturais maiores ou iguais a \(1\) é dada pela expressão \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)";
    1. \(2+4+6+\ldots+2n=n(n+1)\),
      lê-se: “-se:”A soma dos \(n\) primeiros números pares (a partir de \(2\)) é dada pela expressão \(n(n+1)\)";
    1. \(1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\),
      donde lê-se: “-se:”A soma dos cubos dos \(n\) primeiros números naturais maiores ou iguais a \(1\) é dada pela expressão \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)";
    1. \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\),
      donde lê-se: “-se:”A soma dos \(n\) primeiros números ímpares é dada pela expressão \(n^2\)".

Resposta Já adianto para o leitor que as afirmações acima são sempre verdadeiras. A seguir, veremos como provar a veracidade destas afirmações. Para tanto, utilizaremos o princípio da indução finita.

3.2 Princípio da Indução Finita (P.I.F.)

Quando uma afirmação é enunciada em termos de números naturais, o P.I.F. constitui um eficiente instrumento para demonstrar esta afirmação para o caso geral.

3.2.1 Interpretação do P.I.F. na prática

Vamos supor que temos uma série de soldadinhos de chumbo colocados em fila, que começa por um deles e prossegue indefinidamente. Nosso objetivo é - empurrando apenas um soldadinho - garantir que todos caiam. Como derrubar todos os soldados?

Para tanto, basta nos assegurarmos de que:

    1. O primeiro soldado cai;
    1. Os soldados estão dispostos de tal modo que qualquer um deles, toda vez que cai, automaticamente, empurra o soldado seguinte e o faz cair também.

Assim, mesmo que a fila se estenda indefinidamente, podemos afirmar que todas os soldadinhos cairão.

###Descrição formal do P.I.F. Dada uma afirmação, ou proposição, geralmente denotada pela letra \(P\). Esta propriedade está em função de \(n\), com \(n \geq 1\) (os números naturais a partir do \(1\)). O P.I.F. consiste das seguintes etapas:

    1. Mostrar que \(P\) é verdadeira para \(n=1\), ou seja, que \(P(1)\) é verdadeira;
    1. Definir a hipótese de indução:
      Hipótese de indução: \(P\) é verdadeira para \(n=k\), \(k \geq 1\), ou seja, \(P(k)\) é verdadeira para qualquer \(k\) natural maior ou igual a \(1\),
      Baseada na hipótese de indução, devemos mostrar que \(P\) é verdadeira para \(n=k+1\), ou seja,
      \[ P(k) \text{ é verdadeira } \Rightarrow P(k+1) \text{ é verdadeira}, \] donde lê-se: “-se:”Se \(P(k)\) é verdadeira então \(P(k+1)\) é verdadeira" .

Concluídas as etapas I) e II), fica provado que a proposição \(P\) é verdadeira para qualquer número natural \(n \geq 1\).

Exemplo: Demonstre a propriedade “b)” do exemplo através do P.I.F.

Solução: A demonstração consiste das seguintes etapas:

    1. Mostrar que \(P(1)\) é verdadeira.
      Para \(n=1\), o lado esquerdo (L.E.) da equação é igual a \(1+q\),
      e o lado direito (L.D.) da equação é igual a \(\frac{1-q^{2}}{1-q}\).
      Como \(1-q^{2}=(1-q)(1+q)\), então L.E.=L.D., ou seja, \(P(1)\) é verdadeira.
    1. Hipótese de indução: \(P(k)\) é verdadeira, \(\forall k \geq 1\).
      A hipótese de indução é \(1+q+q^2+\ldots+q^k=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}\).
      Para \(n=k+1\), o L.E. da equação é igual a \(1+q+q^2+\ldots+q^{k}+q^{k+1}\).
      Pela hipótese de indução, \[ \text{ L.E.: } \frac{1-q^{k+1}}{1-q}+q^{k+1}=\frac{1-q^{k+1}+q^{k+1}-q^{k+2}}{1-q}=\frac{1-q^{k+2}}{1-q}, \] donde concluímos que \(1+q+q^2+\ldots+q^{k}+q^{k+1}=\frac{1-q^{k+2}}{1-q}\),
      significa que \(P(k+1)\) é verdadeira.

Como as etapas I) e II) foram concluídas, fica provado que \(1+q+q^2+\ldots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}, \forall n \geq 1.\)

3.3 Exercícios

  • Demonstre as afirmações “c)”, “d)”, “e)” e “f)” do exemplo através do P.I.F..

4 Análise Combinatória

A análise combinatória envolve cálculos relacionados à contagem, que envolve a análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos. A análise combinatória é largamente utilizada nos cálculos de probabilidades.

4.1 Probabilidade

A Probabilidade é um campo da estatística e matemática que envolve calcular as chances de obter determinado resultado diante de um experimento aleatório. São exemplos um lançamento de dados ou a possibilidade de ganhar na loteria. A probabilidade (\(P\)) é igual à razão entre o número de eventos favoráveis (\(n_f\)) e o número de eventos possíveis (\(n\)): \[ P=\frac{n_f}{n}. \]

4.2 Princípio Fundamental da Contagem

Quando um evento é composto por \(2\) etapas sucessivas e independentes, de tal modo que o número de possibilidades na primeira etapa é igual a \(n_1\) e o número de possibilidades na segunda etapa é igual a \(n_2\), então o número total de possibilidades \((n)\) é dado pelo produto \(n_1 \times n_2\): \[ n=n_1 \times n_2. \] Este raciocínio se extende para várias etapas sucessivas independentes: \[ n=n_1 \times n_2 \times \ldots \times n_m. \] Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas.

Exemplo: Jeniffer irá participar da promoção de uma loja de roupas que está dando um vale compras no valor de \(1.000,00\) reais. Ganhará o desafio o primeiro participante que conseguir fazer o maior número de combinações com o kit de roupas cedido pela loja. No kit temos: seis camisetas, quatro saias e dois pares de sapatos. De quantas maneiras distintas Jeniffer poderá combinar todo o vestuário do kit de roupas?
Pelo princípio fundamental da contagem, o total de possibilidades é dado pelo produto: \[\begin{eqnarray*} \text{ n } &=& \text{ Total de camisetas $\times$ Total de saias $\times$ Total de pares de sapatos}\\ &=& n_1 \times n_2 \times n_3 = 6 \times 4 \times 2 = 48. \end{eqnarray*}\]

4.3 Fatorial

Sendo \(n\) um número inteiro maior do que \(1\) (um), define-se fatorial de \(n\), à expressão: \[ n! = n\times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1, \text{ com } n \in \mathbb{N} \text{ e } n>1. \] Casos especiais: \(0!=1\) e \(1!=1\) Exemplo: Efetuando cálculos com fatorial:
- a) \(4! = 4.3.2.1 = 24.\) donde lê-se: “fatorial de \(4\) é igual a \(24\)”;
- b) \(7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040\) donde lê-se: “\(7\) fatorial é igual a \(5040\)”;
- c) \(2! = 2.1=2\) donde lê-se: “fatorial de \(2\) é igual a 2”.

Exemplo: Simplificando expressões com fatorial:
\(\checkmark\) Desenvolve-se o fatorial até poder “cortar” o numerador com denominador;
\(\checkmark\) A expressão com fatorial “vira” sem fatorial depois de simplificar.
 - a)\(\frac{n!}{(n-3)!} = \frac{n . (n-1) . (n-2) . (n-3)!}{(n-3)!}=n . (n-1) . (n-2)\);
- b)\(\frac{(n+2)!}{(n+1)!} = \frac{(n+2)(n+1)!}{(n+1)!} = n+2\);
- c)\(\frac{(n+1)!-n!}{n!} = \frac{(n+1)n!-n!}{n!} = \frac{n![(n+1)-1]}{n!}=n\);
- d)\(\frac{(2n+2)!}{(2n+1)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)!}{(2n+1)!} = 2n+2\).

4.4 Permutações

Permutações são agrupamentos ordenados em que o número de elementos do agrupamento (\(n\)) é igual ao número de elementos disponíveis (\(n\)). Além disso, cada elemento do agrupamento aparece somente uma vez. A contagem do número de permutações é dada pela fórmula: \[ \begin{array}{lcl} P_n=n! &&\text{ donde lê-se: "O número de permutações de $n$ elementos é igual a $n!$." } \end{array} \]

Exemplo: De quantas modos \(6\) carros podem estacionar em um pátio com \(6\) vagas de garagem?
Primeiro modo, sem usar fórmula de permutação: O primeiro carro tem \(6\) opções para estacionar, o segundo \(5\), o terceiro \(4\), o quarto \(3\), o quinto \(2\) e o sexto apenas \(1\). Logo o número de possibilidades é \(6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720\).
Outro modo, com fórmula de permutação: O número de possibilidades é dado por \(P_6=6!=720\).

4.5 Arranjo

Arranjos são agrupamentos ordenados em que os elementos são distintos e o número de elementos do agrupamento (\(p\)) é menor ou igual ao número de elementos disponíveis (\(n\)). A contagem do número de arranjos é dada pela fórmula: \[ A_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!} \text{ com $p \leq n$}, \] donde lê-se: “O número de arranjos de \(n\) elementos tomados \(p\) a \(p\) é igual a \(n!\) sobre \((n-p)!\)”

Exemplo: Um anagrama é uma combinação qualquer de letras. Quantos anagramas de \(4\) letras distintas podemos formar com um alfabeto de \(23\) letras?
Primeiro modo sem usar fórmula de arranjo: Queremos formar anagramas do tipo: VERIFICAR. Na primeira posição temos \(23\) opções de letras, na segunda \(22\), na terceira \(21\) e na quarta temos \(20\). Logo o número de possibilidades é \(23.22.21.20=212520\).
Outro modo, com fórmula de arranjo: \[ A_{23,4}=\frac{23!}{19!} = 23.22.21.20=212520, \] donde lê-se: “O número de arranjos distintos de \(23\) elementos tomados \(4\) a \(4\) é igual a 212520.”
Logo o número de anagramas é igual a \(212520\). Por exemplo: Sendo as letras de A a Z sem considerar o K, Y e W, então temos \(23\) letras e os anagramas CALO, OLAC, PIRA, REZA, OLHA, OEMU são alguns dentre as \(212520\) opções disponíveis. Observe que não é sempre que um anagrama é uma palavra do dicionário em português.

4.6 Combinação

Combinações são agrupamentos em que a ordem dos elementos não é importante. O número de elementos do agrupamento (\(p\)) é menor ou igual ao número de elementos disponíveis (\(n\)). Além disso, cada elemento do agrupamento aparece somente uma vez. A contagem do número de combinações é dada pela fórmula: \[ C_{n,p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}, \text{ com $p \leq n$}, \] donde lê-se: “O número de combinações de \(n\) elementos tomados \(p\) a \(p\) é igual a \(n!\) sobre \(p!(n-p)!\)”.

Interpretação:

\(\checkmark\) Como a ordem dos elementos não é importante, então no denominador nós colocamos \(p!\); \(\checkmark\) \(p!\) é o número de permutações de \(p\) elementos; \(\checkmark\) significa que estamos descartando os agrupamentos que só diferem pela ordem dos elementos.

Exemplo: Quantos subconjuntos de \(3\) elementos possui o conjunto \(C=\{1,2,3,4,5\}\).

Resp.: Queremos subconjuntos do tipo: \(C_1=VERIFICAR\). Trata-se de combinação pois a ordem dos elementos não é importante, por exemplo \(\{1,2,3\}=\{1,3,2\}\). \[ C_{5,3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5.4.3!}{3!2!}=\frac{5.4}{2.1}=10 \text{ subconjuntos. } \] Fazendo a listagem dos subconjuntos, temos: \(C_1=\{1,2,3\},C_2=\{1,2,4\},C_3=\{1,2,5\},C_4=\{2,3,4\},C_5=\{2,3,5\},C_6=\{2,4,5\},C_7=\{1,3,4\},C_8=\{1,3,5\},C_9=\{1,4,5\},C_{10}=\{3,4,5\}\).

Exemplo:
- a) Em uma eleição para representante de turma, \(3\) alunos candidataram-se: Vanessa, Caio e Flávia. Quantos são os possíveis resultados dessa eleição?
Resp.: Trata-se de permutação pois a ordem (1º lugar, 2º lugar e 3º lugar) em que as pessoas aparecem é importante. \[ P_3=3!=6 \text{ resultados diferentes. } \] - b) Quantos números de \(3\) algarismos distintos podemos formar com os dígitos \(7\),\(8\) e \(9\)?
Resp. Trata-se de permutação pois a ordem em que os números aparecem é importante. \[ P_3=3!=6 \text{ números de algarismos distintos. } \] Fazendo a listagem dos números, temos: \(789, 798, 879, 897, 978, 987\).

    1. De quantas maneiras diferentes \(6\) pessoas podem se dispor em uma fila?
      Resp.: Trata-se de permutação pois a ordem em que as pessoas aparecem é importante. \[ P_6=6!=720 \text{ maneiras diferentes. } \]
    1. Considere a palavra LIVRO
      1. Quantos anagramas são formados com as letras dessa palavra?
        Resp.: Trata-se de permutação pois a ordem em que as letras aparecem é importante. \[ P_5=5!=120 \text{ anagramas. } \] Os anagramas LIRVO, IVRLO, VILRO são alguns dentre as \(120\) opções disponíveis.
      1. Quantos anagramas começam com L e terminam com O?
        Resp.: Queremos anagramas do tipo: vERIFICAR. Então basta permutar as outras \(3\) letras nos três espaços disponíveis. \[ P_3=3!=6 \text{ anagramas. } \] Fazendo a listagem dos anagramas, temos: LIRVO, LIVRO, LRIVO, LRVIO, LVRIO, LVIRO.
      1. Quantos anagramas contém as letras RO juntas e nesta ordem?
        Resp.: Queremos anagramas do tipo: VERIFICAR. Então basta considerar RO como sendo uma única letra e permutar \(4\) letras em \(4\) espaços disponíveis. \[ P_4=4!=24 \text{ anagramas. } \] Os anagramas ROILV, IROLV , ILROV e ILVRO são alguns dentre as \(24\) opções disponíveis.
    1. Considere os algarismos \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) e \(5\). Quantos números pares com algarismos distintos, maiores do que \(100\) e menores do que \(1000\) podemos formar?
      Resp.: Queremos números do tipo: VERIFICAR. Então podemos dividir o problema em:
      Caso 1: Números de \(3\) algarismos que terminam com \(2\). Trata-se de arranjo pois a ordem dos algarismos é importante e devemos escolher \(2\) algarismos dentre \(4\) opções disponíveis (\(1\), \(3\), \(4\) e \(5\)). \[ A_{4,2}=\frac{4!}{2!} = 4.3 = 12 \text{ números}, \]

Caso 2 Números de \(3\) algarismos que terminam com \(4\): devemos escolher \(2\) algarismos dentre \(4\) opções disponíveis (\(1\), \(2\), \(3\) e \(5\)). \[ A_{4,2}=\frac{4!}{2!} = 4.3 = 12 \text{ números}. \] Então podemos formar \(24\) números diferentes. Os números \(1342\), \(1352\), \(3142\), \(3152\), \(1324\) e \(3124\) são alguns dentre as \(24\) opções disponíveis.

  1. A uma reunião compareceram \(10\) pessoas. Todos os presentes cumprimentaram-se com um aperto de mão. Qual foi o número de apertos de mãos?
    Resp. Trata-se de combinação pois a ordem em que as pessoas apertam as mãos (Fulano aperta a mão de Ciclano ou Ciclano aperta a mão de Fulano) não é importante. Assim, devemos formar vários pares de pessoas de um grupo com \(10\) pessoas. \[ C_{10,2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{10.9.8!}{8!2!}=\frac{10.9}{2.1}=45 \text{ apertos de mãos. } \]

4.7 Permutação com elementos repetidos

Permutações com elementos repetidos ocorrem quando alguns elementos que compõem o agrupamento aparecem de forma repetida. A contagem do número de permutações é dada pela fórmula: \[ \begin{array}{lcl} P_n(n_1,n_2,\ldots,n_k)=\frac{n!}{n_1! n_2! \ldots,n_k!} \end{array} \] donde lê-se: “O número de permutações de \(n\) elementos sendo \(n_1\), \(n_2\), ,\(n_k\) elementos repetidos é igual a \(n!\) sobre o produto dos fatoriais de \(n_1\) até \(n_k\)”.

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra CASA?
Resp. A palavra CASA possui: \(4\) letras \((n=4)\) e duas vogais que se repetem \((n_1=2)\). \[ P_4(2)=\frac{4!}{2!} = 4.3 = 12 \text{ permutações com 4 letras sendo 2 letras aparecendo de forma repetida }. \] Logo temos \(12\) anagramas possíveis. Fazendo a listagem dos anagramas, temos: CASA, ACSA, ASCA, ASAC, SCAA, CSAA, AASC, AACS, CAAS, SAAC, SACA e ACAS.

Interpretação do exemplo

\(\checkmark\) Como há \(2\) A’s repetidos temos que dividir pelo número de permutações destes dois A’s; \(\checkmark\) significa que estamos descartando os anagramas em que as letras A e A se permutam.

5 Arranjo com repetição

Arranjos com repetição ocorrem quando a seleção dos elementos para compor o agrupamento é feita com reposição. Um exemplo clássico é o problema da urna com bolinhas numeradas, em que ao pegar uma bolinha nós anotamos o número e devolvemos a mesma para a urna, para que esta tenha a chance de ser selecionada novamente. A contagem do número de arranjos é dada pela fórmula: \[ AR_{n,p}=\underbrace{n.n \ldots n}_{\text{ p vezes } } = n^p, \] e lê-se: “O número de arranjos com repetição de \(n\) elementos tomados \(p\) a \(p\) é igual a \(n\) elevado a \(p\)”.

Exemplo: a) Qual é o número total de anagramas que podemos formar juntando três letras quaisquer de um alfabeto de \(23\) letras?
Resp. O número total é \(23^3=12167\) anagramas, começando com AAA e terminando com ZZZ.

  1. Em uma urna há \(9\) bolinhas numeradas de \(1\) a \(9\). Seleciona-se \(2\) bolinhas com reposição. Quantos números podemos formar com estas duas bolinhas?
    Resp. Queremos formar números do tipo: VERIFICAR.
    Primeiro modo: sem usar fórmula de arranjo com repetição Na primeira posição temos \(9\) possibilidades e na segunda posição temos \(9\) possibilidades pois podemos repetir os números. Logo o total de possibilidades será \(9.9=81\).
    Outro modo com fórmula de arranjo com repetição \[ AR_{9,2}=9^2, \] e lê-se: “O número de arranjos com repetição de \(9\) elementos tomados \(2\) a \(2\) é igual a \(9\) elevado a \(2\)”.

5.1 Exercícios

    1. Resolva as equações:
      1. \((x+3)!+(x+2)! = 8(x+1)!\) Resp.: \(S=\{0\}\);
      1. \(\frac{x!}{(x-2)!} = 30.\) Resp.: \(S=\{6\}\);
      1. \(\frac{(x+1)!}{(x-1)!}=56.\) Resp.: \(S=\{7\}\) ;
      1. \((x+5)!+(x+4)! = 35(x+3)!\) Resp.: \(S=\{1\}\);
    1. De quantos modos diferentes posso sortear duas pessoas para ganhar uma viagem para a Disney, de uma urna com \(10\) nomes de pessoas? Resp. \(45\).
    1. De um baralho com \(52\) cartas, são extraídas \(4\) cartas sucessivamente e sem reposição. Qual é o número de resultados possíveis, sem levar em conta a ordem das cartas? Resp. \(270725\).
    1. A uma reunião compareceram exatamente \(10\) casais. Todos os presentes (exceto maridos e respectivas mulheres) cumprimentaram-se com um aperto de mão. Qual foi o número de apertos de mãos? Resp. \(180\).

  • Em um baralho de 52 cartas, cinco cartas são escolhidas sucessivamente. Quantas são as seqüências de resultados possíveis (sendo a ordem importante):

      1. Se a escolha for feita sem reposição? Resp.: 311875200.
      1. Se a escolha for feita com reposição? Resp.: 380204032.