1 PROGRESSÃO ARITMÉTICA

1.1 Introdução

A floresta Amazônica ocupa grande parte do território do Brasil, em torno de \(5.500.000\) \(km^{2}\) milhões de quilômetros quadrados, onde abrange os estados do Acre, Amapá, Amazonas, Mato Grosso, Maranhão, Pará, Roraima, Rondônia e Tocantins. É a maior floresta tropical do planeta e contém \(\frac{1}{5}\) da água doce nele existente em estado líquido, graças à bacia do rio Amazonas. Um dos grandes problemas que afetam a Amazônia atualmente é o desmatamento.

Suponha que atualmente a área preservada seja de \(4.100.000 \quad km^{2}\) e que a taxa de desmatamento anual seja de aproximadamente $9.000 km^{2}.

  • Qual o tamanho da área preservada da floresta no ano de \(2050\)? Veja a tabela abaixo

Logo, sabemos que no ano de \(2050\) a Floresta Amazônica terá apenas \(3.800.000 \quad km^{2}\) de área preservada. A ideia do cálculo é sempre ir retirando da sua área da floresta atual uma taxa constante de desmatamento. Todo problema matemático onde há uma taxa constante de crescimento ou decrescimento entre os valores observados, iremos ter uma Progressão Aritmética de razão constante \(r\).

1.2 Progressão Aritmética - PA

  • Progressão: Sequência lógica de informações que possuem um critério específico e uma ordem estabelecida para o surgimento de seus valores. Uma progressão pode ser crescente ou decrescente

  • Aritmética: Indica uma relação numérica que será orientada sobre forma de soma. A aritmética consiste em realizar operações utilizando o sistema de contagem na forma de adição.

DEFINIÇÃO Chama-se progressão aritmética (P.A.) a seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual a soma do termo precedente (anterior) com uma constante \(r\), isto é, uma sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:

em que \(a\) e \(r\) são números reais dados. No exemplo da Amazônia nosso \(r=10.000\).

Exemplos

  • a)\((-4,-2,0,2,4,6,8,...)\), temos uma P.A. com \(r=2\).

  • b)\((2;2,3;2,6;2,9;...)\), temos uma P.A. com \(r=0,3\).

  • c)\((150,140,130,120,,110,...)\), temos uma P.A. com \(r=-10\).

  • d)\((\sqrt{5},1+\sqrt{5},2+\sqrt{5},3...)\), temos uma P.A. com \(r=1\).

  • e)\((8,8,8,8,8...)\), temos uma P.A. com \(r=0\).

  • f)\((0,-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}, -1...)\), temos uma P.A. com \(r=-\frac{1}{3}\).

Nos itens do exemplo anterior, note que a razão da P.A. pode ser obtida calculando-se a diferença entre um termo qualquer, a partir do segundo, e o termo que antecede.

Classificação As progressões aritméticas podem ser classificadas em três categorias:

  • 1ª) Crescentes. em que cada termo é maior que o anterior, isto é,
\(a_{n}>a_{n-1}\Leftrightarrow a_{n}-a_{n-1}>0\Leftrightarrow r>0\)

Exemplos: a), b) e d)

  • 2ª) Constantes em que cada termo é igual ao anterior, isto é,
\(a_{n}=a_{n-1}\Leftrightarrow a_{n}-a_{n-1}=0\Leftrightarrow r=0\)

Exemplo: e).

  • 3ª) Decrescentes em que cada termo é menor que o anterior, isto é,
\(a_{n}<a_{n-1}\Leftrightarrow a_{n}-a_{n-1}<0\Leftrightarrow r<0\)

Exemplos: c) e f).

Notações especiais Quando procuramos obter uma P.A. com \(3\) ou \(4\) ou \(5\) termos, é muito prático utilizar a seguinte notação:

  • \((x,x + r, x + 2r)\) ou \((x-r, x, x+r)\) para \(3\) termos.

  • \((x,x + r, x + 2r,x+3r)\) ou \((x-3y, x-y, x+y, x+3y)\) em que \(y=\frac{r}{2}\), para \(4\) termos.

  • \((x,x + r, x + 2r,x+3r, x+4r)\) ou \((x-2r, x-r, x,x+r, x+2r)\) para \(5\) termos.

Exemplo Determine \(x\) de modo que \((x, 2x+1, 5x+7)\) seja uma P.A.

1.3 Fórmula do termo geral

Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita encontrar um termo qualquer da P.A., conhecendo seu \(1^{°}\) termo e sua razão.

Seja uma P.A. \((a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n},...)\) de razão \(r\) temos:

\(a_{2}-a_{1}=r\)

\(a_{3}-a_{2}=r \Rightarrow a_{3}=a_{2}+r\)

\(a_{4}-a_{3}=r\Rightarrow a_{4}=a_{3}+r\)

\(\cdot\)

\(\cdot\)

\(\cdot\)

De modo geral o termo \(a_{n}\), que ocupa a n-ésima posição na sequência é dado por

\(a_{n}-a_{n-1}=r\Rightarrow a_{n}=a_{n-1}+r\)

Somando essas \(n-1\) igualdades, temos:

então,

A equação acima é conhecida como fórmula geral do termo de uma P.A., nos permite encontrar qualquer termo da P.A. em função de \(a_{1}\) e \(r\). Demosntração pode-se utilizar o princípio de indução finita.

Exemplo: Vamos calcular o \(50^{°}\) termo da P.A. \((-4,-1,2,5,...)\).

Sabemos que \(a_{1}=−4\) e \(r=−1−(−4)=3\). Utilizando a fórmula do termo geral, podemos escrever:

\(a_{50}=a_{1}+ 49.r=−4+49.(3) \Rightarrow a_{50}=143\)

1.4 Interpolação aritmética

Em sequência finita, \((a_{1},a_{2},...a_{n})\) os termos \(a_{1}\) e \(a_{n}\) são chamados extremos e os demais são chamados meios.

Interpolar, inserir ou intercalar \(k\) meios aritméticos entre os números \(a\) e \(b\) significa obter uma P.A. de extremos \(a_{1}=a\) e \(a_{n}=b\), com \(n=k+2\) termos. Para determinar os meios dessa P.A. é necessário calcular a razão, o que é feito assim:

Exemplo Interpole seis meios aritméticos entre \(–8\) e \(13\).

Encontrada a razão, então a P.A. é \((-8,-5,-1, 2, 7, 4, 10, 13)\).

1.5 Soma dos termos de uma P.A. finita

Johann Carl Friedrich Gauss foi um matemático, astrônomo e físico alemão. Foi conhecido como o príncipe dos matemáticos e muitos o consideram o maior gênio da história da matemática. Ele possuía memória fotográfica. Segundo história famosa, o diretor da escola onde ele estudava pediu que os alunos somassem os números inteiros de um a cem. Mal havia enunciado o problema e o jovem Gauss demonstrou o seu talento sobre a mesa, dizendo: “Já sei! A resposta é 5050.” O raciocínio tem como base a demonstração da fórmula da soma de uma progressão aritmética, conforme adiante:

Vamos analisar o raciocínio de Gauss.

Escrevendo \((I)\) em outra ordem temos:

Fazendo \((I)\) e \((II)\) de acordo com o esquema abaixo, temos:

Assim como temos \(100\) somas de valor \(101\),ou seja, \(2\cdot S= 100.101\)

Observe que \(100\) corresponde ao número de termos da P.A. e \(101\) é a soma dos termos extremos dessa P.A. \((a_{1}+a_{100}=1+100=101)\).

Generalizando esse raciocínio para uma P.A., qualquer temos

\(S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}\)

De fato, como a sequência $(a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n−2},a_{n−1},a_{n}) é uma P.A. de razão \(r\), podemos escrevê-la da forma:

Vamos calcular a soma dos \(n\) primeiros termos de uma P.A., que indicamos por \(S_{n}\). Repetindo o raciocínio anterior, temos:

Assim, como temos \(n\) somas de valor \((a_{1} +a_{n})\):

Propriedades

  • O elemento central é a média aritmética entre os outros dois termos.

  • Qualquer termo de uma P.A., excluídos os extremos, é a média aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente.

  • Numa P.A. de número ímpar de termos, o termo médio é a média aritmética dos extremos ou dos termos equidistantes dos extremos.

Exercício: Seja uma P.A. qualquer com três termos \((a_{1},a_{2},a_{3})\), mostre que o elemento central é a média aritmética entre os outros dois termos.

1.6 Progressão aritmética e a função afim

A fórmula do termo geral \(a_{n}=a_{1}+(n – 1) \cdot r\) é equivalente à \(a_{n}=a_{o} + n \cdot r\), em que os termos iniciam por \(a_{o}\). Logo, podemos associar esta relação como sendo uma função afim (polinomial do \(1º\) grau) restrita a números naturais (domínio=\(\mathbb{N}\)) do tipo \(a(x)=a_{o}+rx\). O gráfico dessa função é formado por uma sequência de pontos alinhados no plano, conforme gráfico