1 SEQUÊNCIAS

1.1 Introdução

A palavra sequência é usualmente empregada para representar uma sucessão de objetos ou fatos em uma ordem determinada. Essa ordem pode ser de tamanho, de lógica, de ordem cronológica, entre outros. Em matemática é utilizada comumente para denotar uma sucessão de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função que é chamada de termo geral da sequência ou lei de recorrência. Abaixo temos uma sequÊncia de animais, observando a sequência qual seria o próximo animal?

1.1 Sequências numéricas

Uma sequência infinita, ou, mais simplesmente, uma sequência, é uma sucessão sem fim de números, chamados de termos. Entende-se que os termos têm uma ordem definida, isto é, há um primeiro termo \(a_{1}\), um segundo termo \(a_{2}\), um terceiro termo $a_{3}, um quarto termos $a_{4} e assim por diante. Em toda sequência infinita, a cada \(i \in \mathbb{N}^{*}\) está associado um \(a_{i} \in \mathbb{R}\).

\(f=\{(1,a_{1}),(2,a_{2}),(3,a_{3}), ...,(i, a_{i}), ...\}\)

Chamamos de sequência finita a sucessão que cada número natural \((1\leq i\leq n)\) está associado um número real \(a_{i}\), ou seja, \(f=\{(1,a_{1}),(2,a_{2}),(3,a_{3}), ...,(n, a_{n})\}\)

Por convenção, iremos indicar uma sequência \(f\) anotando apenas a imagem de \(f\), isto é, \(f=\{a_{1},a_{2},a_{3}, ...,a_{i}, ...\}\)

Definição Uma sequência de números reais \((a_{n})\) é uma função \(a:\mathbb{N} \mapsto \mathbb{R}\) que associa a cada número natural \(n\) um número real \(a_{n}\).

Exemplos

  • \((2, 4, 6, 8, 10, 12, ... )\) sequência de números pares positivos.

  • \((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...)\) sequência de números naturais.

  • \((10, 20, 30, 40, 50...)\) sequência de números múltiplos de \(10\).

  • \((10, 15, 20, 25, 30)\) sequência de números múltiplos de \(5\), maiores que cinco e menores que \(35\).

Igualdade de sequência Duas seguências, $f=(a_{i})_{i} ^{*} $ e \(g=(b_{i})_{i} \in \mathbb{N}^{*}\), são iguais quando

\(f=g \Leftrightarrow a_{i}=b_{i} \forall_{i} \in \mathbb{N}^{*}\)

1.1 Lei de formação

As sequências podem ser determinadas obedecendo a certa regra, isto é, lei de formação . Esta pode ser apresentada de três maneiras:

  • 1 - Por fórmula de recorrência: É apresentado duas regras: (a) identificar o primeiro termo da sequência \((a_{i})\); (b) calcular cada termo \((a_{n})\) a partir do seu antecessor \((a_{n – 1})\).

Exemplos: Escreva os cinco primeiros termos da sequência infinita cujo \(a_{1}= 3\) e \(a_{n}=2\cdot a_{n – 1}+4\).Temos:

\(n=1\Rightarrow a_{2}=3\\ n=2\Rightarrow a_{2}=2\cdot 3+4=10 \\ n=3\Rightarrow a_{3}=2\cdot 10+4=24 \\ n=4\Rightarrow a_{4}=2\cdot 24+4=52 \\ n=5\Rightarrow a_{5}=2\cdot 52+4=108 \\\)

então \(f=(3, 10, 24, 52, 108, ... )\).

  • 2 - Expressando cada termo em função de sua posição: É dada uma fórmula que expressa \(a_{n}\) em função de \(n\).

Exemplos: Encontre os cincos primeiros elementos da sequência infinita \(f\) em que os termos verificam a relação \(b_{n}=\frac{2n}{1+n}\). Temos

então \(f=(\frac{2}{2},\frac{4}{3}, \frac{6}{4}, \frac{8}{5}, \frac{10}{6}, ... )\).

  • 3- Por propriedade dos termos: É dada uma propriedade que os termos da sequência devem apresentar.

Exemplos: Escrever os cinco termos iniciais da sequência infinita \(f\) formada pelos números primos positivos colocados em ordem crescente.

Temos então \(f=(2,3,5,7,11, ... )\)

Não existe uma fórmula para o termo geral da sequência dos números primos, mas todos eles estão determinados e podem ser encontrados, por exemplo, pelo chamado “crivo de Erastóstenes”

1.1 Gráficos de sequências

Uma vez que sequências são funções, faz sentido falar sobre o gráfico delas. Por exemplo, o gráfico da sequência é o gráfico da equação \(y=\frac{1}{n}\), com \(n=1,2,3,4,5,...\), omo o lado direito dessa equação está definido somente para valores inteiros positivos de \(n\), o gráfico consiste de uma sucessão de pontos isolados como a figura abaixo.