1.1.- Variables Cualitativas

Son aquellas que no se pueden medir numéricamente como el sexo, la nacionalidad, color de ojos, etc. Pueden ser Dicótomicas cuando solo presenta dos categorías como el sexo (masculino o femenino) y Politómicas cuando presentan más de una categoría como (Alto, medio y bajo). A su vez, pueden ser:

• Ordinales: El orden es importante. Ejemplo: Primaria, secundaria, academia, universidad, etc.
• Nominales: No existe un orden. Ejemplo: Peruano, argentino, chileno, etc.

1.2.- Variables Cuantitativas

Son aquellas que sí se pueden metir numéricamente como la edad, el gasto, el ingreso, el precio, etc. Pueden ser:

• Discretas: 1,2,3,4,…
• Continuas: 1.5,2.4,3.6,…

3.1- Frecuencias Absolutas (fi)

La frecuencia absoluta de una var. estadística se define como el número de veces que aparece en la muestra cada valor distinto de la variable.

3.2.- Frecuencia Relativa (hi)

La frecuencia relativa de una variable estadística se define como el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra

num.hijos<-c(2,1,1,3,1,4,2,3,2,1,5,1,2,3,2,3,2,1,0,6,8,1,2,5,4)

fi<-table(num.hijos)

data.frame(fi)

##   num.hijos Freq
## 1         0    1
## 2         1    7
## 3         2    7
## 4         3    4
## 5         4    2
## 6         5    2
## 7         6    1
## 8         8    1

n<-length(num.hijos)

hi<-rep(0,length(fi))
for (i in 1: length(fi)) {
  hi[i]=fi[i]/n
}
data.frame(fi,hi)

##   num.hijos Freq   hi
## 1         0    1 0.04
## 2         1    7 0.28
## 3         2    7 0.28
## 4         3    4 0.16
## 5         4    2 0.08
## 6         5    2 0.08
## 7         6    1 0.04
## 8         8    1 0.04

4.2.- Media Aritmética

mean(notas)

## [1] 12.3

med.arit<-function(x) {sum(x)/length(x)}
med.arit (notas)

## [1] 12.3

media.agrupados<-function(x,f) {
  suma<-0
  for (i in 1:length(x))
    {
      suma<-suma+x[i]*fi[i]
    }
    return(suma/sum(f))
  }
media.agrupados(c(0,1,2,3,4,5,6),c(13,20,25,20,11,7,4))

##    0 
## 0.57

media.ponderada<-function(x,w) {sum(x*w)/sum(w)}
pesos<-c(0.027, 0.024, 0.008, 0.018, 0.012, 0.027, 0.02, 0.039, 0.015, 0.028,
0.033, 0.006, 0.039, 0.031, 0.036, 0.027, 0.012, 0.026, 0.025, 0.013, 
0.021, 0.004, 0.015, 0.031, 0.038, 0.021, 0.026, 0.019, 0.039, 0.003,
0.026, 0.001, 0.008, 0.004, 0.019, 0.007, 0.009, 0.01, 0.016, 0.017, 
0.033, 0.018, 0.017, 0.033, 0.023, 0.025, 0.003, 0.021, 0.005, 0.022)
cat("La suma de los pesos es",sum(pesos))

## La suma de los pesos es 1

media.ponderada (notas,pesos)

## [1] 12.898

media.geometrica<-function(x) {exp(sum(log(x))/length(x))}
media.geometrica(notas)

## [1] 9.742009

media.armonica<-function(x){1/mean(1/x)}
media.armonica(notas)

## [1] 6.401653

4.3.- Mediana

Es el valor central de un conjunto de datos.

if (length(notas)%%2==0) {
  cat("n =",length(notas)," es par")
} else{
  cat("n =",length(notas)," es impar")
}

## n = 50  es par

median(notas)

## [1] 15

4.4.- Moda

moda<- function(x)
  {
  tabla<-table(x)
  return(as.numeric(names(tabla)[tabla == max(tabla)]))
}
moda(notas)

## [1] 15

5.1.- Cuartiles

Dividen a la serie en igual cantidad de términos, los cuales deben estar odenados previamente. Tendríamos el Cuartil 1, que representa el 25% de los datos o la mediana de la primera mitad. El cuartil 2, representa el 50% de los datos, o la median y el Cuartil 3 que representa el 75% de los datos o mediana de la segunda mitad.

quantile(notas, 0.25)

##  25% 
## 6.25

quantile(notas, 0.5)

## 50% 
##  15

median(notas, 0.5)

## [1] 15

quantile(notas, 0.75)

## 75% 
##  17

5.2.- Deciles

Dividen a la serie en 10 en diez grupos con igual cantidad de datos. Tendremos el cuantil de notas de la probabilidad de la secuencia(0,1) una longitud de 11, y el tipo siempre será 6.

quantile(notas, prob=seq(0,1, length=11), type=6)

##   0%  10%  20%  30%  40%  50%  60%  70%  80%  90% 100% 
##  1.0  2.0  4.2  9.3 13.0 15.0 15.0 17.0 17.8 19.0 20.0

5.3.- Percentiles

Dividen a la serie en 100 grupos con igual cantidad de grupos.

quantile(notas, prob=seq(0,1, length=101), type=6)

##    0%    1%    2%    3%    4%    5%    6%    7%    8%    9%   10%   11%   12% 
##  1.00  1.00  1.02  1.53  2.00  2.00  2.00  2.00  2.00  2.00  2.00  2.00  2.12 
##   13%   14%   15%   16%   17%   18%   19%   20%   21%   22%   23%   24%   25% 
##  2.63  3.00  3.00  3.00  3.00  3.18  3.69  4.20  4.71  5.22  5.73  6.00  6.00 
##   26%   27%   28%   29%   30%   31%   32%   33%   34%   35%   36%   37%   38% 
##  6.26  6.77  7.56  8.58  9.30  9.81 10.00 10.00 10.34 10.85 11.00 11.00 11.76 
##   39%   40%   41%   42%   43%   44%   45%   46%   47%   48%   49%   50%   51% 
## 12.78 13.00 13.00 13.42 13.93 14.00 14.00 14.46 14.97 15.00 15.00 15.00 15.00 
##   52%   53%   54%   55%   56%   57%   58%   59%   60%   61%   62%   63%   64% 
## 15.00 15.00 15.00 15.00 15.00 15.00 15.00 15.00 15.00 15.11 15.62 16.00 16.00 
##   65%   66%   67%   68%   69%   70%   71%   72%   73%   74%   75%   76%   77% 
## 16.15 16.66 17.00 17.00 17.00 17.00 17.00 17.00 17.00 17.00 17.00 17.00 17.00 
##   78%   79%   80%   81%   82%   83%   84%   85%   86%   87%   88%   89%   90% 
## 17.00 17.29 17.80 18.00 18.00 18.00 18.00 18.35 18.86 19.00 19.00 19.00 19.00 
##   91%   92%   93%   94%   95%   96%   97%   98%   99%  100% 
## 19.41 19.92 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00

6.1.- Rango

Es el Valor Máximo menos el Valor Mínimo.

rango<-max(notas)-min(notas)
rango

## [1] 19

6.2.- Medio Rango

Es: (Valor Máximo - Valor Mínimo)/2

rango.medio<-(max(notas)-min(notas))/2
rango.medio

## [1] 9.5

6.3.- Rango Intercuartíluco

Es el Quartil 3 menos Quartil 1

IQR(notas)

## [1] 10.75

6.4.- Rango Semi-intercuartílico

Es: (Quartil 3 - Quartil 1)/2

rango.semiIQR<- IQR(notas)/2
rango.semiIQR

## [1] 5.375

6.5.- Varianza

var(notas)

## [1] 38.54082

varianza.agrupados<- function(x,f) {
  suma<-0
  for (i in 1:length(x)) {
    suma<-suma+(x[i]-media.agrupados(x,f))^2*f[i]
  }
  return(suma/sum(f))
}
varianza.agrupados(c(1,2,3,4,5,6,7),c(13,20,25,20,11,7,4))

##      0 
## 8.8715

6.6.- Desviación Estándar

sd(notas)

## [1] 6.208125

var(notas)^(1/2)

## [1] 6.208125

desviacion.agrupados<-function(x,f) {sqrt(varianza.agrupados(x,f))}
desviacion.agrupados(c(0,1,2,3,4,5,6),c(13,20,25,20,11,4))

##  0 
## NA

6.7.- Coeficiente de Variación

Sirve para determinar la variabilidad de los datos, es la desviación estándar entre el promedio.

coeficiente.variacion<- function (x) {sd(x)/mean(x)}
coeficiente.variacion(notas)

## [1] 0.5047256

7.1.- Asímetría o Sesgo

Despenderá de la distribución de los datos:

• Será Positiva a la derecha cuando la moda sea menor a la mediana y menor a la media.

• Será Simétria cuando la moda, la mediana y la media son iguales.

• Será negativa a la izquierda cuando la moda sea mayor a la mediana y mayor a la media.

7.2.- Coeficiente de Asimetría de Fisher

• Cuando el coeficiente es mayor a cero la distribución será asimétrica positiva.

• Cuando el coeficiente es igual a cero la distribución es simétrica.

• Cuando el coeficiente es menor a cero la distribución es asimétrica negativa.

asimetria.fisher<- function(x,f) {
  n<-sum(f)
  suma<-0
  for (i in 1:length(x)) { suma<-suma+(x[i]-media.agrupados(x,f)^3+f[i])}
  g1<-(suma/n)/desviacion.agrupados(x,f)^3
  return(g1)
}
marca.clase=c(1,2,3,4,5,6,7)
f.absoluta<-c(12,36,28,19,13,2,2)
asimetria.fisher(marca.clase,f.absoluta)

##          0 
## 0.06659559

7.3.- Medidas de Aputnamiento o Kurtosis

Dependerán del conjunto de datos unimodal, el cual es una medida de apuntamiento o aplastamiento de un polígono de frecuencias. Visualmente se puede hacer el análisis con el histograma.

• Distribución Mesocúrtica

• Distribución Leptocúrtica

• Distribución Platicúrtica

hist(notas)

library(e1071)
kurtosis(notas)

## [1] -1.19262

Ejemplo 1: Media Ponderada

Se dice que un docente realiza el promedio de las notas de sus alumnos de la siguiente manera:

• Promedio de Trabajos (PT) : 15%
• Examen Parcial (EP) : 35%
• Examen Final (EF) : 35%
• Promedio de Prácticas (PP) : 15%

Un alumno solo aprobará si su promedio final es mayor o igual a 11.

Renombramos los datos como “data”, luego se ve si los datos han sido correctamente insertados, es decir, si están en forma numérica y enteros. Luego, vemos la cantidad de datos (dimensión) los cuales son 30 observaciones en 4 columnas.

data<-AlumnosEstadistica
str(data)

## tibble [30 x 4] (S3: spec_tbl_df/tbl_df/tbl/data.frame)
##  $ PT: num [1:30] 15 15 16 19 16 17 17 16 16 17 ...
##  $ EP: num [1:30] 10 7 12 9 10 9 15 8 7 6 ...
##  $ EF: num [1:30] 14 11 11 14 8 12 8 9 5 8 ...
##  $ PP: num [1:30] 9 8 10 13 16 8 9 8 9 13 ...
##  - attr(*, "spec")=
##   .. cols(
##   ..   PT = col_double(),
##   ..   EP = col_double(),
##   ..   EF = col_double(),
##   ..   PP = col_double()
##   .. )

n<-dim(data)
n

## [1] 30  4

Para ver la media ponderada (MP) seguimos los siguientes pasos:

• Sabemos que la MP que es equivalente a una función de dos variables, la cantidad de datos por sus pesos dividido por la suma de los pesos.
• Indicamos los pesos de acuerdo a lo señalado anteriormente.
• Para el PF crearemos una nueva columna que ira en reptición de acuerdo al alumno en su posición desde cero hasta n“1”.
• Generamos el bucle que llenará esa columna.
• Finalmente, mostramos los 30 datos de la columna final.

media.ponderada<-function(x,w){sum(x*w/sum(w))}
pesos<-c(0.15,0.35,0.35,0.15)
PF<-rep(0,n[1])
for (i in 1:n[1]) {PF[i]<-round(media.ponderada(data[i,],pesos))}
PF

##  [1] 12 10 12 13 11 11 12 10  8  9 12 15 11 11 10 14 11 11 13 14 13 15 14 13 12
## [26] 12 12 11 12 13

Agregamos la columna creada a la data anterior:

data=data.frame(data,PF)
data

##    PT EP EF PP PF
## 1  15 10 14  9 12
## 2  15  7 11  8 10
## 3  16 12 11 10 12
## 4  19  9 14 13 13
## 5  16 10  8 16 11
## 6  17  9 12  8 11
## 7  17 15  8  9 12
## 8  16  8  9  8 10
## 9  16  7  5  9  8
## 10 17  6  8 13  9
## 11 18 10  9 16 12
## 12 20 15 13 15 15
## 13 19  9  8 15 11
## 14 19 10  8 10 11
## 15 16 10  8  8 10
## 16 16 14 15 12 14
## 17 15  7 15 10 11
## 18 20  8 10 13 11
## 19 19 15  9 12 13
## 20 20 14 11 13 14
## 21 20  8 14 16 13
## 22 19 14 13 16 15
## 23 17 13 13 13 14
## 24 20  9 14 10 13
## 25 19  9 13  9 12
## 26 17 13  9 12 12
## 27 15 11 14  8 12
## 28 17 12  7 12 11
## 29 18  7 14 13 12
## 30 16 15 11 10 13

Ahora, agregaremos una columna que nos diga el estado de “Aprobado” o “Desaprobado” según su PF. La condición está dada sii la data “i” en la 5ta columna es menor a 11 su estado será desaprobado, caso contrado será aprobado.

estado<-rep(0,n[1])
for ( i in 1:n[1])
  {
  if (data[i,5]<11)
  { 
    estado[i]<-"Desaprobado"
  }
  else {
    estado[i]<-"Aprobado"
  }
    
}
estado

##  [1] "Aprobado"    "Desaprobado" "Aprobado"    "Aprobado"    "Aprobado"   
##  [6] "Aprobado"    "Aprobado"    "Desaprobado" "Desaprobado" "Desaprobado"
## [11] "Aprobado"    "Aprobado"    "Aprobado"    "Aprobado"    "Desaprobado"
## [16] "Aprobado"    "Aprobado"    "Aprobado"    "Aprobado"    "Aprobado"   
## [21] "Aprobado"    "Aprobado"    "Aprobado"    "Aprobado"    "Aprobado"   
## [26] "Aprobado"    "Aprobado"    "Aprobado"    "Aprobado"    "Aprobado"

Ahora agregamos esta nueva columna a la data original

data=data.frame(data,estado)
data

##    PT EP EF PP PF      estado
## 1  15 10 14  9 12    Aprobado
## 2  15  7 11  8 10 Desaprobado
## 3  16 12 11 10 12    Aprobado
## 4  19  9 14 13 13    Aprobado
## 5  16 10  8 16 11    Aprobado
## 6  17  9 12  8 11    Aprobado
## 7  17 15  8  9 12    Aprobado
## 8  16  8  9  8 10 Desaprobado
## 9  16  7  5  9  8 Desaprobado
## 10 17  6  8 13  9 Desaprobado
## 11 18 10  9 16 12    Aprobado
## 12 20 15 13 15 15    Aprobado
## 13 19  9  8 15 11    Aprobado
## 14 19 10  8 10 11    Aprobado
## 15 16 10  8  8 10 Desaprobado
## 16 16 14 15 12 14    Aprobado
## 17 15  7 15 10 11    Aprobado
## 18 20  8 10 13 11    Aprobado
## 19 19 15  9 12 13    Aprobado
## 20 20 14 11 13 14    Aprobado
## 21 20  8 14 16 13    Aprobado
## 22 19 14 13 16 15    Aprobado
## 23 17 13 13 13 14    Aprobado
## 24 20  9 14 10 13    Aprobado
## 25 19  9 13  9 12    Aprobado
## 26 17 13  9 12 12    Aprobado
## 27 15 11 14  8 12    Aprobado
## 28 17 12  7 12 11    Aprobado
## 29 18  7 14 13 12    Aprobado
## 30 16 15 11 10 13    Aprobado

Ahora, creamos un nuevo archivo que represente este último archivo con las columnas creadas:

write.table(data,file="AlumnosEstadistica.cvs",sep=";",row.names = FALSE)

Ejemplo 2: Medidas de Tendencia Central

Determinaremos la media aritmética, la moda, la mediana la media geométrica y la media armónica.

data<-Sueldo
mean(data$X1)

## [1] 2630.99

moda<-function(x){
  tabla<-table(x)
  return(as.numeric(names(tabla)[tabla==max(tabla)]))
}
moda(data$X1)

## [1] 930

median(data$X1)

## [1] 1423

media.geometrica<-function(x) {exp(sum(log(x))/length(x))}
media.geometrica(data$X1)

## [1] 1918.619

media.armonica<-function(x){
  1/mean(1/x)
}
media.armonica(data$X1)

## [1] 1537.418

Ejemplo 3: Medidas de Tendencia No Central

quantile(data$X1,0.25)

##   25% 
## 967.5

quantile(data$X1,0.75)

##  75% 
## 2937

quantile(data$X1,probs = 0.4,type=6)

##  40% 
## 1200

quantile(data$X1,probs = 0.99,type = 6)

##     99% 
## 9814.02

Ejemplo 4: Frecuencias Absolutas Acumuladas

data<-c(5,16,18,16,11,17,16,15,19,14,18,18,19,20,19,15,13,18,16,11,15,18,11,20)
f.a<-table(data)
f.a

## data
##  5 11 13 14 15 16 17 18 19 20 
##  1  3  1  1  3  4  1  5  3  2

data.frame(f.a)

##    data Freq
## 1     5    1
## 2    11    3
## 3    13    1
## 4    14    1
## 5    15    3
## 6    16    4
## 7    17    1
## 8    18    5
## 9    19    3
## 10   20    2

f.c.a<-cumsum(table(data))
data.frame(f.c.a)

##    f.c.a
## 5      1
## 11     4
## 13     5
## 14     6
## 15     9
## 16    13
## 17    14
## 18    19
## 19    22
## 20    24

A<-data.frame(f.a,f.c.a,row.names = NULL)
colnames(A)<-c("Data","Frecuencia Absoluta","Frecuencia Absoluta Acumulada")
A

##    Data Frecuencia Absoluta Frecuencia Absoluta Acumulada
## 1     5                   1                             1
## 2    11                   3                             4
## 3    13                   1                             5
## 4    14                   1                             6
## 5    15                   3                             9
## 6    16                   4                            13
## 7    17                   1                            14
## 8    18                   5                            19
## 9    19                   3                            22
## 10   20                   2                            24

Ejemplo 5: Tabla de Contingencia

Para ello, considerar la base de datos de 20 personas respecto a su sexo y estado civil. Dicha tabla de datos la copiamos y la leemos con el código read.delim e indicando clipboard.

De la siguiente forma:

data<-read.delim(“clipboard”) data

Creamos la taba de contingencia según el sexo acorde a asu estado civil.

T<-table(data$Sexo, data$Estado.Civil)
T

##            
##             Casado Conviviente Divorciado Soltero Viudo
##   Femenino       3           1          1       2     1
##   Masculino      5           2          1       3     1

O podemos usar la función xtabs que realiza lo mismo

xtabs(~Sexo+Estado.Civil, data)

##            Estado.Civil
## Sexo        Casado Conviviente Divorciado Soltero Viudo
##   Femenino       3           1          1       2     1
##   Masculino      5           2          1       3     1

Ejemplo 6: Límites Inferiores y Límites Superiores

Consideramos el siguiente vector de datos y posterior a ello usaremos la Regla de Sturges para su agrupación.

datos<-c(50, 3, 38, 35, 41, 31, 32, 48, 32, 34, 37, 44, 0, 45, 37,
40, 43, 42, 50, 13, 13, 5, 23, 31, 30, 19, 13, 16, 46, 5)
datos

##  [1] 50  3 38 35 41 31 32 48 32 34 37 44  0 45 37 40 43 42 50 13 13  5 23 31 30
## [26] 19 13 16 46  5

Vemos la longitud de datos con lenght y calculamos el rango con

n<-length(datos)
n

## [1] 30

rango<-max(datos)-min(datos)
rango

## [1] 50

Regla de Stugers: El número de intervalos es equivalente a un número exacto según la siguiente fórmula.

num.intervalos<-round(1+3.3*log10(n))
num.intervalos

## [1] 6

La amplitud que hay entre un límite inferior y superior, equivalente a los siguiente:

amplitud<-rango/num.intervalos
amplitud

## [1] 8.333333

Para hallar el límite inferior y superior se halla con la siguiente función:

L<-matrix(data=NA,nrow = num.intervalos, ncol = 2)
L[1,1]<-min(datos)
L[num.intervalos,2]=max(datos)
for (i in 1:5) {
  L[i,2]=L[i,1]+amplitud
  L[i+1,1]=L[i,2]
}
L

##           [,1]      [,2]
## [1,]  0.000000  8.333333
## [2,]  8.333333 16.666667
## [3,] 16.666667 25.000000
## [4,] 25.000000 33.333333
## [5,] 33.333333 41.666667
## [6,] 41.666667 50.000000

Creamos la tabla medianteun data.frame y le colocamos nombres a cada columna-

L<-data.frame(L)
colnames(L)<-c("Límite inferior","Límite superior")
L

##   Límite inferior Límite superior
## 1        0.000000        8.333333
## 2        8.333333       16.666667
## 3       16.666667       25.000000
## 4       25.000000       33.333333
## 5       33.333333       41.666667
## 6       41.666667       50.000000