1 SUBESPAÇOS VETORIAIS

1.1 Introdução

Veremos um tipo muito importante de subconjuntos de espaços vetoriais: os subespações vetoriais. Nem todo subconjunto \(S\) de um espaçO vetorial \(V\) é um seu subespaço, é necessário que o subconjunto em questão tenha a mesma estrutura de \(V\).Por exemplo: Seja \(V=\mathbb{R}^{2}\), o plano onde \(W\) é uma reta deste plano, que passa pela origem.

Observe que a reta \(W\) é como um espaço vetorial, pois se somarmos dois vetores de \(W\), obtemos um outro vetor em \(W\), da mesma maneira que se multiplicarmos um vetor de \(W\) por um escalar, o vetor resultante ainda estará em \(W\). Portanto o subconjunto \(W\) é “fechado” em relação à soma de vetores e multiplicação por escalar.

1.1 Definição

Dado um espaço vetorial \(V\), dizemos que \(W \subset V\) é um subespaço vetorial de \(V\) se forem satisfeitas as seguintes condições:

  • \(0 \in W\);

  • Se \(u,v \in W\) então \(u+v \in W\);

  • Se \(u \in W\) então \(\lambda u \in W\) para todo \(\lambda \in \mathbb{R}\).

Observação:

Todo espaço vetorial \(V\) admite pelo menos dois subespaço: o conjunto \(\left \{ \bar{0} \right \}\), chamado subespaço zero ou subespaço nulo e o próprio espaço vetorial \(V\), que são chamados de subespaços triviais de \(V\). Os demais sãochamados de subespaços próprios de \(V\).

Por exemplo, os subespaços triviais do \(V=\mathbb{R}^{3}\) são \({0,0,0}\) e o próprio \(\mathbb{R}^{3}\). Os subespaços próprios do \(\mathbb{R}^{3}\) são retas e planos que passam pela origem.

Exemplo: \(V=\mathbb{R}^{5}\) e \(W=\left \{(0,x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}); x_{i} \in \mathbb{R}\right \}\)

Vamos verificar as 3 condições para ser subespaços:

  • \(0=(0,0,0,0,0) \in W\);

  • \(u=(0, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5})\), \(v=(0, y_{2}, y_{3}, y_{4}, y_{5} ) \in W\). então \(u+v=(0, x_{2}+y_{2}, x_{3}+y_{3}, x_{4}+y_{4}, x_{5}+y_{5}) \in W\)

  • \(\lambda u = (0, \lambda x_{2}, \lambda x_{3}, \lambda x_{4}, \lambda x_{5}) ∈ W\).

Portanto, \(W\) é subespaço vetorial de \(\mathbb{R}^{5}\)

Exemplo: Seja \(V=\mathbb{R}^{2}\) e \(W=\left \{(x, x + 1); x \in \mathbb{R}\right \}\). Observe que \((0, 0) \notin W\). Logo, \(W\) não é um subespaço vetorial de \(V\).

1.1 Interseção e soma de subespaços

Teorema: Dados \(W_{1}\) e \(W_{2}\) subespaços de um espaço vetorial \(V\), a interseção \(W_{1}\cap W_{2}\) ainda é um subespaço de \(V\).

Observe que \(W_{1}\cap W_{2}\) nunca é vazio já que eles sempre contêm, pelo menos, o vetor nulo.

Exemplo: \(V=\mathbb{R}^{3}\), \(W_{1}\cap W_{2}\) é

Observação: Embora a interseção gere um subespaço vetorial, isso necessariamente não acontece com a união

Exemplo: Seja \(V=\mathbb{R}^{2}\) e \(W_{1}=\left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}; x+y=0 \right \}\), \(W_{2}=\left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}; x-y=0 \right \}\), \(W_{1} \cup W_{2}\) é um sobespaço vetorial de \(V\)?

\(W_{1}\) e \(W_{2}\) são espaços vetoriais de \(\mathbb{R}^{2}\). Contra exemplo:

\((1,-1) \in W_{1} \subset W_{1}\cup W_{2}\)

\((1,1) \in W_{2} \subset W_{1}\cup W_{2}\)

\((1,-1)+(1,1)=(2,0) \notin W_{1}; \notin W_{2}\Rightarrow \notin W_{1}\cup W_{2}\)

Teorema: Sejam \(W_{1}\) e \(W_{2}\) subespaços de um espaço vetorial \(V\). Definimos a soma de \(W_{1}\) e \(W_{2}\) como

  • \(W_{1} + W_{2} =\left \{v \in V; v=w_{1} + w_{2}, w_{1} \in W_{1}, w_{2} \in W_{2}\right \}\) é subespaço de \(V\)

Exemplo Se\(W_{1}\) e \(W_{2}\) são duas retas, \(W=W_{1} + W_{2}\) é o plano que contém as retas

Observação Quando \(W_{1} \cap W_{2}=\left \{ 0 \right \}\), então \(W_{1}+W_{2}\) é chamado soma direta de \(W_{1}\) com \(W_{2}\) e é denotado por \(W_{1}\bigoplus W_{2}\)

1.1 Combinação Linear

A combinação linear é uma das características mais importantes de um espaço vetorial, que é a obtenção de novos vetores a partur de vetores dados.

Definição

Considere um espaço vetorial \(V\) , e \(v_{1}, v_{2},...v_{n}\) elementos de \(V\). Dizemos que é uma combinação linear desses vetores se existir escalares \(\alpha_{1},\alpha_{2},....\alpha_{n}\) tal que é uma expressão do tipo
\(v=\alpha_{1} v_{1},\alpha_{2} v_{2},....\alpha_{n} v_{n}\)

Exemplo O vetor \(v=(2, −4) \in \mathbb{R}^{2}\) é combinação linear de \(v_{1}=(1, 1)\) e \(v_{2}=(1, −1)\), pois \(v=−1v_{1} +3v_{2}\).

1.1 Subespaços gerados

Uma vez fixados vetores \(v_{1}, v_{2},...v_{n}\) em \(V\), o conjunto \(W\) de todos os vetores de \(V\) que são combinação linear desse é um subespaço vetorial, portanto \(W\) é chamado de subespaço gerado por \(v_{1}, v_{2},...v_{n}\).

-Notação: \(W=[v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}]\)

Por conveniência diremos que o conjunto vaxio gera o espaço vetorial \(\{0\}\). Todo espaço vetorial possui um conjunto gerador.

Exemplo Os vetores \(v_{1}=(1, 0)\) e \(v_{2}=(0, 1)\) geram o espaço vetorial \(V = \mathbb{R}^{2}\), pois qualquer par ordenado \((x,y) \in \mathbb{R}^{2}\) é combinação linear de \(v_{1}\) e \(v_{2}\).

\((x,y)= xv_{1}+yv_{2}=x(1,0)+y(0,1)=(x,y)\)

1.1 Dependência e Independêcia linear