1 ESPAÇOS VETORIAIS

1.1 Introdução

Imagine um conjunto \(V\) onde seja possível somar elementos e multiplicar os elementos por números reais, e que o resultado dessas operações esteja no conjunto \(V\) . Sabe-se que o conjunto é interpretado geometricamente como o plano cartesiano. O par ordenado \((x,y)\) pode ser um ponto ou um vetor .

Esta ideia se estende ao espaço tridimensional que é a interpretação geométrica do conjunto \(\mathbb{R}^{3}\). Embora se perca a visão geométrica, é possível estender essa ideia a espaços \(\mathbb{R}^{4}\), \(\mathbb{R}^{5}...\),\(\mathbb{R}^{n}\) Assim,

\(\Rightarrow \mathbb{R}^{4}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\)

\(\Rightarrow \mathbb{R}^{5}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}, x_{5})\)

\(\Rightarrow \mathbb{R}^{n}=(x_{1},x_{2},...,x_{n}; x_{i} \in \mathbb{R})\)

A maneira de trabalhar nesses espaços é da mesma maneira estudada no \(\mathbb{R}^{2}\) e \(\mathbb{R}^{3}\).

1.1 DEFINIÇÃO

Seja um conjunto \(V\), não-vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar, é uma espaço vetorial se para quaisquer \(u,v,w \in V\) e \(\mu, \lambda \in \mathbb{R}\) isto é:

  • \(u,v \in V\Rightarrow u+v \in V\)

  • \(u \in V, \lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow \lambda u\in V\)

São válidas as seguintes axiomas:

-Axiomas para a adição de vetores:

A1) \(u+v=v+u\), para quaisquer \(u,v \in V\) (comutatividade) ;

A2) \(u+(v+w)=(u+v)+w\), para quaisuqe \(u,v,w \in V\) (associatividade);

A3) Existe um elemento \(\bar{0} \in V\), denominado de \(\underline{\text{vetor nulo}}\), tal que \(\bar{0}+u=u\), para todo \(u \in V\);

A4) Para cada \(u \in V\) existe um elemento \(-u \in V\) tal que \(u+(-u)=\bar{0}\);

-Axiomas para a multiplicação por escalar:

M1) \(\lambda(\mu u)=(\lambda \mu)u\) para quaisquer \(\mu, \lambda \in \mathbb{R}\) e \(u \in V\);

M2) \((\lambda+ \mu)u=\lambda u+\mu u\) para quaisquer \(\mu, \lambda \in \mathbb{R}\) e \(u \in V\);

M3) \(\lambda (u+v)= \lambda u+ \lambda v\) para quaisquer \(\lambda \in \mathbb{R}\) e \(u,v \in V\);

M4) \(1u =u\) para todo \(u \in V\).

OBSERVAÇÃO:

  • Os elementos do espaço vetorial \(V\) são chamados de vetores;

  • Se os escalares fossem no conjunto \(\mathbb{C}\), \(V\) seria espaço vetorial complexo.

Exemplo Seja \(V=M_{2\text{x}2 }\in \mathbb{R}\) é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas.

-Axioma A1) \(u+v=v+u\)

-Axioma A2) \((u+v)+w=u+(v+w)\)
-Axioma A3) Existe um elemento \(\bar{0} \in V\), denominado de \(\underline{\text{vetor nulo}}\), tal que \(\bar{0}+u=u\), para todo \(u \in V\);
-Axioma A4) Para cada \(u \in V\) existe um elemento \(-u \in V\) tal que \(u+(-u)=\bar{0}\);

-Axioma M1) \(\lambda(\mu u)=(\lambda \mu)u\) para quaisquer \(\mu, \lambda \in \mathbb{R}\) e \(u \in V\);

\(\lambda(\mu u)=\lambda \left ( \mu \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22}\end{bmatrix}\right )= \lambda \begin{bmatrix} \mu u_{11} & \mu u_{12} \\ \mu u_{21} & \mu u_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\lambda \mu u_{11} & \lambda \mu u_{12} \\ \lambda \mu u_{21} & \lambda \mu u_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (\lambda \mu) u_{11} & (\lambda \mu) u_{12} \\ (\lambda \mu) u_{21} & (\lambda \mu) u_{22} \end{bmatrix}= (\lambda \mu) \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{bmatrix} = (\lambda \mu) u\)

-Axioma M2) \((\lambda+ \mu)u=\lambda u+\mu u\) para quaisquer \(\mu, \lambda \in \mathbb{R}\) e \(u \in V\);

\((\lambda +\mu) u= (\lambda + \mu) \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} (\lambda + \mu) u_{11} & (\lambda + \mu) u_{12} \\ (\lambda + \mu) u_{21} & (\lambda + \mu) u_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda u_{11}+ \mu u_{11} & \lambda u_{12}+ \mu u_{12}\\ \lambda u_{21}+ \mu u_{21} & \lambda u_{22}+ \mu u_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda u_{11} & \lambda u_{12} \\ \lambda u_{21} & \lambda u_{22} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \mu u_{11} & \mu u_{12} \\ \mu u_{21} & \mu u_{22} \end{bmatrix}= \lambda u+ \mu u\)

-Axioma M3) \(\lambda (u+v)= \lambda u+ \lambda v\) para quaisquer \(\lambda \in \mathbb{R}\) e \(u,v \in V\);

\(\lambda (u+v)= \lambda\left ( \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_{11} & v_{12} \\ v_{21} & v_{22} \end{bmatrix} \right ) = \lambda \begin{bmatrix} u_{11} +v_{11} & u_{12} + v_{12} \\ u_{21} +v_{21} & u_{22} +v_{22} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \lambda (u_{11} +v_{11}) & \lambda (u_{12} + v_{12}) \\ \lambda (u_{21} +v_{21}) & \lambda(u_{22} +v_{22}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda u_{11} + \lambda v_{11} & \lambda u_{12} + \lambda v_{12} \\ \lambda u_{21} + \lambda v_{21} & \lambda u_{22} + \lambda v_{22} \end{bmatrix}\)

\(= \begin{bmatrix} \lambda u_{11} & \lambda u_{12} \\ \lambda u_{21} & \lambda u_{22} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \lambda v_{11} & \lambda v_{12} \\ \lambda v_{21} & \lambda v_{22} \end{bmatrix} = \lambda u+ \lambda v\)

-Axioma M4) \(1u =u\) para todo \(u \in V\).

OBSERVAÇÃO:

  • Existe um único vetor nulo \(\bar{0}\) em \(V\), que é o elemento neutro da adição.

PROVA: Suponhamos que \({0}'\) e \(\bar{0}\) sejam elementos neutros de \(V\), e vamos mostrar que \({0}'+\bar{0}\). De fato, seja \(0^{'} \in V\) tal que \(0^{'}+u=u\) para todo \(u \in V\). Então

\({0}'=\bar{0}+{0}'={0}'+\bar{0}=\bar{0}\)

isto é \({0}'=\bar{0}\), \(\bar{0}\) é chamado de elemento neutro.

  • Para cada elemento \(u \in V\) admite apenas um único simétrico \(−u \in V\) .
PROVA: De novo, suponhamos que algum \(u\) de \(V\) admitisse dois simétricos. Seja \({u}' \in V\) tal que \(u+{u}'=\bar{0}\) então
\({-u}'=\bar{0}+({-u}) \\ =(u+({-u}'))+(-u) \\ =u+(({-u}')+({-u})) \\ = (u+({-u}'))+({-u})\\ =\bar{0}+(-u)=-u \\ \Rightarrow {-u}'=-u\)

Ou seja \({-u}'=-u\), \((-u)'\) é chamado elemento inverso de \(u\).

Exercício Prove que \(\mathbb{R}^{2}\) é um espaço vetorial.As operações consideradas são as usuais, ou seja, aquelas que estamos acostumados a fazer: se \((x_{1}, y_{1})\) e \((x_{2}, y_{2})\) são elementos de \(\mathbb{R}^{2}\), e \(\alpha\) é um número real, \((x_{1}, y_{1})+(x_{2}, y_{2})=(x_{1} +x_{2}, y_{1} + y_{2})\) e \(\alpha(x_{1}, y_{1})= (\alpha x_{1}, \alpha y_{1})\)