Queremos estimar un percentil \(z_p\) que ronde por la cola de la distribución Gumbel (donde suceden los extremos, o sea, queremos el percentil de lo que ya es una cola).
Por ejemplo, esto nos sirve para preguntarnos qué temperatura extrema esperar para una probabilidad de, por ej, 1 en 1000, o sea, \(z_{1-\frac 1 {1000}}\)
Tenemos el estimador de \(z_p\) (al que llamamos \(\hat z_p\)) a partir de estimar los parámetros de la Gumbel: \(\mu\) y \(\sigma\), ya que
\[\Large z_p = \mu - \sigma * \log( -\log(1-p) )\]
o sea, si tenemos \(\mu\) y \(\sigma\) (y \(p\)), ya tenemos \(z_p\)
Como la estimación \(\hat z_p\) depende de las estimaciones \(\hat \mu\) y \(\hat \sigma\), tenemos una expresión que relaciona la varianza del estimador \(\hat z_p\) con la matriz de varianzas-covarianzas de las estimaciones \(\hat \mu\) y \(\hat \sigma\), la cual es
\[\Large Var(\hat z_p) = \nabla{\hat z_p} ^T * V * \nabla{\hat z_p}\]
Donde:
\(\nabla_{\hat z_p}\) es el vector de las derivadas parciales de los estimadores \(\hat \mu\) y \(\hat \sigma\) (con respecto a cada una)
\(V\) la matriz de 2x2 de varianza covarianza de los estimadores de mu y sigma (en la diagonal tiene la varianza de cada, en las otras esquinas la “covarianza cruzada” entre variables \(\mathbb E\left[ (X-\mathbb E[X])(Y- \mathbb E[Y]) \right]\) )
Ya tenemos todo para construir el intervalo de confianza que nos permita no solo tener una estimación del percentil \(z_p\), sino que además, una medida de cuánto puede variar (con cierta probabilidad probabilidad)
Un intervalo de confianza está dado de manera general por:
( valor_puntual_estimado - error , valor_puntual_estimado + error)
En particular, el error de un intervalo de confianza asintótico se puede escribir como
\(\text{error} := s_p * \text{stdv}(\text{estimador})\)
Donde
\(\text{stdv}(\text{estimador})\) es la desviación estándar del estimador, que es la raiz de la varianza del estimador, que es lo que obtubimos arriba al relacionar el gradiente con la matriz VarCovar
\(s_p\) es el percentil de una \(Normal(0,1)\) (que no llamamos z_p en este caso para que no se confunda con el z_p percentil de la distribución Gumbel)
para este percentil \(s_p\), elegimos el alpha del nivel del intervalo:
Para un intervalo de 95% de confianza, \(0.95 = 1 - alpha/2 \implies alpha = 0.025\)
Queremos el valor del eje x de una \(Normal (0,1)\) para el cual queda 0.025 de area a su derecha
De forma que ya podemos armar un intervalo de confianza de nivel 0.95 , que no solo nos dice un valor puntual de la estimación del percentil \(z_p\) de la Gumbel, sino que también nos dice qué tanto podría alejarse de este valor, si exijo una confianza en el resultado de 95%.
Con ésto logramos una interpretación más informativa del resultado, que nos da un rango de valores que podrían suceder si exigimos tal confianza.