Álgebra

O estudo desse tema tem muita aplicação em diversas áreas da ciência, em que seus fenômenos são modelados pela Matemática. Ainda que os métodos de resolução de sistemas de equações lineares possam variar, estudaremos a resolução desses sistemas sob a ótica da Álgebra Matricial.

1.1 Definição

Uma equação linear em $n$ variáveis $x_{1}, x_{2},..., x_{n}$ é uma equação da forma

$a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} +... +a_{n}x_{n}=b$,

em que $a_{1}, a_{2},..., a_{n}$ e $b$ são constantes reais;

Exemplo Uma equação linear $3x_{1}+8x_{2}-6x_{3}-x_{4}=5$.

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto de equações lineares, ou seja, é um conjunto de equções da forma

em que $a_{ij}$ e $b_{k}$ sao constantes reais, para $i,k=1,..., m$ e $j=1,.., n$. Uma solução do sistema acima é uma $n$-upla de números $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ que satisfaça simultaneamente estas $m$ equações.

Usando produto de matrizes, já definido anteriormente, podemos escrever a sistema linear anterior da sequinte forma:

$AX=B$

em que

A matriz $A$ é chamada de matriz de coeficientes do sistema, $X$ é a matriz de incógnitas e $B$ é a matriz de termos independentes do sistema linear.

1.1 Solução de um sistema linear

Uma solução para o sistema linear $AX = B$ descrito anteriormente, é uma matriz

tal que as equações do sistema são satisfeitas quando substituímos $x_{1}=s_{1},x_{2}=s_{2},...,x_{n}=s_{n}$. O conjunto de todas as soluções do sistema é chamado de conjunto solução ou solução geral do sistema.

Exemplo O sistema linear de duas equações e duas incógnitas

pode ser escrito como

A solução (geral) do sistema acima é $x=-1/3$ e $y=2/3$ (verifique!) ou $X=\begin{bmatrix} -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\end{bmatrix}$.

1.1 Sistemas equivalentes

Uma forma de resolver um sistema linear é obter um outro sistema mais simples semelhante ao sistema inicial que tenha o mesmo conjunto solução do primeiro. Esse O outro sistema é obtido depois de aplicar sucessivamente as chamadas operações elementares, que nao alteram a solução do sistema, são elas:

- Trocar a posição de duas equações do sistema;

- Multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero;

- Somar a uma equação outra equação multiplicada por um escalar.

Quando aplicamos essas operações somente os coeficientes do sistema são alterados, assim podemos aplicar as operações sobre a maytriz de coeficientes do sistemas, que chamamos de matriz aumentada, ou seja,

Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto solução são chamados sistemas equivalentes.

1.1 Classificação de um sistema linear

$\Rightarrow \text{Possível ou compatível:}\left\{\begin{matrix} - \text{determinado(única solução)}\\ - \text{indeterminado (infinitas soluções)} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \text{Impossível ou incompatível:} \begin{matrix} - \text{quando não admite soluções}\\ \end{matrix}$

Apresentaremos mais alguns métodos de resolução de sistemas lineares que levam em consideração a álgebra matricial. É importante frisar que existem outros métodos, mas que não serão abordados neste material.

1.1 Regra de Cramer Solução de um sistema linear

A Regra de Cramer é um método que utiliza-se do cálculo de determinantes para a resolução do sistema linear. Consideremos o seguinte sistema:

O determinante da matriz A do sistema é dado por

Se substituirmos os valores dos coeficientes independentes $b_{1}, $b_{2}$, $b_{3}$ em cada uma das colunas das variáveis (cada uma a sua vez) obteremos outras matrizes, as quais definimos seu determinante como:

Pela Regra de Cramer, a solução do sistema é dada por

$x=\frac{D_{x}}{D},y=\frac{D_{y}}{D},z=\frac{D_{z}}{D}$: Exemplo Deteminar a solução do seguinte sistema linear pela Regra de Cramer:

1.1 Método de Gauss- Jordan

Este método consiste na aplicação de operações elementares às linhas da matriz aumentada do sistema até obter outra matriz na forma escalonada (seja na forma reduzida ou não).

Exemplo Consideremos o seguinte sistema

Defnição Uma matriz $A=[a_{ij}]_{m\text{×}n}$ está na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condições:

(i) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas;

(ii) O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula, chamado pivô, é igual a $1$;

(iii) O pivô da linha $i+1$ ocorre à direita do pivô da linha $i$, para $i= 1,2,...,m-1$;

(iv) Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos são iguais a zero.

Se uma matriz satisfaz as condições (i) e (iii), mas não necessariamente as outras, dizemos que ela está na forma escalonada.

Exemplo As matrizes

são escalonadas reduzidas, enquanto que

são escalonadas, mas não são reduzidas.

Exemplo Criar um

1.1 Sistemas Lineares Homogêneos

Um sistema linear da forma

é chamado de sistema homogêneo. O sistema acima pode ser escrito como $AX =\bar{0}$. Todo sistema homogêneo admite pelo menos uma solução, a chamada de solução trivial, que é

COntudo, todo sistema homogêneo tem solução. Além disso ou tem somente a solução trivial ou tem infinitas soluções.

Teorema Todo sistema homogêneo com menos equações do que incógnitas ($m<n$) tem infinitas soluções.

1.1 Método da matriz inversa

Esse método presume a existência da matriz inversa de $A$, que é a matriz do sistema. Sendo assim, consideremos um sistema linear escrito em sua forma matricial resumida: $AX=B$

Pré-multiplicando ambos os membros da igualdade pela inversa de $A$, tem-se:

Sendo assim, da equação acima, a solução do sistema é bastante simples: basta multiplicar a matriz inversa $A^{-1}$ da matriz $A$ dos coeficientes das variáveis pela matriz-coluna dos termos independentes, porém, esse método pode não se apresentar muito prático quando já não se tem a matriz inversa. Encontrá-la pode ser mais trabalhoso do que escalonar a matriz A do sistema.