1 INVERSÃO DE MATRIZES

1.1 Definição

Todo numero real \(a\), não nulo, possui um inverso (multiplicativo), isto é, existe um numero \(b\), tal que \(ab=ba=1\), este número é único e o denotamos por \(a^{-1}\). Em algebra matricial é semelhante à álgebra dos números reais, porém nem todas as matrizes não nulas possuem inversa, ou seja, nem sempre existe uma matriz \(B\) tal que \(AB=BA=I\). De imediato, estudaremos que apenas matrizes quadradas possuem inversas.

DEFINIÇÃO Uma matriz quadrada \(A=[a_{ij}]_{n\text{x}n}\) é invertível ou não singular, se existe uma matriz \(B=[b_{ij}]_{n\text{x}n}\) tal que

\(AB=BA=I\);

em que \(I_{n}\) é a matriz quadrada identidade, a matriz \(B\) é chamada de inversa de \(A\). Se \(A\) não tem inversa, dizemos que \(A\) é singular ou não invertível.

Exercício: Verifique se a matriz \(A=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}\) é invertível.

TEOREMA 1: Se uma matriz \(A=[a_{ij}]_{n\text{x}n}\) possui inversa, então a inversa é única.

Demonstração:

PROPRIEDADES

a) Se \(A\) é invertível, então \(A^{-1}\) também o é e \((A^{-1})^{-1}=A\).

b) Se \(A=[a_{ij}]_{n\text{x}n}\) e \(B=[b_{ij}]_{n\text{x}n}\) são matrizes invertíveis, então \(AB\) é invertível e \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).

c) Se \(A=[a_{ij}]_{n\text{x}n}\) é invertível, então \(A^{t}\) também é invertível e \((A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}\).

d) A matriz \(A\) é invertível se, e somente se, \(det(A)\neq 0\).

Exercício: Demonstre as propriedades acima.

1.1 MÉTODO DE INVERSÃO DE MATRIZ

Se uma matriz \(A=[a_{ij}]_{n\text{x}n}\) pode ser reduzida à matriz identidade, por uma sequência de operações elementares com linhas, então \(A\) é invertível e a matriz inversa de \(A\) é obtida a partir da matriz identidade, aplicando-se as operações elementares de uma matriz, que são:

i) Multiplicar uma linha da matriz por uma constante \(\lambda\) diferente de zero.

ii) Somar a uma linha uma combinação das outras.

iii) Permutar duas linhas da matriz.

EXEMPLO Vamos, encontrar, se existir, a inversa de \(A=\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 1 &1 &2 \\ 0 &1 &2 \end{bmatrix}\)

Para isso devemos escalonar a matriz aumentada

Realizando operações elementares, temos:

Assim, a matriz \([A|I_{3}]\) é equivalente por linhas à matriz acima, que é da forma \([I_{3}|S]\), portanto a matriz \(A\) é invertível e sua inversa é a matriz \(S\).

Teorema 2. Uma matriz \(A=[a_{ij}]_{n\text{x}n}\) é invertível se, e somente se, \(A\) é equivalente por linhas à matriz identidade \(I_{n}\).