1 DETERMINANTES

1.1 Definição e representação

Se uma matriz é quadrada, então a ela podemos associar um número denominado determinante. O determinante de uma matriz quadrada \(A\) é denotado como \(det\) \((A)\) ou \(|A|\).

Inicialmente determinaremos o determinante de matrizes \(1\)×\(1\) e \(2\)×\(2\):

a) Se \(A=[a]\Rightarrow det\quad (A)=|a|\Rightarrow a\)

b) Se \(A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\Rightarrow det\quad (A)=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \Rightarrow a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)

Para a defnição de determinantes de matrizes quadradas de ordem maior, definiremos, antes, os conceitos de Menor de uma matriz e Cofator de uma matriz.

Dada uma matriz \(A=[a_{ij}]_{n \text{x} n}\), o menor do elemento \(a_{ij}\) denotado por \(\widetilde{A}_{ij}\) é a submatriz \((n − 1)\) × \((n − 1)\) de \(A\) obtida eliminando-se a \(i\)-ésima linha e a \(j\)-ésima coluna de \(A\).

Para uma matriz \(A=[a_{ij}]_{3 \text{x} 3}\),

O cofator do elemento \(a_{ij}\), denotado por \(A_{ij}\), é definido por \(A_{ij}=(−1)^{i+j}det(\widetilde{A}_{ij})\).Essa denição, implica em considerarmos as matrizes com o seguinte jogo de sinais:

Exemplo 1: Para uma matriz \(A=[a_{ij}]_{3 \text{x} 3}\),

Construído este raciocínio, defniremos agora o determinante de uma matriz \(3\)×\(3\). Se

então, o determinante de \(A\) é igual à soma dos produtos dos elementos da 1ª linha pelos seus cofatores, ou seja,

Da mesma forma que a partir do determinante de matrizes \(2\)×\(2\), definimos o determinante de matrizes \(3\)×\(3\), podemos definir o determinante de matrizes quadradas de ordem maior.

DEFINIÇÃO 1: Seja \(A=[a_{ij}]_{n\text{x}n}\), o determinante de \(A\), detonado por \(det(A)\), é defnido por

A expressão anterior é chamada de desenvolvimento em cofatores do determinante de \(A\) em termos da 1ª linha.

Propriedades::

i) Se Multiplicar uma linha da matriz por uma constante \(\lambda\) o determinante fica multiplicado por \(\lambda\).

ii) Somando a uma linha uma combinação das outras, o determinante não se altera.

iii) Se permutar duas linhas da matriz, troca o sinal do determinante.

iv) O determinante de uma matriz \(A\) é igual ao da sua transporta, ou seja, \(det(A) = det(A^{T})\).

v) O determinante é zero se e somente se, as linhas são iguais (ainda que cada elemento seja múltiplo do seu correspondente).(OBS: Diremos mais adiante que as linhas são linearmente dependentes (L.D.)).

vi) \(det(AB) = det(A)det(B)\)

Observação

1- As operações citadas nas três primeiras propriedades são bastante conhecidas na Álgebra Matricial como operações elementares sobre as linhas e dá base para os processos de escalonamento.

2- A propriedade v) remete ao fato de que sempre que uma linha ou uma coluna for formada somente por \(0\) então o determinante será igual a \(0\).

3-O determinante de uma matriz triangular superior/inferior é o produto dos elementos da diagonal principal.

4- Se \(det(A)=k\) então \(det(A^{n})=k^{n}\)

5- Se \(det(A)=k\) então \(det(A^{-1})=\frac{1}{k}\)