Matching Problems
- 매칭 문제에서 관찰한 값들을 data frame 으로 저장.
options(digits=3)
n.matching<-c(0,1,2,4)
o.matching<-c(22,12,15,1)
p.matching<-c(9,8,6,1)/24
matching<-data.frame(n.matching, o.matching, p.matching)
matching
## n.matching o.matching p.matching
## 1 0 22 0.3750
## 2 1 12 0.3333
## 3 2 15 0.2500
## 4 4 1 0.0417
- 표본평균을 계산하여 \(1\pm 1/\sqrt{50}\) 에 들어가는 지 확인.
mean.matching<-sum(n.matching*o.matching/sum(o.matching))
mean.matching
## [1] 0.92
- p.matching 으로 계산한 확률모델에 부합하는지 적합도 검정 수행. 각종 검정통계량 확인. warning() 이 나온 이유가 무엇인지 함께 산출된 통계값들을 근거로 파악.
chisq.test.matching<-chisq.test(x=o.matching,p=p.matching)
## Warning in chisq.test(x = o.matching, p = p.matching): Chi-squared
## approximation may be incorrect
chisq.test.matching
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: o.matching
## X-squared = 2.93, df = 3, p-value = 0.402
chisq.test.matching$statistic
## X-squared
## 2.93
chisq.test.matching$parameter
## df
## 3
chisq.test.matching$p.value
## [1] 0.402
chisq.test.matching$method
## [1] "Chi-squared test for given probabilities"
chisq.test.matching$data.name
## [1] "o.matching"
chisq.test.matching$observed
## [1] 22 12 15 1
chisq.test.matching$expected
## [1] 18.75 16.67 12.50 2.08
chisq.test.matching$residuals
## [1] 0.751 -1.143 0.707 -0.751
chisq.test.matching$stdres
## [1] 0.949 -1.400 0.816 -0.767
- 검정통계량을 계산하고, p-value를 찾는 과정을 단계별로 살펴보자.
sum(o.matching)
## [1] 50
e.matching<-50*p.matching
e.matching
## [1] 18.75 16.67 12.50 2.08
(o.matching-e.matching)**2/e.matching
## [1] 0.563 1.307 0.500 0.563
sum((o.matching-e.matching)**2/e.matching)
## [1] 2.93
chisq.matching<-sum((o.matching-e.matching)**2/e.matching)
chisq.matching
## [1] 2.93
p.value<-1-pchisq(chisq.matching, df=3)
p.value
## [1] 0.402
- warnings()가 나온 이유는 기대돗수가 5보다 작은 값들이 나왔기 때문이므로 matching이 2와 4인 경우를 합하여 카이제곱 적합도 검증을 다시 수행할 필요. 그 과정은 다음과 같음. 우선 매칭 자료를 하나의 data frame 으로 구성하고 구조 파악. n.matching은 수치로서의 의미도 있으나 적합도 검정에서는 구분의 역할만 하므로 나중에 factor로 재구조화.
matching<-data.frame(n.matching=n.matching, o.matching=o.matching, p.matching=p.matching)
matching
## n.matching o.matching p.matching
## 1 0 22 0.3750
## 2 1 12 0.3333
## 3 2 15 0.2500
## 4 4 1 0.0417
str(matching)
## 'data.frame': 4 obs. of 3 variables:
## $ n.matching: num 0 1 2 4
## $ o.matching: num 22 12 15 1
## $ p.matching: num 0.375 0.3333 0.25 0.0417
matching.2<-matching
matching.2
## n.matching o.matching p.matching
## 1 0 22 0.3750
## 2 1 12 0.3333
## 3 2 15 0.2500
## 4 4 1 0.0417
matching.2[5,]<-matching.2[3,]+matching.2[4,]
matching.2
## n.matching o.matching p.matching
## 1 0 22 0.3750
## 2 1 12 0.3333
## 3 2 15 0.2500
## 4 4 1 0.0417
## 5 6 16 0.2917
matching.2<-matching.2[-(3:4),]
matching.2
## n.matching o.matching p.matching
## 1 0 22 0.375
## 2 1 12 0.333
## 5 6 16 0.292
matching.2$n.matching<-factor(matching.2$n.matching, levels=c(0,1,6),labels=c("0","1","2 or 4"))
chisq.test(x=matching.2$o.matching,p=matching.2$p.matching)
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: matching.2$o.matching
## X-squared = 2.01, df = 2, p-value = 0.3665
- 셀병합을 하지 않고 p-value를 구하는 방법은 붓스트랩을 활용하는 것으로 simulate.p.value=T, B=2000 등을 지정하는 것임. 이러한 방식으로 p-value를 구하는 것이 frequentist 관점에 보다 부합함. 이 작업은 반복할 때 마다 값이 달라질 수 밖에 없음. 그럼에도 불구하고 당초 카이제곱 분포로 근사한 값과 거의 같은 값을 얻게 됨에 유의.
chisq.matching.B<-chisq.test(x=o.matching, p=p.matching, simulate.p.value=T, B=2000)
chisq.matching.B
##
## Chi-squared test for given probabilities with simulated p-value
## (based on 2000 replicates)
##
## data: o.matching
## X-squared = 2.93, df = NA, p-value = 0.4013
One Sample Test
- 당첨번호들이 공평하게 나왔다면 0에서 999사이의 어느 번호나 랜덤하게 나올 수 있으므로 모평균이 \(\frac{0+999}{2}=499.5\), 표준편차는 \(\sqrt{\frac{(999-0)^2}{12}}\approx288\) 인 모집단에서 254회 복원추출한 표본으로 생각할 수 있음. 모평균 \(\mu=499.5\)를 t.test로 검정하여보면? (표본의 표준편차는 모집단의 표준편차와 거의 비슷.) 모집단이 정규분포와는 판이하게 다름에도 불구하고 t.test를 수행할 수 있는 배경은?
lottery.t.test<-t.test(lottery.number, mu=499.5)
lottery.t.test$statistic
## t
## -1.48
lottery.t.test$method
## [1] "One Sample t-test"
- 실제로 t 값을 구하는 과정을 R로 살펴보자.
mean.number<-mean(lottery$lottery.number)
sd.number<-sd(lottery$lottery.number)
lottery.t<-(mean.number-499.5)/(sd.number/sqrt(254))
lottery.t
## [1] -1.48
pt(lottery.t, df=253)*2
## [1] 0.141
pnorm(lottery.t)*2
## [1] 0.14
카이제곱 적합도 검정
- lottery.number 의 분포를 살피기 위하여 히스토그램 작성
h10<-hist(lottery.number)
- 각 계급에 관찰된 당첨번호의 갯수를 파악하기 위하여 h10$counts 출력
h10$counts
## [1] 26 32 33 22 29 21 23 20 21 27
- 당첨번호의 갯수가 uniform 하게 추출된 것으로 보아도 무방한지 \(\chi^2\) 테스트 수행. 왜 다른 argument들을 설정하지 않아도 되는지 help 파일로 확인하고, 이어서 계산되는 값들 중에서 기대돗수 확인.
chisq.test(h10$counts)
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: h10$counts
## X-squared = 7.97, df = 9, p-value = 0.5373
chisq.test(h10$counts)$expected
## [1] 25.4 25.4 25.4 25.4 25.4 25.4 25.4 25.4 25.4 25.4
- 계급의 갯수를 바꿔가면서 테스트, breaks로 조정하는 이유에 대하여 생각해 볼 것.
opar<-par(no.readonly=TRUE)
par(mfrow=c(2,4))
h9<-hist(lottery.number, breaks=seq(0,999, by=111))
h8<-hist(lottery.number, breaks=seq(0,1000, by=125))
h7<-hist(lottery.number, breaks=seq(0,1001, by=143))
h6<-hist(lottery.number, breaks=seq(0,1002, by=167))
h5<-hist(lottery.number, breaks=seq(0,1000, by=200))
h4<-hist(lottery.number, breaks=seq(0,1000, by=250))
h3<-hist(lottery.number, breaks=seq(0,999, by=333))
h2<-hist(lottery.number, breaks=seq(0,1000, by=500))
- 각각의 count 통계량에 대하여 uniformity 적합도 검정을 하기 위하여 다음 수행. 같은 작업을 sapply()로 수행하면 어떤 결과가 나오는지 비교하시오.
lapply(list(h9$counts, h8$counts, h7$counts, h6$counts, h5$counts, h4$counts, h3$counts, h2$counts), chisq.test)
## [[1]]
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[1L]]
## X-squared = 9.76, df = 8, p-value = 0.282
##
##
## [[2]]
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[2L]]
## X-squared = 4.52, df = 7, p-value = 0.7183
##
##
## [[3]]
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[3L]]
## X-squared = 5.55, df = 6, p-value = 0.4753
##
##
## [[4]]
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[4L]]
## X-squared = 5.28, df = 5, p-value = 0.3832
##
##
## [[5]]
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[5L]]
## X-squared = 2.73, df = 4, p-value = 0.6036
##
##
## [[6]]
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[6L]]
## X-squared = 3.95, df = 3, p-value = 0.2666
##
##
## [[7]]
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[7L]]
## X-squared = 3.65, df = 2, p-value = 0.1616
##
##
## [[8]]
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[8L]]
## X-squared = 3.54, df = 1, p-value = 0.05979
- 위의 결과와 아래의 결과를 비교하여 어떤 것이 더 보기에 나은지 비교하시오.
lapply(list(h9=h9$counts, h8=h8$counts, h7=h7$counts, h6=h6$counts, h5=h5$counts, h4=h4$counts, h3=h3$counts, h2=h2$counts), chisq.test)
## $h9
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[1L]]
## X-squared = 9.76, df = 8, p-value = 0.282
##
##
## $h8
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[2L]]
## X-squared = 4.52, df = 7, p-value = 0.7183
##
##
## $h7
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[3L]]
## X-squared = 5.55, df = 6, p-value = 0.4753
##
##
## $h6
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[4L]]
## X-squared = 5.28, df = 5, p-value = 0.3832
##
##
## $h5
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[5L]]
## X-squared = 2.73, df = 4, p-value = 0.6036
##
##
## $h4
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[6L]]
## X-squared = 3.95, df = 3, p-value = 0.2666
##
##
## $h3
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[7L]]
## X-squared = 3.65, df = 2, p-value = 0.1616
##
##
## $h2
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: X[[8L]]
## X-squared = 3.54, df = 1, p-value = 0.05979
detach()