Introdução

Esta nota técnica apresenta o cálculo da área de uma distribuição normal através da integração dessa função. Como será mostrado, diversos casos de integrais definidas serão calculados, de modo a usar a soma de retângulos para encontrar tal valor.

Definindo a função da soma de retângulos.

Temos que a área de um retângulo é dada pela multiplicação de sua base por sua altura. Definindo n retângulos com bases iguais, a soma de suas áreas será dada por base*(soma das alturas). Com base nisso, a rotina seguinte é oportuna para se chegar ao resultado.

Distnormalint<- function (a,b,mu,sigma,n){
    x<-seq(a,b,length.out=n)
    z<-(x-mu)/sigma
    area<-(b-a)/n*(1/(sqrt(2*pi)*sigma))*exp(-0.5*(z^2))
    int<-sum(area)
    int
}

Calculando para as integrais definidas diferentes

Com o intuito de mostrar o desempenho dessa função em diferentes situações, vários casos serão mostrados. Considerando a=35 e b=72

Distnormalint(35,72,100,30,20000)
## [1] 0.1601949

É oportuno, também, realizar a comparação das pnorms dos dois pontos especificados, de modo a mostrar que a integral é, de fato, uma boa aproximação da área da distribuição normal.

pnorm(72,100,30)-pnorm(35,100,30)
## [1] 0.1601938

Se trocarmos os pontos a e b por menos infinito e 10, respectivamente, teremos situação similar, conforme mostrado a seguir.

Distnormalint(-100000000,10,100,30,100000000)
## [1] 0.001424993
pnorm(10,100,30)-pnorm(-100000000,100,30)
## [1] 0.001349898

E, por fim, ao alterarmos a e b por 200 e infinito, novamente, notaremos as mesmas características das anteriores, comprovando a boa aproximação que a soma dos retângulos apresenta para cálculo de área.

Distnormalint(200,100000000,100,30,100000000)
## [1] 0.0004552409
pnorm(100000000,100,30)-pnorm(200,100,30)
## [1] 0.0004290603