Cálculo da integral

Exercício: faça uma nota técnica usando o R Markdown, carregada no R Pubs, mostrando como calcular a integral de uma distribuição Normal(mu, sigma), através de uma função integra(a,b,mu,sigma, n) definida por vc no R, que possibilite a obtenção da integral definida que entre dois pontos a e b quaisquer, de uma distribuição Normal com esperança matemática mu e desvio padrão sigma, usando o método geométrico por soma de retângulos (n representa o número de retângulos na aproximação). Mostre o desempenho dessa função, comparando com o resultado obtido pelo uso da função pnorm do R, mostrado em classe, para casos diferentes, considerando uma Normal(mu=100,sigma=30), com avaliação de área nos pontos (a=35,b=72) , (a=-infinito,b=10) , (a=200,b=infinito). Quais seriam os valores mínimos de n requeridos para que a aproximação seja próxima dos valores obtidos por pnorm em cada caso, para garantir pelo menos 4 decimais corretas nos resultados.

Para encontrar a área da distribuição normal basta integrar tal função. Mas a integração pode ser substituida por um processo que consiste em somar inúmeros retângulos abaixo da função normal. Como na imagem abaixo

Para calcular tal área, será necessário conhecer a área de cada retângulo, que pode ser descrita como:

A= base*altura Em que base= (xf-xi)n altura= (f(xf))

Como estamos interessados no somatório da área desses retângulos:

Somatório (ni) =f(xf+ base i)base

integral_distribuiçãonormal<- function (a,b,mu,sigma,n){
    x<-seq(a,b,length.out=n)
    z<-(x-mu)/sigma
    area<-(b-a)/n*(1/(sqrt(2*pi)*sigma))*exp(-0.5*(z^2))
    int<-sum(area)
    int
}

Sendo a=35 e b=72

integral_distribuiçãonormal(35,72,100,30,20000)

## [1] 0.1601949

pnorm(72,100,30,T)-pnorm(35,100,30,T) #Fazendo a comparação com a Pnorm

## [1] 0.1601938

Sendo a=-infinito e b=10

integral_distribuiçãonormal(-100000000,10,100,30,100000000)

## [1] 0.001424993

pnorm(10,100,30,T)-pnorm(-100000000,100,30,T) #Fazendo a comparação com a Pnorm

## [1] 0.001349898

Sendo a=200 e b=infinito

integral_distribuiçãonormal(200,100000000,100,30,100000000)

## [1] 0.0004552409

pnorm(100000000,100,30,T)-pnorm(200,100,30,T) #Fazendo a comparação com a Pnorm

## [1] 0.0004290603