1 Matrizes

1.1 Definição e representação

Chamamos de Matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. A tabela de resfriamento do ar, a seguir, mostra como uma combinação de temperatura do ar e velocidade do vento faz uma pessoa sentir mais frio do que a temperatura real. Por exemplo, quando a temperatura é de \(10°C\) e o vento está a \(15\) km/h, isto provoca uma perda de calor pelo corpo igual a quando a temperatura está a \(– 18°C\) sem vento.

Esta tabela pode ser representada pela matriz

DEFINIÇÃO 1.1: Uma matriz A, mxn (m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas. Dizemos que \(a_{ij}\) é o elemento ou entrada de posição i,j da matriz \(A\). Temos então \(A=[a_{ij}]\)

Exercício:

1.1 Tipos de matrizes

a)- MATRIZ QUADRADA: Quando o número de linhas é igual ao número de colunas \((m=n)\).

b)- MATRIZ RETANGULAR: Quando o número de linhas é diferente do número de colunas \((m \neq n)\).

c)- MATRIZ NULA: Quando \(a_{ij}=0 \quad \forall \quad i \quad \text{e} \quad j\).

d)- MATRIZ-COLUNA: Quando possui uma única coluna \((n=1)\).

e)- MATRIZ-LINHA: Quando possui uma única linha \((m=1)\).

f)- MATRIZ DIAGONAL: é uma matriz quadrada \((m=n)\) onde \(a_{ij}=0\), para \(i\neq j\).

g)- MATRIZ IDENTIDADE: é quando \(a_{ij}=1\) e \(a_{ij}=0\), para \(i\neq j\)

h)- MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: é uma matriz quadrada em que \(a_{ij}=0\), para \(i>j\)

i)- MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: é uma matriz quadrada em que \(a_{ij}=0\), para \(<j\)

j)- MATRIZ SIMÉTRICA: é quando \(m=n\) e \(a_{ij}= a_{ji}\)

OBSERVAÇÃO:

a) Matrizes-coluna e matrizes-linhas são chamadas de vetores.

b) Duas matrizes são iguais se elas têm o mesmo tamanho e os elementos correspondentes são iguais, ou seja, \(A=[a_{ij}]_{m\text{x}n}\) e \(B=[b_{ij}]_{p\text{x}q}\) são iguais se \(m=p\), \(n=p\) e \(a_{ij}=b_{ij}\) para \(i=1,2,...,m\) e \(j=1,2,...n\).

Exercício: Crie exemplos de matrizes para cada tipo de matriz visto anteriormente.

1.1 Operações de matrizes

Consideremos as seguintes tabelas da produção de grãos de dois anos consecutivos

1.1 Adição de Matrizes

Sejam \(A=[a_{ij}] _{m\text{x}n}\) e \(B=[b_{ij}]_{m\text{x}n}\), a soma é definida como sendo a matriz \(m\)x\(n\), \(C=A+B\), ou seja, \(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\), para \(i=1,2,...,m\) e \(j=1,2,...,n\).

Exemplo:

Exercício: Qual é a produção de grãos por produto e por região dos dois anos?

1.1 PROPRIEDADES:

Dadas as matrizes A,B e C de mesma ordem \(m\)x\(n\), temos:

i) \(A+B=B+A\) (Comutatividade)

ii) \(A+(B+C)=(A+B)+C\) (Associatividade)

iii) \(A+0=0+A=A\) (Existência de elemento neutro)

iv) \(-A+A=A-A=0\) (Existência de elemento simétrico)

1.1 Multiplicação por um escalar

Seja \(\alpha\) um escalar (número), o produto de uma matriz \(A=[a_{ij}]_{m\text{x}n}\) por este escalar é definida pela matriz \(m\)x\(n\)

\(B=\alpha A\)

obtida multiplicando-se cada elemento da matriz \(A\) pelo escalar \(\alpha\), ou seja,

\(b_{ij}=\alpha a_{ij}\),

para \(i = 1,..., m\) e \(j = 1,...,n\).

Exemplo: O produto da matriz \(A=\begin{bmatrix}-2 & 1\\ 0 & 3\\ 5 & -4\end{bmatrix}\) pelo escalar \(-3\) é dado por

OBSERVAÇÃO: Se \(A=[a_{ij}]_{m\text{x}n}\) e \(B=[b_{ij}]_{m\text{x}n}\), escrevemos \(A +(-1)B\) como \(A- B\) e chamamos isto de DIFERENÇA de \(A\) e \(B\).

Exercício: Qual a produção do terceiro ano sabendo que ela é o triplo do primeiro e qual é adiferença na produção por produto e por região de um ano para o outro?

1.1 PROPRIEDADES:

Dadas as matrizes \(A\) e \(B\) de mesma ordem \(m\)x\(n\) e números \(\alpha\), \(\mu\) e \(\lambda\), temos:

i) \(\alpha(A+B)=\alpha A+ \alpha B\)

ii) \((\mu+ \lambda)A= \mu A+ \lambda A\)

iii) \(\mu(\lambda A)=(\mu \lambda)A\)

iv) \(0 A=0\)

v) \(1A=A\)

1.1 Matriz transposta

Dada uma matriz \(A=[a_{ij}]_{m\text{x}n}\), podemos obter uma outra matriz permutando as linhas pelas colunas de mesmo índice, isto é, \(A^{t}=[b_{ij}]_{n\text{x}m}\) em que \(b_{ij}=a_{ji}\), \(A^{t}\) é a transposta de \(A\). A notação \(A^{'}\) também é utilizada para matriz transposta.

PROPRIEDADES:

i) \((A^{t})^{t}=A\)

ii) \((A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\)

iii) \((\alpha A)^{t}= \alpha A^{t}\), em que \(\alpha\) é um escalar.

iv) Uma matriz é simétrica, se e somente se, ela é igual à sua transposta, isto é \(A=A^{t}\)

v) Uma matriz é dita anti-simétrica se \(A^{t}=-A\)

1.1 Multiplicação de matrizes

O produto de duas matrizes, tais que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda, \(A=[a_{ij}]_{m \text{×}p}\) e \(B=[b_{ij}]_{p \text{×}n}\) e definido pela matriz \(m\)×\(n\).

\(C = AB\),

obtida da seguinte forma:

\(c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+ a_{i2}b_{2j} + . . . + a_{ip}b_{pj}\)

para \(i = 1, . . . , m\) e \(j = 1, . . . , n\). De maneira compacta usando a notação de somatório podemos escrever também

\(c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}\)

No esquema abaixo temos \(AB=C\)

OBSERVAÇÃO:

Observe que o produto de \(A\) e \(B\) é definido apenas quando número de linhas de \(B\) é exatamente igual ao número de colunas de \(A\), como indica o próximo esquema:

Exemplo: Considere as matrizes \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & -3\\ 3 & 4 & 0\end{bmatrix}\), \(B=\begin{bmatrix} -2 & 1 &0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 5 & -4 & 0 \end{bmatrix}\).

Seja \(C\) o produto de \(AB\), então

Observação

No exemplo anterior o produto \(BA\) não é possível realizar (por que?). Entretanto, mesmo quando a multiplicação estiver definida, \(BA\) pode não ser igual a \(AB\), ou seja, o produto de matrizes não é comutativo.

1.1 PROPRIEDADES:

i) \(AI=IA=A\)

ii)\(A(B+C)=AB+AC\)

iii) \((A+B)C=AC+BC\)

iv) \((AB)C=A(BC)\)

v) \(0.A=0\) e \(A.0=0\)

vi) \((AB)^{t}=B^{t}A^{t}\)

Demonstração da propriedade \((AB)^{t}=B^{t}A^{t}\):

1.1 Potência de uma matriz

Em decorrência das propriedades da multiplicação de matrizes, uma matriz quadrada \(A\) pode ser multiplicada por si mesma \(k\) vezes. Indicamos esse processo por \(A^{k}\) e o chamamos de potência de matriz.