TRABAJO FINAL: ANÁLISIS Y GESTIÓN DEL RIESGO

KELLY LOZANO NAVARRO

2020-08-17

Pregunta N°1

La madures (T) en años y precios en dólares de bonos cupon cero se encuentran en el archivo ZeroPrices. Los precios están expresados en porcentajes del par value. El modelo Nelson-Siegel con tasa de forward es:

$r(T;θ_1;θ_2;θ_3;θ_4)=θ_1+(θ_2+θ_3T)exp(−θ_4T)$

¿Cuáles son sus estimaciones para θ1,θ2,θ3 y θ4?

Se trabajará con un conjunto de datos, donde se rescatarán los precios y los vencimientos de los bono cupón cero, es decir, pagan el valor nominal al vencimiento.

zero_prices = read.table("C:/Users/DELL/Desktop/uni 2020/RIESGOS/data/ZeroPrices.txt",header=TRUE)

attach(zero_prices)

Para resolver esta parte de la pregunta, empezaremos con establecer valores iniciales a los tethas: $θ_1=0.01$, $θ_2=0.025$, $θ_3=0.01$, $θ_4=0.075$. Cabe mencionar que los valores pueden ser cualquiera, siempre y cuando se encuentren entre 0 y 1; por ende son aleatorios.

start = c(0.01,0.025,0.01,0.075)

Luego procedemos a plantear una función para obtener los valores de los parámetros tethas, mediante mínimos cuadrados.

NSYield = function(theta)
{theta[1] + (theta[2] + theta[3]/theta[4]) *
(1 - exp(-theta[4]*T))/(theta[4]*T)-
(theta[3]/theta[4])*exp(-theta[4]*T)}
attach(zero_prices)

## The following objects are masked from zero_prices (pos = 3):
## 
##     maturity, price

T = maturity
SS = function(theta) sum((price-100*exp(-T*NSYield(theta)))^2)
fitnls = optim(start,SS)
thetahat = fitnls$par
round(thetahat,4)

## [1] 0.0176 0.0416 0.0023 0.0696

Con lo cual se obtiene las siguientes estimaciones:

$θ_1= 0.0176$	$θ_2= 0.0416$
$θ_3= 0.0023$	$θ_4= 0.0696$

Grafique la curva de rendimientos empírica y la curva de rendimientos estimada en una misma figura.

Ahora, la continuación del código R anterior, define una función para calcular el tipo de interés a plazo y traza el tipo de cambio a plazo y la curva de rendimiento:

NSForward = function(theta){
theta[1] + (theta[2] + theta[3]*T) * exp(-theta[4]*T)
}
plot(T,NSForward(thetahat),type="l",ylab="Rate",xlab="Maturity",lwd=2)
lines(T,NSYield(thetahat),lty=2,lwd=2,col="red")
legend("topright",c("Tasa Forward","Rendimiento"),lty=c(1,2),
lwd=2,col=c("black","red"))

A modo de verificación de que los cálculos son correctos, el siguiente código grafica los precios y los precios estimados:

plot(maturity,price)
lines(T,100*exp(-T*NSYield(fitnls$par)),col="red",lwd=2 )
legend("topright",c("Precio","Precio Estimado"),lty=c(NA,1),
pch=c("o",NA),col=c("black","red"),lwd=2)

Vemos que los precios se predicen con mucha exactitud por el Modelo Nelson-Siegel.

Pregunta N°2

Un bono cupón cero con valor nominal $1000 y madures a 5 años se vende a $828. Asuma que existe una tasa forward r de capitalización continua y constante.

Determine el valor de r

La fórmula general del bono es:

$P_b=\frac{VF}{(1+r)^n}$

vf= 1000
p= 828
r= (log(vf/p))/5
r*100

## [1] 3.774842

El valor de r es 3.7748442%.

Suponga que en 1 año la tasa r cambia a 4.25 %. ¿Cuál es el precio del bono?

cupon_cero=function(T,r){
  price = 1000*exp(-T*r)
}
T=4
r=0.0425
options(digits = 5)
precio_bono=cupon_cero(T,r)
precio_bono

## [1] 843.66

El precio del bono sería $843.66.

Si compró el bono a $828 y lo vendió 1 año después al precio determinado en (b). Determine el retorno neto.

diff=precio_bono-828
diff

## [1] 15.665

retorno_neto=diff/828
retorno_neto*100

## [1] 1.8919

El retorno neto sería 1.8919%.

Pregunta N°3

Suponga que la tasa forward es: $r(t)=0,028+0,00042t$

Cuál es el rendimiento al vencimiento de un bono a 20 años.

El rendimiento al vencimiento de un bono cupón cero con fecha de vencimiento T es definido para ser:

$y_t=\frac{1}{T}\int\limits_0^T r(t)dt$

rendimiento=function(x,m,t){
  r=x+m*(t/2)
  r
}
x = 0.028
m = 0.00042
t = 20
yield=rendimiento(x,m,t)
yield*100

## [1] 3.22

El YTM es 3.22%.

Cuál es el precio de un bono cupón cero con valor nominal $1000 y madures a 15 años.

precio_bono=function(t,y,z){
  price=1000*exp(-((15*0.028)+(0.00042)*(15^2)/2))
}
t= 15
y= 0.028
z= 0.00042
P=precio_bono(15,0.028,0.00042)
P

## [1] 626.72

El precio del bono es $626.72.

Pregunta N°4

Suponga que la tasa forward es: $r(t)=0,028+0,0002t−0,0003t^2$

Cuál es el rendimiento al vencimiento de un bono a 8 años.

El rendimiento al vencimiento de un bono cupón cero con fecha de vencimiento T es definido para ser:

$y_t=\frac{1}{T}\int\limits_0^T r(t)dt$

yield_to_maturity=function(p,b,m,t){
  r=p+b*t/2-m*(t/3)^2
  r
}
t = 8
p = 0.028
b = 0.0002
m = 0.0003
YTM=yield_to_maturity(p,b,m,t)
YTM*100

## [1] 2.6667

El rendimiento es 2.667%.

Cuál es el precio de un bono cupón cero con valor nominal $1000 y madures a 5 años.

p_b=function(t,a,b,c){
  price=1000*exp(-((t*a)+(b)*(t^2)/2)-(c)*(t^2)/3)
}
t=5
a=0.028
b=0.0002
c=0.0003
price=p_b(t,a,b,c)
price

## [1] 865.02

El precio del bono es $865.02.

Pregunta N°5

Teniendo en cuenta el siguiente código:

bondvalue = function (c, T , r , par)
{
# Computes bv = bond values ( current prices ) corresponding
# to all values of yield to maturity in the
# input vector r
#
# INPUT
# c = coupon payment ( semiannual )
# T = time to maturity (in years )
# r = vector of yields to maturity ( semiannual rates )
# par = par value
#
bv = c / r + (par - c / r ) * (1 + r )^( -2 * T )
bv
}

Utilice la función uniroot() para encontrar la madurez de un bono con madurez a 30 años y valor nominal de $1000 con cupones de $40 que se vende a $1200.

ur1<- uniroot( function(r) bondvalue(40, 30, r, 1000) - 1200, c(0.03,0.04) )
ur1_r <- ur1$root
ur1$root*100

## [1] 3.2416

El retorno a la madurez es 3.2416%.

Determine el retorno a la madurez de un bono con valor nominal $10000 que se vende a $9800 con pago de cupones semi-anuales de $280 y madurez de 8 años.

ur2 <- uniroot(function(r) bondvalue(280, 8, r, 10000) - 9800, c(0.01,0.04) )
ur2_r <- ur2$root
ur2$root*100

## [1] 2.9564

El retorno a la madurez es 2.9564%.

Utlice la función uniroot() para hallar el retorno a la madurez de un bono a 20 años con valor nominal $1000 y cupon semi-anual de $35 que se vende a $1050.

ur3 <- uniroot(function(r) bondvalue(35, 20, r, 1000) - 1050, c(0.01,0.04) )
ur3_r <- ur3$root
ur3$root*100

## [1] 3.2737

El retorno a la madurez es 3.2737%.

El retorno a la madurez de un bono es 0,035 en un bono con valor nominal de 1 000, un precio de $950,10 y madurez a 5 años. ¿Cuál es el valor del cupon?

ur4 <- uniroot(function(c) bondvalue(c, 5, 0.035, 1000) - 950.10, c(0,1000) )
ur4_r <- ur4$root
ur4$root

## [1] 29

El valor del cupón es $29.