1

Regresion no lineal para estimar los parametros \(\theta_2},{\theta_3}{\theta_4}\)

\[r(T; {\theta_1}, {\theta_2},{\theta_3}{\theta_4}) = {\theta_1}+({\theta_2}+{\theta_3T})exp(-{\theta_4}T)\]

1a)

Se cargan los datos y se ejecutan las funciones para determinar los thetas:

dat <- read.table("D:/USMP/2020/risk/practica/PC4/ZeroPrices.txt",header = T,sep ="") 
#Se instalar minpack.lm para usar nlsLM,  esto debido a compatibilidad en la forma de la funcion forward 
fm2DNase1 <- nlsLM(price ~ theta1+(theta2+theta3*maturity)*exp(-theta4*maturity),
                 data = dat,
                 start = list(theta1 = 0,theta2 = 0,theta3 = 0,theta4 = 0))
summary(fm2DNase1)

## 
## Formula: price ~ theta1 + (theta2 + theta3 * maturity) * exp(-theta4 * 
##     maturity)
## 
## Parameters:
##          Estimate Std. Error t value            Pr(>|t|)    
## theta1 16.3988182  0.4950504  33.126 <0.0000000000000002 ***
## theta2 83.4262172  0.4012845 207.898 <0.0000000000000002 ***
## theta3 -0.0003329 35.8131278   0.000               1.000    
## theta4  0.0701837  0.4290096   0.164               0.871    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.3268 on 36 degrees of freedom
## 
## Number of iterations to convergence: 15 
## Achieved convergence tolerance: 0.0000000149

1b)

# Se cacula el rendimiento empirico

rempirico <- -diff(log(dat$price))/diff(dat$maturity)
rempirico

##  [1]  0.068366973  0.058925449  0.054993006  0.056349054  0.054791121
##  [6]  0.050717961  0.058412867  0.072354061  0.035525392  0.052467335
## [11]  0.054139530  0.046383538  0.059953965  0.060077495  0.045589908
## [16]  0.072439959  0.020464603  0.051912506  0.055172803  0.047946773
## [21]  0.051428758  0.033918751  0.040031610  0.053134944  0.046044831
## [26]  0.037205070  0.044377979  0.052637916  0.009572937  0.052212822
## [31]  0.027240785  0.065549383  0.048617001  0.007742893  0.049567183
## [36]  0.049924827  0.024688979  0.069163973 -0.020711090

# Calculo del rendimiento estimado
maturity <- dat[,1]
restimado <- -diff(log(16.3988182+(83.4262172+(-0.0003329*maturity))*exp(-0.0701837*maturity)))/diff(dat$maturity)

#Graficamos 

plot(dat$maturity[2:length(dat$maturity)], rempirico , ylim = c(0.010, 
                                           0.099), xlab = "maturity", ylab = "rendimiento empirico & rendimiento estimado", 
     type = "b", cex = 0.99, lwd = 2, 
     main = "Rendimientos")
# Se a昼㸱ade la linea de rendimiento estimado

lines(dat$maturity[2:length(dat$maturity)],restimado, lwd = 2, col = "2")
legend("bottomleft",legend=c("Rendimientos empirico","Rendimientos estimado"),
       col=c(1,2),lty=1)

2

2a)

Determinar el valor del rendimiento :

price <- 828
T <- 5
par <- 1000
c <- 0
r1a <- ((par/price)^(1/T))-1
r1a*100

## [1] 3.846995

El rendimiento es de 3.84%

2b)

r2 <-  0.0425
c <- 0
P <- 1000
m <- 1
T <- 4
VB <-  P/((1+r1a)*(1 + (r2))^(T))
VB

## [1] 815.2707

El valor del bono es de 815.27

2c)

PCompra <- 828
PVenta <- VB  # 815.2707

RetornoN <- PVenta/PCompra-1
RetornoN*100

## [1] -1.53736

El retorno del bono es negativo en 1.53%

3

3a)

Tasa forward: \[r(t) = 0,028 + 0,00042t\] Calculo del rendimiento a 20 years

r3a <- function(T) {0.028 + 0.00042*T/2}
r3a(20)*100

## [1] 3.22

El rendimiento es de 3.22%

3b)

Calculo del bono cupon cero anual con la siguiente formula.

\[PRICE= \frac{VN}{(1+y))^t}\]

VN: Valor Nominal, y: Rendimiento del bono, T: Tiempo en terminos anuales

r3a <- function(T) {0.028 + 0.00042*T/2}
y <-  r3a(15)
y

## [1] 0.03115

VN <- 1000
T <- 15
(V <-  VN/(1 + (y))^(T))

## [1] 631.2077

El precio del bono es de 631.20 a 15 anos

4

Tasa forward:

\[r(t) = 0,028 + 0,0002t - 0,0003t^2\]

4a)

Rendimiento a 8 years

r4a = function(t){0.028 + 0.0002*t - 0.0003*t^2}
r4a(8)*100

## [1] 1.04

T <- 8
r1 <- 0.028 + 0.0002*T - 0.0003*(T)^2
r1*100

## [1] 1.04

El rendimiento es 1.04%

4b)

Podemos analizarlo por dos metodos

El primero metodo financiero de futuros :

\[PRICE= \frac{VN}{exp(ty(t))}\]

Donde t: tiempo en anos, VN: Valor nomial , y: tasa

Tambien por la siguifiente formula como metodo convencional:

\[PRICE= \frac{VN}{(1+(\frac{y}{m}))^mt}\]

r4b = function(t){0.028 + 0.0002 * t - 0.0003*t^2}
r4b(5)

## [1] 0.0215

#metodo de futuros
P1 <-1000/exp(5*r4b(5))
P1

## [1] 898.0765

#metodo convencional financiero
VN <- 1000
y <- r4b(5)
m <- 1
T <- 5
V <- VN/(1 + (y/m))^(m*T)
V

## [1] 899.1003

Los precios son de 898 en formula exponencial y 899 en financiero convencional.

4c)

Creacion de las tasas a futuro y rendimientos

r4c = function(t){0.028 + 0.0002 * t - 0.0003*t^2}
#creacion de secuencia para tasas forward
c <- seq(1:40)
TForward <- r4c(c)
TForward

##  [1]  0.0279  0.0272  0.0259  0.0240  0.0215  0.0184  0.0147  0.0104  0.0055
## [10]  0.0000 -0.0061 -0.0128 -0.0201 -0.0280 -0.0365 -0.0456 -0.0553 -0.0656
## [19] -0.0765 -0.0880 -0.1001 -0.1128 -0.1261 -0.1400 -0.1545 -0.1696 -0.1853
## [28] -0.2016 -0.2185 -0.2360 -0.2541 -0.2728 -0.2921 -0.3120 -0.3325 -0.3536
## [37] -0.3753 -0.3976 -0.4205 -0.4440

#creacio de secuencia de precios a tasas forward para su rendimiento
p <- c(1:40)
Rendimiento <- -diff(log(p))/diff(TForward)

#Graficamos 

plot(TForward[2:length(TForward)], Rendimiento , ylim = c(0.00, 
                                           40), xlab = "maturity", ylab = "rendimiento empirico & rendimiento estimado", 
     type = "b", cex = 0.99, lwd = 2, 
     main = "Rendimientos")
# Se a昼㸱ade la linea de rendimiento estimado

lines(TForward,TForward, lwd = 2, col = "2")
legend("bottomleft",legend=c("curva de rendimientos","Tasas forwards"),
       col=c(1,2),lty=1)

Las tasas forward tienen comportamiento o forma concava por tener caidas negativas. Los rendimientos son de tendencia convexa o positiva.

4d)

r4d = function(t){0.028 + 0.0002*t/2 - 0.0003*t^2/3}
r4d(10)

## [1] 0.019

#metodo alternativo
T <- 10
r1 <- 0.028 + 0.0002*T/2 - 0.0003*(T)^2/3
r1

## [1] 0.019

r10 <-  r4d(10)
c <- 0
P <- 1000
m <- 1
T <- 10
(V4d <-  P/(1 + (r10))^(T))

## [1] 828.4345

(V4d2 <-  P/(1 + (r10))*(1 + (r10))^(T-1))

## [1] 1162.501

(r4 <- V4d2/V4d-1)*100

## [1] 40.32508

El rentimiento es del 40.32%

5

Formula para calculo de bonos

bondvalue = function (c, T, r, par)
{
 # Computes bv = bond values ( current prices ) corresponding
  # to all values of yield to maturity in the
  # input vector r
  #
  # INPUT
  # c = coupon payment ( semiannual )
  # T = time to maturity (in years )
  # r = vector of yields to maturity ( semiannual rates )
  # par = par value
  
  bv = (c/ r) + (par - (c / r)) * (1 + r)^( -2 * T)
  bv
}

5a)

price <- 1200 
c <- 40
T <-  30
par <- 1000 
r <- seq(0.02, 0.05, length = 300)
uniroot(function(r) r^2-0.5,c(0.7,0.8))

## $root
## [1] 0.707107
## 
## $f.root
## [1] 0.0000003766118
## 
## $iter
## [1] 3
## 
## $init.it
## [1] NA
## 
## $estim.prec
## [1] 0.00006103516

V5 <- bondvalue(c, T, r, par)
V51 <- spline(V5, r, xout = price)
V51

## $x
## [1] 1200
## 
## $y
## [1] 0.03239813

La madurez es de 0.032, 3.2%.

5b)

price <- 9800 
c <- 280
T <-  8
par <- 10000 
r <- seq(0.02, 0.05, length = 300)
V5b <- bondvalue(c, T*2, r/2, par)
YTM <- spline(V5b, r, xout = price)
YTM

## $x
## [1] 9800
## 
## $y
## [1] 0.05793221

La madurez es de 5.7%

5c)

price <- 1050 
c <- 35
T <-  20
par <- 1000 
uniroot(function(r) r^2-0.5,c(0.7,0.8))

## $root
## [1] 0.707107
## 
## $f.root
## [1] 0.0000003766118
## 
## $iter
## [1] 3
## 
## $init.it
## [1] NA
## 
## $estim.prec
## [1] 0.00006103516

V5 <- bondvalue(c, T*2, r/2, par)
V53 <- spline(V5, r, xout = price)
V53

## $x
## [1] 1050
## 
## $y
## [1] 0.06626954

La madurez es de 6.6%

5d)

price <- 950.1 
T <-  5
par <- 1000 
r <- 0.035
c <- seq(0.02, 0.05, length = 300)
V5b <- bondvalue(c, T, r, par)
VC <- spline(V5b, c, xout = price)
VC

## $x
## [1] 950.1
## 
## $y
## [1] 28.97218

El cupon es de 28.97

Bonos renta fija

Richard Ticlavilca

15/8/2020

1

1a)

1b)

2

2a)

2b)

2c)

3

3a)

3b)

4

4a)

4b)

4c)

4d)

5

5a)

5b)

5c)

5d)