Definiciones

Row

Conjunto de elementos con alguna característica en común \(\Omega\)

Población

Subconjunto de la población \(S\subseteq\Omega\)

Muestra

Mecanísmo de selección de la muestra \(P(S)\)

Diseño muestral

Función de los valores de la muestra \(\hat{\theta}(S)\)

Estadístico

Column

Parametro

\[\theta\]

Estimación puntual

\[\hat{\theta}(S)\]

Estimación por intervalo

\[\left(\hat{\theta}_{l}(S);\hat{\theta}_{u}(S)\right)\]

Nivel de confianza

\[P\left[\theta\in\left(\hat{\theta}_{l}(S);\hat{\theta}_{u}(S)\right)\right]=1-\alpha\]

Nivel de significancia

\[P\left[\theta\notin\left(\hat{\theta}_{l}(S);\hat{\theta}_{u}(S)\right)\right]=\alpha\]

Column

Estimador

Es un estadístico o función de la muestra que sirve para estimar un parámetro en la población.

Propiedades
  1. Insesgado o centrado

\[E_P\left[\hat{\theta}(S)\right]=\theta\]

  1. Eficiente

\[V_P\left[\hat{\theta}(S)\right]{\leq}V_P\left[\hat{\theta}_{*}(S)\right]\]

  1. Consistente

\[E_P\left[\hat{\theta}(S)\right]\stackrel{n{\rightarrow}\infty}{\implies}\theta\] \[V_P\left[\hat{\theta}(S)\right]\stackrel{n{\rightarrow}\infty}{\implies}0\]

  1. Suficiente: Si conserva la información sobre el parámetro que tiene la muestra.

Diseños de muestreo

Muestreo aleatorio simple

Todas las posibles muestras tienen la misma probabilidad \(P(\cdot)\) de ser seleccionadas

Muestreo estratíficado

Consiste en una partición inicial del Universo \(U\) a fin de seleccionar la muestra al interior de cada partición

Muestreo por conglomerados

Consiste en seleccionar en la última etapa de muestreo todas las unidades halladas al interior de las unidades seleccionadas en la etapa de muestreo anterior

Unidad de muestreo

Corresponde a la unidad mínima de observación.

Estimación

Valor obtenido para una muestra en partícular

Aplicación

Row

\(\Omega=\left\{{e}_{1}=1,{e}_{2}=2,{e}_{3}=3,{e}_{4}=4\right\}\)

Población

\(P(S)=MAS\)

Diseño muestral

\(1-\alpha=0,95\)

Confiabilidad

\(\alpha=0,05\)

Significancia

Column

Parametro

\[{\mu}_{x}=\frac{\sum_{i=1}^{N}{x}_{i}}{N}\]

\[{\sigma}_{x}^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{N}({x}_{i}-{\mu}_{x})^{2}}{N}\]

Estimador puntual

\[\bar{x}_{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}}{n}\]

\[{s}_{x}^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{2}({x}_{i}-\bar{x}_{2})^{2}}{n-1}\]

Estimador por intervalo

\[\bar{x}_{n}\pm{Z}_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{{\sigma}_{x}}{\sqrt{n}}\]

\[\bar{x}_{n}\pm{t}_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}}\frac{{s}_{x}}{\sqrt{n}}\]

Row

Estimación puntual

Para la media poblacional \(\mu_x=\frac{\sum_{i=1}^{4}{x}_{i}}{4}=2.5\)

\[S=\left\{e_1,e_2\right\}\implies\bar{x}_{2}=\frac{1+2}{2}=1,5\] 
x<-c(1,2);mean(x)
[1] 1.5
\[S=\left\{e_1,e_3\right\}\implies\bar{x}_{2}=\frac{1+3}{2}=2,0\] 
x<-c(1,3);mean(x)
[1] 2
\[S=\left\{e_1,e_4\right\}\implies\bar{x}_{2}=\frac{1+4}{2}=2,5\] 
x<-c(1,4);mean(x)
[1] 2.5
\[S=\left\{e_2,e_3\right\}\implies\bar{x}_{2}=\frac{2+3}{2}=2,5\] 
x<-c(2,3);mean(x)
[1] 2.5
\[S=\left\{e_2,e_4\right\}\implies\bar{x}_{2}=\frac{2+4}{2}=3,0\] 
x<-c(2,4);mean(x)
[1] 3
\[S=\left\{e_3,e_4\right\}\implies\bar{x}_{2}=\frac{3+4}{2}=3,5\] 
x<-c(3,4);mean(x)
[1] 3.5

Para la varianza poblacional \(\sigma_x^2=\frac{\sum_{i=1}^{4}({x}_{i}-{\mu}_{x})^{2}}{4}=0.83\)

\[S=\left\{e_1,e_2\right\}\implies{s}_{x}^{2}=\frac{(1-1.5)^2+(2-1.5)^2}{2-1}=0,5\] 
x<-c(1,2);var(x)
[1] 0.5
\[S=\left\{e_1,e_3\right\}\implies{s}_{x}^{2}=\frac{(1-2.0)^2+(3-2.0)^2}{2-1}=2,0\] 
x<-c(1,3);var(x)
[1] 2
\[S=\left\{e_1,e_4\right\}\implies{s}_{x}^{2}=\frac{(1-2.5)^2+(4-2.5)^2}{2-1}=4,5\] 
x<-c(1,4);var(x)
[1] 4.5
\[S=\left\{e_2,e_3\right\}\implies{s}_{x}^{2}=\frac{(2-2.5)^2+(3-2.5)^2}{2-1}=0,5\] 
x<-c(2,3);var(x)
[1] 0.5
\[S=\left\{e_2,e_4\right\}\implies{s}_{x}^{2}=\frac{(2-3.0)^2+(4-3.0)^2}{2-1}=2,0\] 
x<-c(2,4);var(x)
[1] 2
\[S=\left\{e_3,e_4\right\}\implies{s}_{x}^{2}=\frac{(3-3.5)^2+(4-3.5)^2}{2-1}=0,5\] 
x<-c(3,4);var(x)
[1] 0.5

Para la desviación estándar poblacional \(\sigma_x=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{4}({x}_{i}-{\mu}_{x})^{2}}{4}}=0.91\)

\[S=\left\{e_1,e_2\right\}\implies{s}_{x}=\sqrt{\frac{(1-1.5)^2+(2-1.5)^2}{2-1}}=\sqrt{0.5}=0,71\] 
x<-c(1,2);sd(x)
[1] 0.7071068
\[S=\left\{e_1,e_3\right\}\implies{s}_{x}=\sqrt{\frac{(1-2.0)^2+(3-2.0)^2}{2-1}}=\sqrt{2}=1,41\] 
x<-c(1,3);sd(x)
[1] 1.414214
\[S=\left\{e_1,e_4\right\}\implies{s}_{x}=\sqrt{\frac{(1-2.5)^2+(4-2.5)^2}{2-1}}=\sqrt{4,5}=2,12\] 
x<-c(1,4);sd(x)
[1] 2.12132
\[S=\left\{e_2,e_3\right\}\implies{s}_{x}=\sqrt{\frac{(2-2.5)^2+(3-2.5)^2}{2-1}}=\sqrt{0,5}=0,71\] 
x<-c(2,3);sd(x)
[1] 0.7071068
\[S=\left\{e_2,e_4\right\}\implies{s}_{x}=\sqrt{\frac{(2-3.0)^2+(4-3.0)^2}{2-1}}=\sqrt{2}=1,41\] 
x<-c(2,4);sd(x)
[1] 1.414214

\[S=\left\{e_3,e_4\right\}\implies{s}_{x}=\sqrt{\frac{(3-3.5)^2+(4-3.5)^2}{2-1}}=\sqrt{0,5}=0,71\]

Estimación por intervalo \(\sigma_x^2\) conocida

Para la media poblacional \(\mu_x\) con varianza conocida \(\sigma_x^2\)

\[S=\left\{e_1,e_2\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{Z}_{1-\frac{0.05}{2}}\frac{\sigma_x}{\sqrt{2}}=1,5\pm1.96\frac{0,83}{\sqrt{2}}=\left(0,23;2,76\right)\] 
x<-c(1,2)
li<-mean(x)-qnorm(0.975)*sqrt(var(1:4)*(1/2))/sqrt(2)
ls<-mean(x)+qnorm(0.975)*sqrt(var(1:4)*(1/2))/sqrt(2)
cat("(",li,";",ls,")")
( 0.2348487 ; 2.765151 )
\[S=\left\{e_1,e_3\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{Z}_{1-\frac{0.05}{2}}\frac{\sigma_x}{\sqrt{2}}=2,0\pm1.96\frac{1,49}{\sqrt{2}}=\left(0,73;3,27\right)\] 
x<-c(1,3)
li<-mean(x)-qnorm(0.975)*sqrt(var(1:4)*(1/2))/sqrt(2)
ls<-mean(x)+qnorm(0.975)*sqrt(var(1:4)*(1/2))/sqrt(2)
cat("(",li,";",ls,")")
( 0.7348487 ; 3.265151 )
\[S=\left\{e_1,e_4\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{Z}_{1-\frac{0.05}{2}}\frac{\sigma_x}{\sqrt{2}}=2,5\pm1.96\frac{1,49}{\sqrt{2}}=\left(1,23;3,77\right)\] 
x<-c(1,4)
li<-mean(x)-qnorm(0.975)*sqrt(var(1:4)*(1/2))/sqrt(2)
ls<-mean(x)+qnorm(0.975)*sqrt(var(1:4)*(1/2))/sqrt(2)
cat("(",li,";",ls,")")
( 1.234849 ; 3.765151 )
\[S=\left\{e_2,e_3\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{Z}_{1-\frac{0.05}{2}}\frac{\sigma_x}{\sqrt{2}}=2,5\pm1.96\frac{1,49}{\sqrt{2}}=\left(1,23;3,77\right)\] 
x<-c(2,3)
li<-mean(x)-qnorm(0.975)*sqrt(var(1:4)*(1/2))/sqrt(2)
ls<-mean(x)+qnorm(0.975)*sqrt(var(1:4)*(1/2))/sqrt(2)
cat("(",li,";",ls,")")
( 1.234849 ; 3.765151 )
\[S=\left\{e_2,e_4\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{Z}_{1-\frac{0.05}{2}}\frac{\sigma_x}{\sqrt{2}}=3,0\pm1.96\frac{1,49}{\sqrt{2}}=\left(1,73;4,27\right)\] 
x<-c(2,4)
li<-mean(x)-qnorm(0.975)*sqrt(var(1:4)*(1/2))/sqrt(2)
ls<-mean(x)+qnorm(0.975)*sqrt(var(1:4)*(1/2))/sqrt(2)
cat("(",li,";",ls,")")
( 1.734849 ; 4.265151 )

\[S=\left\{e_3,e_4\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{Z}_{1-\frac{0.05}{2}}\frac{\sigma_x}{\sqrt{2}}=3,5\pm1.96\frac{1,49}{\sqrt{2}}=\left(2,23;4,77\right)\]

Estimación por intervalo \(\sigma_x^2\) desconocida

Para la media poblacional \(\mu_x\) con varianza desconocida \(\sigma_x^2\) y \(n\nrightarrow\infty\)

\[S=\left\{e_1,e_2\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{t}_{2-1,1-\frac{0.05}{2}}\frac{s_x}{\sqrt{2}}=1,5\pm12,71\frac{0,71}{\sqrt{2}}=\left(-4,85;7,85\right)\] 
x<-c(1,2)
li<-mean(x)-qt(0.975,2-1)*sd(x)/sqrt(2)
ls<-mean(x)+qt(0.975,2-1)*sd(x)/sqrt(2)
cat("(",li,";",ls,")")
( -4.853102 ; 7.853102 )
\[S=\left\{e_1,e_3\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{t}_{2-1,1-\frac{0.05}{2}}\frac{s_x}{\sqrt{2}}=2,0\pm12,71\frac{1,41}{\sqrt{2}}=\left(-10,71;14,71\right)\] 
x<-c(1,3)
li<-mean(x)-qt(0.975,2-1)*sd(x)/sqrt(2)
ls<-mean(x)+qt(0.975,2-1)*sd(x)/sqrt(2)
cat("(",li,";",ls,")")
( -10.7062 ; 14.7062 )
\[S=\left\{e_1,e_4\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{t}_{2-1,1-\frac{0.05}{2}}\frac{s_x}{\sqrt{2}}=2,5\pm12,71\frac{2,12}{\sqrt{2}}=\left(-16,56;21,56\right)\] 
x<-c(1,4)
li<-mean(x)-qt(0.975,2-1)*sd(x)/sqrt(2)
ls<-mean(x)+qt(0.975,2-1)*sd(x)/sqrt(2)
cat("(",li,";",ls,")")
( -16.55931 ; 21.55931 )
\[S=\left\{e_2,e_3\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{t}_{2-1,1-\frac{0.05}{2}}\frac{s_x}{\sqrt{2}}=2,5\pm12,71\frac{0,71}{\sqrt{2}}=\left(-3,85;8,85\right)\] 
x<-c(2,3)
li<-mean(x)-qt(0.975,2-1)*sd(x)/sqrt(2)
ls<-mean(x)+qt(0.975,2-1)*sd(x)/sqrt(2)
cat("(",li,";",ls,")")
( -3.853102 ; 8.853102 )
\[S=\left\{e_2,e_4\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{t}_{2-1,1-\frac{0.05}{2}}\frac{s_x}{\sqrt{2}}=3,0\pm12,71\frac{1,41}{\sqrt{2}}=\left(-9,71;15,71\right)\] 
x<-c(2,4)
li<-mean(x)-qt(0.975,2-1)*sd(x)/sqrt(2)
ls<-mean(x)+qt(0.975,2-1)*sd(x)/sqrt(2)
cat("(",li,";",ls,")")
( -9.706205 ; 15.7062 )

\[S=\left\{e_3,e_4\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{t}_{2-1,1-\frac{0.05}{2}}\frac{s_x}{\sqrt{2}}=3,5\pm12,71\frac{0,25}{\sqrt{2}}=\left(1,71;5,29\right)\]

Estimación por intervalo \(\sigma_x^2\) desconocida

Para la media poblacional \(\mu_x\) con varianza desconocida \(\sigma_x^2\) y \(n\rightarrow\infty\)

\[S=\left\{e_1,e_2,e_3\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{t}_{3-1,1-\frac{0.05}{2}}\frac{s_x}{\sqrt{2}}=2\pm1,96\frac{1,00}{\sqrt{2}}=\left(0,87;3,13\right)\] 
x<-c(1,2,3)
li<-mean(x)-qnorm(0.975)*sd(x)/sqrt(3)
ls<-mean(x)+qnorm(0.975)*sd(x)/sqrt(3)
cat("(",li,";",ls,")")
( 0.8684143 ; 3.131586 )
\[S=\left\{e_1,e_2,e_4\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{t}_{3-1,1-\frac{0.05}{2}}\frac{s_x}{\sqrt{2}}=2,\bar{3}\pm1,96\frac{1,53}{\sqrt{2}}=\left(0,60;4,06\right)\] 
x<-c(1,2,4)
li<-mean(x)-qnorm(0.975)*sd(x)/sqrt(3)
ls<-mean(x)+qnorm(0.975)*sd(x)/sqrt(3)
cat("(",li,";",ls,")")
( 0.6048076 ; 4.061859 )
\[S=\left\{e_1,e_3,e_4\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{t}_{3-1,1-\frac{0.05}{2}}\frac{s_x}{\sqrt{2}}=2,5\pm1,96\frac{1,53}{\sqrt{2}}=\left(0.94;4,34\right)\] 
x<-c(1,3,4)
li<-mean(x)-qnorm(0.975)*sd(x)/sqrt(3)
ls<-mean(x)+qnorm(0.975)*sd(x)/sqrt(3)
cat("(",li,";",ls,")")
( 0.9381409 ; 4.395192 )

\[S=\left\{e_2,e_3\right\}\implies\bar{x}_{2}\pm{t}_{3-1,1-\frac{0.05}{2}}\frac{s_x}{\sqrt{2}}=2,5\pm1,96\frac{0,25}{\sqrt{2}}=\left(-8.60;14,60\right)\]

Bibliografía

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Ruiz, C. Q. (1993). Elementos de inferencia estadística. Editorial Universidad de Costa Rica.

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