R Notebook Análisis Numérico Clase II 2030

Arimetica del computador

Como se comporta el error relativo en los cálculos numéricos (operaciones elementales)

f = function(x) (1-x)^6
ef = function(x) x^6-6*x^5+15*x^4-20* x^3+15* x^2-6* x+1
options(scipen = 999)
x = seq(0.995, 1.005, by=0.0001)
y1 = f(x)
y2 = ef(x)
head((y1-y2),10)

 [1]  0.0000000000000005259669  0.0000000000000022949677
 [3] -0.0000000000000002039074 -0.0000000000000016552825
 [5] -0.0000000000000002956657  0.0000000000000003101598
 [7] -0.0000000000000007372919 -0.0000000000000007840643
 [9] -0.0000000000000016163956  0.0000000000000011973906

Graficamente se puede apreciar el error

x = seq(0.995, 1.005, by=0.0001)
a = x[1]; b = x[length(x)]
curve((1-x)^6, a, b, col="blue"); abline(h=0,v=0, lty=3)
curve(x^6-6*x^5+15*x^4-20* x^3+15* x^2-6* x+1, a, b, col="red", add=T)

Problema: Encuentre una formula iterativa,para calcular la raíz real n-esima de un número real.
Solución: para la solución de este problema hay que tener en cuenta dos casos: - n par (número real positivo)
- n impar

Fx <- function(x,n,v) x-(x^n-v)/(n*x^(n-1))
Gx <- function(x,n,v) x^n-v
Hx <- function(x,n) n*x^(n-1)

calcularRaiz <- function(v,n)
{
  options(scipen = 0)
  options(digits = 10)
  x <- v/2
  error <- 1
  i <- 0
  while(error > 1.e-6)
  {
    
    x <- Fx(x,n,v)
    
    error <- abs(Gx(x,n,v))/Hx(x,n)
    cat(" x= ",x," \terror= ",error,"\n")
    i <- i + 1
    
  }
 
}

calcularRaiz(7,2)

 x=  2.75   error=  0.1022727273 
 x=  2.647727273    error=  0.001975224346 
 x=  2.645752048    error=  7.373161104e-07 

calcularRaiz(120,3)

 x=  40.01111111    error=  13.31205092 
 x=  26.69906019    error=  8.843573142 
 x=  17.85548705    error=  5.82636575 
 x=  12.0291213     error=  3.733272638 
 x=  8.295848661    error=  2.184065831 
 x=  6.111782829    error=  0.9664219837 
 x=  5.145360845    error=  0.2042460419 
 x=  4.941114804    error=  0.008675378334 
 x=  4.932439425    error=  1.527650565e-05 
 x=  4.932424149    error=  4.731361971e-11 

raizCuadrada <- function(n, e, x)

Warning messages:
1: In readChar(file, size, TRUE) : truncating string with embedded nuls
2: In scan(file = file, what = what, sep = sep, quote = quote, dec = dec,  :
  EOF within quoted string

  {
  eActual <- c()
  eAnterior <- c()
  k <- 0
  y <- (1/2)*(x+(n/x))
  k <- abs(x-y)
  while(k > e){
    x <- y
    y <- (1/2)*(x+(n/x))
    eAnterior <- c(eAnterior, k)
    k <- abs(x-y)
    eActual <- c(eActual, k)
  }
  #cat(" x= ",x," \terror= ",error,"\n")
  #cat("Iteraciones =",y"," \tk= ",k,"\n")
  # Inserción de puntos y líneas en la gráfica
  points(eActual, eAnterior, col = "red")
  lines(eActual, eAnterior, col = "blue")
  return(cat("El resultado es: ", y, " con error de ", e))
}
f = function(x) (x)
{
plot(f, xlim=c(0,60), ylim=c(0,60), 
col = "white", xlab="Error actual",
ylab="Error anterior ", main= "Error actual vs Error anterior")
abline(h=0,col="black")
}
raizCuadrada(7, 0.00000001, 100)

El resultado es:  2.645751311  con error de  1e-08