Dados Ortodônticos

# Dados Ortodônticos
## Desvios com Restrição, Perfis Médios e Medianos com Erros Padrão
### Daniel Amaral
### Ago, 2020

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# Desvios com Restrição

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# Exemplo Dados Ortodônticos (Potthoff & Roy, 1964)

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- Temos `$G = 2$`, `$p = 4$`,  `$n_1 = 11$`, `$n_2 = 16$` (2 grupos, quatro instantes, 11 e 16 indíviduos por grupo, respectivamente).

- Um dos objetivos é comparar as (e avaliar a evolução das) médias (ao longo do tempo - curvas de crescimento).

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# Desvios com Restrição

- Restrição: `$$\sum_{i=1}^2\sum_{p=1}^4\alpha_{ip} = 0$$`
- Abordagem: .can-edit[]
- `$\mu$`: média das médias da combinação dos grupos e das condições de avaliação `$\mu = \bar{\mu} = \frac{1}{2\times 4}\sum_{i=1}^2\sum_{p=1}^4\mu_{ip}$`
- `$\alpha_{ip}$`: diferença da média do grupo `$i$` na condição de avaliação `$p$` com relação à média das médias, `$\alpha_{ip} = \mu_{ip} - \bar{\mu}$`

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# Desvios com Restrição - Dados Ortodônticos

`$$\mathbf{X} = \begin{bmatrix}\\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 
\vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 
\vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 
\vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\
1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 
\end{bmatrix}, \mathbf{B} = \begin{bmatrix}
\mu\\
\alpha_{11}\\
\alpha_{12}\\
\alpha_{13}\\
\alpha_{14}\\
\alpha_{21}\\
\alpha_{22}\\
\alpha_{23}\\
\end{bmatrix}$$`
- Em que `$\alpha_{ip}$`: diferença na média geral `$\mu$` associada à média da distância (mm) do centro da glândula pituitária para a fissura pterigomaxilar do grupo `$i$` na condição de avaliação `$p$`.

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# Gráficos de Perfis Médios e Medianos com Erros Padrão

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# Perfil Médio

<img src="Ortodont_files/figure-html/unnamed-chunk-3-1.png" style="display: block; margin: auto;" />
]

```r
*orthodont %>%
* group_by(sexo, idade) %>%
* summarise(media = mean(distancia),
*           ep = sd(distancia)/sqrt(n())) %>%
* ggplot(aes(x = idade, y = media)) +
* geom_line(aes(color = sexo), size = 1.5) +
* geom_errorbar(aes(ymin = media-ep, ymax = media+ep, color = sexo), width=.16) +
* xlab('Idade (anos)') +
* ylab('Distância entre a pituitária\ne a fissura pterigomaxilar (mm)') +
* labs(title = expression('Perfis Médios'%+-%'erros-padrão da média')) +
* scale_colour_Publication() + theme_Publication()
```
]
]

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# Perfil Mediano

<img src="Ortodont_files/figure-html/unnamed-chunk-5-1.png" style="display: block; margin: auto;" />
]

```r
*orthodont %>%
* group_by(sexo, idade) %>%
* summarise(mediana = median(distancia),
*           ep_media = sd(distancia)/sqrt(n()),
*           ep_mediana = ep_media*sqrt(pi/2)) %>%
* ggplot(aes(x = idade, y = mediana)) +
* geom_line(aes(color = sexo), size = 1.5) +
* geom_errorbar(aes(ymin = mediana-ep_mediana, ymax = mediana+ep_mediana, color = sexo),
*               width=.16, position = position_dodge(.2)) +
* xlab('Idade (anos)') +
* ylab('Distância entre a pituitária\ne a fissura pterigomaxilar (mm)') +
* labs(title = expression('Perfis Medianos'%+-%'erros-padrão da mediana')) +
* scale_colour_Publication() + theme_Publication() #<<
```
]
]

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# Referências

- Potthoff, R. F. & Roy, S. N. (1964). A generalized multivariate analysis of variance
model useful especially for growth curve problems, *Biometrika* **51**: 313–326.

- Azevedo, C. L. N. Parametrização, identificabilidade, estimabilidade e testabilidade em modelos normais lineares, 2013. 31 slides.