1). DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO DE \(\overline{X}\)

Sea \(X_1, \cdots,X_n\) una muestra aleatoria que consiste de \(n\) variables aleatorias \(\text{independientes}\) e \(\text{iid}\), con medias \({\rm I\!E}(X_i) = \mu\) y varianzas \(\textrm{Var}(X_i) = \sigma^2\) tal que \(X_i \overset{d}{=} \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\), entonces,

\[\overline{X} \overset{d}{=} \mathcal{N}\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)\]

EL resultado anterior nos expone la distribución de probabilidad (también conocida como la “distribución de muestreo”) de la media muestral.

mu    <- 0
sigma <- 1
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
# Recorrido de la función para graficarla
Min <- mu-3*sigma; Max <- mu+3*sigma
x   <- seq(Min, Max, length = 10000)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
Tam_Muestra   <- 10
Num_Muestras  <- 1000
Medias        <- NULL
Muestras <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra)

for (i in 1:Num_Muestras) {
  Muestras[i,]  = rnorm(Tam_Muestra, mu, sigma)
  Medias[i]     = mean(Muestras[i,])
}
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
par(col.axis="#FF8000", col.lab="#FF4500", col.main="#CD4619", las=1)
hist(Medias, col = rainbow(8), density = 30, prob = T,
     xlab = bquote(bar(X)), ylab = "Densidad",
     main = bquote("HISTOGRAMA DEL COMPORTAMIENTO DE "~bar(X)))
lines(x, dnorm(x,mu,sigma/sqrt(Tam_Muestra)), type = "l", col = 2, lwd = 2)

A continuación, podemos observar el comportamiento típico de la desviación estándar de \(\overline{X}\) en función del tamaño de la muestra (Tam_Muestra \(\equiv \# \textit{ de variables aleatorias}\)).

mu    <- 0
sigma <- 1
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
# Recorrido de la función para graficarla
Min <- mu-3*sigma; Max <- mu+3*sigma
x   <- seq(Min, Max, length = 10000)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
Tam_Muestra <- NULL
n           <- seq(10,100,10)
DesMedia    <- NULL
for (j in 1:length(n)) {
  Tam_Muestra= n[j]
  Num_Muestras  <- 1000
  Medias        <- NULL
  Muestras <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra)
  for (i in 1:Num_Muestras) {
    Muestras[i,] = rnorm(Tam_Muestra, mu, sigma)
    Medias[i]    = mean(Muestras[i,])
  }
  DesMedia[j] <- sd(Medias)
}
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
par(col.axis="#E700AD", col.lab="#548DDB", col.main="#935CDB", fg="#A5007B")
plot(x = n, y = DesMedia, col = "#FF4500", las = 1, type = "l", lwd = 2,
     main = bquote("COMPORTAMIENTO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE "~bar(X)),
     xlab = "n (Tamaño de la muestra)", ylab = bquote("Desviación de "~bar(X)))

2). GENERALIZACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO DE \(\overline{X}\)

Sea \(X_1, \cdots,X_n\) una muestra aleatoria que consiste de \(n\) variables aleatorias \(\textrm{independientes}\) e \(\textrm{iid}\), con medias \({\rm I\!E}(X_i) = \mu\) y varianzas \(\textrm{Var}(X_i) = \sigma^2\) tal que \(X_i \overset{d}{=} f(x)\), entonces,

\[\overline{X} \overset{a}{\sim} \mathcal{N}\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)\]

Donde \(\overset{a}{\sim}\) se refiere a que se distribuye asintóticamente (\(n \rightarrow \infty\)).

En el siguiente código se expone dicho resultado para una distribución \(\textrm{Poisson}\), aunque se puede elegir cualquier otra distribución de probabilidad \(f(x)\).

Lambda  <- 4
mu      <- Lambda
sigma   <- sqrt(Lambda)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
# Recorrido de la función para graficarla
x <- seq(0, 100, length = 10000)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
Tam_Muestra   <- 10
Num_Muestras  <- 1000
Medias        <- NULL
MuestraPois <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra)

for (i in 1:Num_Muestras) {
  MuestraPois[i,] = rpois(Tam_Muestra, Lambda)
  Medias[i]       = mean(MuestraPois[i,])
}
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
par(col.axis="#F94E19", col.lab="#5600FF", col.main="#FD0040", fg="#741414")
hist(Medias, col = rainbow(8), density = 30, prob = T, las = 1,
     xlab = bquote(bar(X)), ylab = "Densidad",
     main = bquote("HISTOGRAMA DEL COMPORTAMIENTO DE "~bar(X)))
lines(x, dnorm(x,mu,sigma/sqrt(Tam_Muestra)), type = "l", col = 2, lwd = 2)

3). RELACIÓN ENTRE LA NORMAL Y LA CHI-CUADRADO

Si \(X \overset{d}{=} \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) definimos \(Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \overset{d}{=} \mathcal{N}(0,1)\), entonces,

\[Z^2 = \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \right)^2 \overset{d}{=} \Large{\chi^{2}_{(1)}}\]

mu    <- 0
sigma <- 1
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
# Recorrido de la función para graficarla
x <- seq(from = 0, to = 10, length = 1000)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
Tam_Muestra   <- 1
Num_Muestras  <- 1000
Muestras <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra)

for (i in 1:Num_Muestras) {
  Muestras[i,] = (rnorm(Tam_Muestra, mu, sigma))^2
}
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
par(col.axis="#310042", col.lab="#772A88", col.main="#00A040")
hist(Muestras[,1], col = ColorA, density = 50, prob = T, las = 1,
     xlab = bquote(Z^2), ylab = "Densidad",
     main = bquote("HISTOGRAMA DEL COMPORTAMIENTO DE "~Z^2))
lines(x, dchisq(x,df = 1), type = "l", col = "#189AD3", lwd = 2)

4). GENERALIZACIÓN DE LA RELACIÓN ENTRE LA NORMAL Y LA CHI-CUADRADO

Sea \(X_1, \cdots,X_n\) una muestra aleatoria que consiste de \(n\) variables aleatorias \(\textrm{independientes}\) e \(\textrm{iid}\), con medias \({\rm I\!E}(X_i) = \mu\) y varianzas \(\textrm{Var}(X_i) = \sigma^2\) tal que \(X_i \overset{d}{=} \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\), entonces,

\[Y = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i-\mu}{\sigma} \right)^2 \overset{d}{=} \Large{\chi^{2}_{(n)}}\]

mu    <- 1  # El resultado NO cambia al modificar mu y sigma, ya que
sigma <- 4  # es independiente de ellos.
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
# Recorrido de la función para graficarla
x <- seq(from = 30, to = 80, length = 10000)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
Tam_Muestra   <- 50 # El resultado SI cambia al modificar el tamaño de
Num_Muestras  <- 50 # la muestra.
a     <- NULL
Muestras <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra)

for (i in 1:Num_Muestras) {
  Muestras[i,] = rnorm(Tam_Muestra, mu, sigma)
}
for (i in 1:Tam_Muestra) {
  a[i] = 1/sigma^2*sum((Muestras[,i]-mu)^2)
}
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
par(col.axis="#991F6A", col.lab="#D57016", col.main="#D52F4C", fg="#FFBB00")
hist(a, col = ColorD, density = 50, prob = T, las = 1,
     xlab = "Y", ylab = "Densidad", main = "HISTOGRAMA DEL COMPORTAMIENTO DE Y")
lines(x, dchisq(x,df = Tam_Muestra), type = "l", col = "#00D27F", lwd = 2)

5). SUMA DE \(\chi^{2}_{(v)}\) INDEPENDIENTES

Sean \(X_1\) y \(X_2\) variables aleatorias \(\textrm{independientes}\) con \(X_1 \overset{d}{=} \large{\chi^{2}_{(v_1)}}\) y \(X_2 \overset{d}{=} \large{\chi^{2}_{(v_2)}}\), entonces,

\[Y = (X_1+X_2) \overset{d}{=} \Large{\chi^{2}_{(v_1+v_2)}}\]

v1 <- 1
v2 <- 2
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
# Recorrido de la función para graficarla
x <- seq(0, 20, length = 1000)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
Tam_Muestra   <- 1
Num_Muestras  <- 1000
MuestraChi1 <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra)
MuestraChi2 <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra)
for (i in 1:Num_Muestras) {
  MuestraChi1[i,] = rchisq(Tam_Muestra, v1)
  MuestraChi2[i,] = rchisq(Tam_Muestra, v2)
}
A <- MuestraChi1+MuestraChi2
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
par(col.axis="#F94333", col.lab="#36B54E", col.main="#249596", fg="#F6AE33")
hist(A, col = ColorG, density = 50, prob = T, las = 1,
     main = "HISTOGRAMA DEL COMPORTAMIENTO DE Y",
     xlab = bquote(Y==X[1]+X[2]), ylab = "Densidad")
lines(x, dchisq(x,df = v1+v2), type = "l", col = "purple", lwd = 2)

6). DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO DE \(S^2\)

Sea \(X_1, \cdots,X_n\) una muestra aleatoria que consiste de \(n\) variables aleatorias \(\textrm{independientes}\) e \(\textrm{iid}\), con medias \({\rm I\!E}(X_i) = \mu\) y varianzas \(\textrm{Var}(X_i) = \sigma^2\) tal que \(X_i \overset{d}{=} \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) y \(S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}{(X_i - \overline{X})^2}}{n-1}\), entonces,

\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^{n}\frac{(X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2} \overset{d}{=} \Large{\chi^{2}_{(n-1)}}\]

En otras palabras, la distribución muestral de la varianza muestral tiene una distribución chi-cuadrado con \(v = n-1\) grados de libertad.

mu    <- 0
sigma <- 1
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
# Recorrido de la función para graficarla
x <- seq(0, 50, length = 10000)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
Tam_Muestra   <- 10
Num_Muestras  <- 1000

Varianzas     <- NULL
Muestras <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra)

for (i in 1:Num_Muestras) {
  Muestras[i,] = rnorm(Tam_Muestra, mu, sigma)
  Varianzas[i] = var(Muestras[i,])
}
A <- ((Tam_Muestra-1)*Varianzas)/(sigma^2)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
par(col.axis="#29BF12", col.lab="#F21B3F", col.main="#FF9914")
hist(A, col = rainbow(8), density = 50, prob = T, las = 1,
     xlab = bquote(S^2), ylab = "Densidad",
     main = bquote("HISTOGRAMA DEL COMPORTAMIENTO DE "~S^2))
lines(x, dchisq(x,df = Tam_Muestra-1), type = "l", col = "#1C8AFF", lwd = 2)

Resumiendo lo visto en 4). y 6). tenemos que,

\[\begin{align*} \sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{X_i-\mu}{\sigma} \right )^2 &\overset{d}{=} \Large{\chi^{2}_{(n)}} \\ \sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{X_i-\overline{X}}{\sigma} \right )^2 &\overset{d}{=} \Large{\chi^{2}_{(n-1)}} \end{align*}\]

La única diferencia entre estas dos sumas es que, en el primer caso, estamos sumando las diferencias al cuadrado de la media poblacional \(\mu\), mientras que, en el segundo caso, estamos sumando las diferencias al cuadrado de la media muestral \(\overline{X}\). Lo que sucede es que cuando estimamos la media de la población desconocida \(\mu\) con \(\overline{X}\), “perdemos” un grado de libertad. Esto es generalmente cierto … se pierde un grado de libertad para cada parámetro estimado en ciertas variables aleatorias de chi-cuadrado.

7). DISTRIBUCIÓN \(t\) DE \(\textrm{Student}\)

\[X \overset{d}{=} \large{t_{(v)}}\]

  • 1). Función de densidad: \[ f(x) = \frac{\Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right) }{\sqrt{\nu\pi}\ \Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right)} \left( 1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-\frac{\nu+1}{2}} \] Donde \(v>0\) y \(-\infty<x<\infty\)

  • 2). Media: \[\mu = {\rm I\!E}(X) = 0\] Para \(v>1\)

  • 3). Varianza: \[\sigma^2 = \textrm{Var}(X) = \frac{v}{v-2}\] Para \(v>2\)

GradosLibertad <- c(1, 2, 3, 5, 10, 30)
colors <- c("#C00000", "#FF4F00", "#FCFF00", "#0C8900", "#0085FF", "#D70A9A")
par(col.axis="#08BDBD", col.lab="#29BF12", fg="#F21B3F", las=1)
for(i in 1:length(GradosLibertad)){
  curve(dt(x, df = GradosLibertad[i]), xlim = c(-4,4), ylim = c(0,0.4),
        add = i>1, ylab = "Función de densidad de X",
        bty = "n", col = colors[i], lwd = 1.5)
  legend(1.5, 0.025*i+0.2, legend = bquote(~t["("~v==.(GradosLibertad[i])~")"]),
         col = colors[i], lty = 1, box.col = "transparent", bg = "transparent",
         text.col = "black", cex = 1.8)
}
title("Densidad t para algunos valores de v")

8). RELACIÓN ENTRE LA NORMAL, LA CHI-CUADRADO Y LA DISTRIBUCIÓN T

Teorema: Sea \(Z\) una variable aleatoria normal estándar \(Z \overset{d}{=} \mathcal{N}(0,1)\), y \(V\) una variable aleatoria chi-cuadrado con \(v\) grados de libertad \(V \overset{d}{=} \Large{\chi^{2}_{(v)}}\). Si \(Z\) y \(V\) son independientes, entonces la variable aleatoria,

\[T = \frac{Z}{\sqrt{\frac{V}{v}}} \overset{d}{=} \large{t_{(v)}}\]

Sigue una distribución \(t\) con \(v\) grados de libertad. Escribimos \(T \overset{d}{=} \large{t_{(v)}}\). La función de densidad de \(T\) es:

\[f(t)=\dfrac{\Gamma((v+1)/2)}{\sqrt{\pi v} \Gamma(v/2)} \cdot \dfrac{1}{(1+t^2/v)^{(v+1)/2}}\] Para \(-\infty<t<\infty\)

Usando el teorema anterior se puede demostrar que,

\[T = \frac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}} \overset{d}{=} \Large{t_{(n-1)}}\]

A continuación, se presenta el código para simular, de acuerdo con la definición, la distribución \(T\).

v1 <- 4
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
# Recorrido de la función para graficarla
x <- seq(-6, 6, length = 10000)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
Tam_Muestra   <- 10
Num_Muestras  <- 1000

MuestraNorm <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra)
MuestraChi  <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra)
for (i in 1:Num_Muestras) {
  MuestraNorm[i,] = rnorm(Tam_Muestra, 0, 1)
  MuestraChi[i,]  = rchisq(Tam_Muestra, v1)
}
A <- MuestraNorm/sqrt(MuestraChi/v1)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
par(col.axis="#E52858", col.lab="#FB6311", col.main="#982E69")
hist(A, col = ColorF, density = 50, prob = T, las = 1,
     xlim = c(-6,6), ylim = c(0,0.4),
     main = "HISTOGRAMA DEL COMPORTAMIENTO DE T",
     xlab = expression(T==frac(Z,sqrt(X%/%v))), ylab = "Densidad")
lines(x, dt(x,v1), type = "l", col = "#1C8AFF", lwd = 2)

Visto lo anterior procederemos a simular el resultado a demostrar.

mu    <- 1
sigma <- 5
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
# Recorrido de la función para graficarla
x <- seq(-6, 6, length = 10000)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
Tam_Muestra   <- 5    # Probar con 10 y 100
Num_Muestras  <- 1000

Medias        <- NULL
Desviaciones  <- NULL
Muestras <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra)

for (i in 1:Num_Muestras) {
  Muestras[i,]    = rnorm(Tam_Muestra, mu, sigma)
  Medias[i]       = mean(Muestras[i,])
  Desviaciones[i] = sd(Muestras[i,])
}
A <- (Medias-mu)/(Desviaciones/sqrt(Tam_Muestra))
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
par(col.axis="#6281F0", col.lab="#EE2E2E", col.main="#5AEE38")
hist(A, col = ColorG, density = 50, prob = T, las = 1,
     xlim = c(-6,6), ylim = c(0,0.4),
     main = "HISTOGRAMA DEL COMPORTAMIENTO DE T",
     xlab = expression(T==frac(bar(X)-mu,s/sqrt(n))), ylab = "Densidad")
lines(x, dt(x, df = Tam_Muestra-1), type = "l", col = "#1C8AFF", lwd = 2)

9). DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES

Sea \(X_1, \cdots,X_n\) una muestra aleatoria de \(X \overset{d}{=} \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)\) y \(Y_1, \cdots,Y_n\) una muestra aleatoria de \(Y \overset{d}{=} \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)\), entonces,

\[(\overline{X}-\overline{Y}) \overset{d}{=} \large{\mathcal{N}} \left( \mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2} \right)\]

mu1 <- 8; sigma1 <- 4
mu2 <- 3; sigma2 <- 5
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
Num_Muestras  <- 1000

Tam_Muestra1  <- 30 # Probar con 10, 20 y 100
MediasNorm1   <- NULL
MuestraNorm1  <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra1)
for (i in 1:Num_Muestras) {
  MuestraNorm1[i,] = rnorm(Tam_Muestra1, mu1, sigma1)
  MediasNorm1[i]   = mean(MuestraNorm1[i,])
}
Tam_Muestra2  <- 50 # Probar con 10, 20 y 100
MediasNorm2   <- NULL
MuestraNorm2  <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra2)
for (i in 1:Num_Muestras) {
  MuestraNorm2[i,] = rnorm(Tam_Muestra2, mu2, sigma2)
  MediasNorm2[i]   = mean(MuestraNorm2[i,])
}
A <- MediasNorm1-MediasNorm2
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
par(col.axis="#FFA700", col.lab="#45B200", col.main="#FF2700")
hist(A, col = FullColor, density = 50, prob = T, las = 1,
     main = bquote("HISTOGRAMA DEL COMPORTAMIENTO DE "~bar(X)-bar(Y)),
     xlab = bquote(bar(X)-bar(Y)), ylab = "Densidad")

Mu    <- mu1-mu2
Sigma <- (sigma1/sqrt(Tam_Muestra1))+(sigma2/sqrt(Tam_Muestra2))
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
# Recorrido de la función para graficarla
Min <- Mu-3*Sigma; Max <- Mu+3*Sigma
x   <- seq(Min, Max, length = 10000)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
lines(x, dnorm(x,Mu,Sigma), type = "l", col = "2", lwd = 2)

10). DISTRIBUCIÓN \(F\) DE \(\text{Fisher-Snedecor}\)

\[X \overset{d}{=} \large{F_{(d_1, d_2)}}\]

  • 1). Función de densidad: \[ f(x) = \frac{\sqrt{\frac{(d_1 x)^{d_1} {d_2}^{d_2}}{(d_1 x + d_2)^{d_1+d_2}} }} {x \mathcal{B}\left(\frac{d_1}{2}, \frac{d_2}{2} \right)} \] Donde \(d_1, d_2, x>0\) y \(\mathcal{B}\) es la función beta

  • 2). Media: \[\mu = {\rm I\!E}(X) = \frac{d_2}{d_2-2}\] Para \(d_2>2\)

  • 3). Varianza: \[\sigma^2 = \textrm{Var}(X) = \frac{2d_2^2 (d_1+d_2-2)}{d_1(d_2-2)^2(d_2-4)}\] Para \(d_2>4\)

V1 <- c(1, 5, 10, 30, 100)
V2 <- c(1, 5, 10, 50, 100)
Colores <- c("#F13057","#F68118","#F9CA00","#AEF133","#19EE9F")
par(col.axis="#08BDBD", col.lab="#29BF12", fg="#C405C5", las=1)
for(i in 1:length(V1)){
  curve(df(x, df1 = V1[i], df2 = V2[i]), xlim = c(0,4), ylim = c(0,2),
        add = i>1, ylab = "Funcion de densidad de X",
        bty = "n", col = Colores[i], lwd = 2.5)
  legend(2.5, 0.1*i+1.5, legend = bquote(~"("~d[1]==.(V1[i])~","~d[2]==.(V2[i])~")"),
         col = Colores[i], lty = 1, box.col = "transparent", bg = "transparent",
         text.col = "black", cex = 1.5)
}
title(bquote(~"Densidad F para algunas combinaciones de ("~d[1]~","~d[2]~")"))

11). RELACIÓN ENTRE LA CHI-CUADRADO Y LA DISTRIBUCIÓN F

Sean \(X\) y \(Y\) variables aleatorias independientes, tal que \(X \overset{d}{=} \large{\chi^{2}_{(v_1)}}\) y \(Y \overset{d}{=} \large{\chi^{2}_{(v_2)}}\), entonces,

\[F = \frac{X/v_1}{Y/v_2} \overset{d}{=} \large{F_{(v_1, v_2)}}\]

set.seed(2019)
v1 <- 50
v2 <- 25
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
# Recorrido de la función para graficarla
x <- seq(0, 3, length = 1000)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
Tam_Muestra   <- 1
Num_Muestras  <- 100
MuestraChi1 <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra)
MuestraChi2 <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra)
for (i in 1:Num_Muestras) {
  MuestraChi1[i,]  = rchisq(Tam_Muestra, v1)
  MuestraChi2[i,]  = rchisq(Tam_Muestra, v2)
}
A <- (MuestraChi1/v1)/(MuestraChi2/v2)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
par(col.axis="#08BDBD", col.lab="#29BF12", col.main="#890389", fg="#F21B3F")
hist(A, col = rainbow(6), density = 50, prob = T, las = 1,
     main = "HISTOGRAMA DEL COMPORTAMIENTO DE F",
     xlab = expression(F==frac(X/v[1],V/v[2])),
     ylab = "Densidad", ylim = c(0,1.2))
lines(x, df(x, df1 = v1, df2 = v2), type = "l", col = "#07C631", lwd = 2)

12). COCIENTE DE VARIANZAS MUESTRALES

Sea \(X_1, \cdots,X_{n_1}\) una muestra aleatoria de \(X \overset{d}{=} \mathcal{N}(\mu_1, \sigma^2_1)\) y \(Y_1,\cdots,Y_{n_2}\) una muestra aleatoria de \(Y \overset{d}{=} \mathcal{N}(\mu_2, \sigma^2_2)\), entonces,

\[F = \frac{S^2_X/\sigma^2_1}{S^2_Y/\sigma^2_2} \overset{d}{=} \large{F_{(n_1-1), (n_2-1)}}\]

mu1    <- 0; sigma1 <- 2
mu2    <- 1; sigma2 <- 5
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
# Recorrido de la función para graficarla
x <- seq(0, 5, length = 10000)
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
Tam_Muestra1    <- 15
Tam_Muestra2    <- 15
Num_Muestras    <- 1000

Varianzas1 <- NULL
Varianzas2 <- NULL
MuestraNorm1 <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra1)
MuestraNorm2 <- matrix(0, nrow = Num_Muestras, ncol = Tam_Muestra2)

for (i in 1:Num_Muestras) {
  MuestraNorm1[i,] = rnorm(Tam_Muestra1, mu1, sigma1)
  MuestraNorm2[i,] = rnorm(Tam_Muestra1, mu2, sigma2)
  Varianzas1[i] = var(MuestraNorm1[i,])
  Varianzas2[i] = var(MuestraNorm2[i,])
}
A <- (Varianzas1/(sigma1^2))/(Varianzas2/(sigma2^2))
# - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - #
par(col.axis="#08BDBD", col.lab="#29BF12", col.main="#C405C5", fg="#F21B3F")
hist(A, col = rainbow(8), density = 50, prob = T, las = 1,
     main = "HISTOGRAMA DEL COMPORTAMIENTO DE F",
     xlab = expression(F==frac(S[X]^2%.%sigma[2]^2, S[Y]^2%.%sigma[1]^2)),
     ylab = "Densidad", xlim = c(0,5), ylim = c(0,0.9))
lines(x, df(x,df1 = Tam_Muestra1-1, df2 = Tam_Muestra2-1),
      type = "l", col = "#df1024", lwd = 2)

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