\(X \sim b( \eta,\rho )\)
Es una de las distribuciones de probabilidad más útiles ( ej. control de calidad, producción, investigación). Tiene que ver con el experimento aleatorio que produce en cada ensayo o prueba uno de dos resultados posibles mutuamente excluyentes: ocurrencia de un criterio o característica específico (llamado éxito) y no ocurrencia de éste (llamado fracaso). Los términos o calificativos de “éxito y fracaso” son solo etiquétas y su interpretación puede no corresponder con el resultado positivo o negativo de un experimento en la realidad.
\(f(x) = P(X=x)= \left \{ \begin{matrix} \left(\begin{array}{c}\eta\\ x\end{array}\right)\rho^{x}(1-\rho)^{x} & \mbox{para }x=\mbox{0,1,2,...,}\eta\\ 0 & \mbox{en otro caso}\end{matrix}\right.\)
donde \(\eta\) es entero y \(0 \leq \rho \leq 1\)
Suponga que el 90% de los habitantes de cierto pueblo ven regularmente televisión. De 1500 investigadores, cada uno encuesta 10 personas. Cuántos se espera que mencionen:
Solucion
\(n=10\) \(\rho=0.9\)
\(P(X \ge 3) , p=0.9\)
##cuando lower.tail = FALSE p[X > x]
##cuando lower.tail = TRUE p[X <= x]
pbinom(q=2, size = 10, p=0.9,lower.tail = FALSE)## [1] 0.9999996# o
1-pbinom(q=2, size = 10, p=0.9,lower.tail = TRUE)## [1] 0.9999996La probabilidad de que mas de 3 ven regularmente television es de 99.99%
1500*pbinom(q=3, size = 10, p=0.9,lower.tail = FALSE)## [1] 1499.986Se espera que mencionen 1500 * 0.9999999 = 1500 encuesta digan quue mas de 3 ven regularmente television
\(P(X \le 5), p=0.9\)
pbinom(q=5, size = 10, p=0.9,lower.tail = TRUE)## [1] 0.0016349371500*pbinom(q=5, size = 10, p=0.9,lower.tail = TRUE)## [1] 2.452406Por tanto se espera que 3 de las 1500 encuests aproximadamente digan que menos de 6 ven regularmente television
\(P(5 \le X \le 8 ), p=0.9\) \(P(5 \le X \le 8 )=P(X<=8)-P(X<5)\)
pbinom(q=8, size = 10, p=0.9,lower.tail = TRUE) - pbinom(q=4, size = 10, p=0.9,lower.tail = TRUE) ## [1] 0.2637542Por tanto se espera que 1500 * 0.2638 = 396 (aprox) encuestas digan que entre 5 y 8 ven regularmente television
\(P(X=10), p=0.9\)
dbinom(x=10, size = 10, prob = 0.9)## [1] 0.3486784Por tanto se espera que 1500 * 0.3487 = 524 (aprox) encuestas digan que todos ven regularmente television
dbinom(x=0, size = 10, prob = 0.9)## [1] 1e-10Por tanto se espera que ningun encuestador diga que no ven television
\(P(X \ge 5)= 1 - P(X \lt 5)\)
pbinom(q=4, size = 10, p=0.9,lower.tail = FALSE)## [1] 0.99985311- pbinom(q=4, size = 10, p=0.9,lower.tail = TRUE)## [1] 0.9998531Por tanto se espera que 1500 * 0.9983651 = 1497 digan que al menos 5 ven regularmente television
dbinom(x=6, size = 10, prob = 0.9)## [1] 0.01116026Por tanto se espera que 1500 * 0.01116026 = 17 digan que el 60% ven regularmente television
Al inspeccionar 2340 soldaduras producidas por cierta máquina se encontraron 448 uniones defectuosas. Al efectuar 15 soldaduras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener
Solucion
Sea \(X\) la variable aleatoria discreta de obtener una union defectuosa
\(n=15\) cantidad de ensayos independientes
\(\rho=448/2340= 0.191453\) Probabilidad de encontrar uniones defectuosas
\(x=0,1,2,3,4,...,15\) Valores que puede tomar \(X\)
Queremos obtener \(P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)\)
##cuando lower.tail = FALSE p[X > x]
##cuando lower.tail = TRUE p[X <= x]
pbinom(q=2, size = 15, p=0.191453, lower.tail = FALSE)## [1] 0.56924071 - pbinom(q=2, size = 15, p=0.191453, lower.tail = TRUE) ## [1] 0.5692407La probabilidad de obtener 3 o mas uniones defectuosas es 0.569
Queremos obtener $P(X \le 6 )$pbinom(q=6, size = 15, p=0.191453, lower.tail = TRUE)## [1] 0.9857337La probabilidad de tener 6 o menos uniones defectuosas es 0.9857337
Queremos encontrar \(P( 5 \lt X \lt 12 ) =P( X \le 11) -P ( X \le 5)\)
pbinom(q=11, size = 15, p=0.191453,lower.tail = TRUE) - pbinom(q=5, size = 15, p=0.191453,lower.tail = TRUE) ## [1] 0.05066758La probabilidad de encontrar mas de 5 pero menos de 12 uniones defectuoas es de 5.1%
Al lanzar 8 monedas
¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de 6 caras?
¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 5 caras?
¿Cuál es la probabilidad de obtener entre 3 y 7 caras?
Solucion
Este experimiento tiene caracteristica de un experimento binomial con:
Sea \(X\) la variable aleatoria discreta obtener una cara
\(n = 8\) cantidad de ensayos independientes
\(p = 0.5\) probabilidad de obtener una cada ensayo sea una cara
\(x =1,2,3,4,5,6,7,8\) Valores que puede tomar la variable \(X\)
\(P(X <= 5)\) probabilidad que debemos encontrar
pbinom(q=5, size = 8, p=0.5,lower.tail = TRUE)## [1] 0.8554688La probabilidad de obtener menos de 6 caras es de un 85.5%
\(P(X > 5)= 1 - P(X <= 5)\) probabilidad que debemos encontrar
1 - pbinom(q=5, size = 8, p=0.5,lower.tail = TRUE)## [1] 0.1445312## o tambien
pbinom(q=5, size = 8, p=0.5,lower.tail = FALSE)## [1] 0.1445313La probabilidad buscada es de 14.45%
\(P( 3 \le X \le 7) = P(X \le 7) - P(X \le 2)\)
pbinom(q=7, size = 8, p=0.5,lower.tail = TRUE) - pbinom(q=2, size = 8, p=0.5,lower.tail = TRUE)## [1] 0.8515625La probabilidad de obtener entre 3 y 7 caras es del 85.16%
Si el 20% de los cerrojos producidos por una máquina son defectuosos, determinar la probabilidad, de que de 18 cerrojos elegidos al azar:
5 cerrojos sean defectuosos
No mas de 6 cerrojos sean defectuosos
No haya ninguno defectuoso
solucion
Sea \(X\) la variable aleatoria discreta obtener un cerrojo defectuoso
\(n = 18\) cantidad de ensayos independientes
\(p = 0.2\) probabilidad de obtener un cerrojo defectuoso
\(x =1,2,3,4,5,6,7,8, ... ,18\) Valores que puede tomar la variable \(X\)
Queremos obtener \(P(X = 5)\)
dbinom(x=5, size = 18, prob = 0.2)## [1] 0.1507299# o tambien
pbinom(q=5, size = 18, p=0.2,lower.tail = TRUE) - pbinom(q=4, size = 18, p=0.2,lower.tail = TRUE)## [1] 0.1507299La probabilidad de tener 5 cerrojos defectuosos es de 15.07%
\(P(X \le 6)\)
pbinom(q=6, size = 18, p=0.2,lower.tail = TRUE) ## [1] 0.948729La probabilidad de obtener no mas d 6 cerrojos defectuosos es de 94.87%
Queremos obtener \(P(X=0)\)
dbinom(x=0, size = 18, prob = 0.2)## [1] 0.0180144# o
pbinom(q=0, size = 18, p=0.2,lower.tail = TRUE) ## [1] 0.0180144La probabilidad de obtener \(P(X=0)\) 0 cerrojos defectuosos es de 1.8%