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Algunas propiedades

\(P(A \cap B) = P(A / B)*P(B)\)

\(P(\overline{A})= 1- P(A)\)

\(P(A \cup B)= P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)

\(P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)\)

\(P({A} \cap \overline B) = P(A) - P(A \cap B)\)

\(P(\overline{A} \cup \overline{B})=P(\overline{A \cap B})= 1 - P(A \cap B)\)

\(P(\overline{A} \cap \overline{B})=P(\overline{A \cup B})= 1 - P(A \cup B)\)

PROBABILIDAD CONDICIONADA

La probabilidad condicional de un evento A, dado que ya ocurrio el evento B

\(P(A/B)= \frac {P(B \cap A)} {P(B)}, P(B)>0\)

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Sean los evento \(A_1\), \(A_2\), …, \(A_k\) una particion exhaustiva y mutuamente excluyente del espacio muestral \(S\) y sea \(B\) otro evento cualquiera en \(S\)

De tal forma que

\(P(A_i) \neq 0\) para \(i = 1,2,...,k\)

\(P(A_i \cap A_j) = 0\) ; \(\forall i\ne j\) es decir son eventos mutuamente excluyentes, \(A_i \cap A_j = \phi\)

\(P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ...\cup A_k) =1\) es decir eventos exhaustivos, puesto que \(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ...\cup A_k=S\)

entonces para cualquier evento \(B\) en \(S\)

Teorema de probabilidad total

\(P(B)=\sum_{i=1}^kP(A_i \cap B)=\sum_{i=1}^kP(A_i)P(B/A_i)\)

treeDiag(c("eventos apriori","eventos aposteriori"), c(0.10, 0.50, 0.40),
         list(c(0.5, 0.5), c(0.4, 0.6), c(0.25,  0.75)),
         c("A1", "A2", "A3"), c("B", "Bc"))

TEOREMA DE BAYES

Sean los evento \(A_1\), \(A_2\), …, \(A_k\) una particion exhaustiva y mutuamente excluyente del espacio muestral \(S\) y sea \(B\) otro evento cualquiera en \(S\), con \(P(A_i) \ne 0)\) para cada \(A_i\) y \(P(B) \ne 0\)

\(P(A_r/B) = \frac{P(A_r \cap B)}{P(B)}=\frac{P(A_r)P(B/A_r)}{\sum_{i=1}^kP(A_i)P(B/A_i)}\)

para \(r = 1,2,3,...,k\)

\(P(A_r)\) Probabilidad apriori de que la hipotesis \(A_r\) sea cierta

\(P(A_r/B)\) Probabilidad aposteriori de que la hipotesis \(A_r\) sea cierta, una vez que se ha observado \(B\)

\(P(B/A_r)\) es la verosimilitud , Probabilidad condicional , probabilidad de observar B si la hipotesis \(A_r\) es cierta

\(P(B)\) es la verosimilitud marginal la probabilidad de observar B independiente de que la hipotesis Ar sea cierta o no

\(P(B)\) Probabilidad total

Aqui se debe tener en cuenta:

-Los sucesos \(A_i\) deben ser mutuamente excluyentes, es decir puede ocurrir solo uno de ellos

-La union de probabilidades es el total, la unidad, y cada una debe ser distinta de 0 (sucesos exhaustivos)

-Se conocen totas las probabilidades \(P(B_r/A)\)

Clases de sucesos

Sucesos igualmente probable: lanzar una moneda, aparición de cara o sello.

Sucesos opuesto o contrario: siendo aquellos que se complementan básicamente.

Sucesos ciertos: una moneda con dos caras.

Sucesos imposibles: lanzar un dado y que aparezca en la cara superior un 8.

Sucesos compatibles: que puede suceder en una baraja, aparezca simultáneamente un seis y que sea oros.

Sucesos mutuamente excluyentes: al lanzar un dado, aparece un dos o un seis.

Sucesos independientes: al lanzar dos dados, obtener en el primero un dos y en el segundo, un seis.

Sucesos dependientes: la ocurrencia de uno afecta la ocurrencia del otro.

Punto 1

Todas las noches el Señor Herrera llega tarde a su casa. La Señora Herrera que es una buena esposa, le deja encendida la luz de la entrada. La probabilidad de que el Señor Herrera llegue borracho es del 60%. Si llega borracho hay una probabilidad del 90% de que se le olvide apagar la luz, en tanto que esta es solo del 5% si llega sobrio. ¿Cuál es la probabilidad que el Señor Herrera apague la luz en una noche cualquiera? Si el Señor Herrera apagó la luz, ¿cuál es la probabilidad que haya llegado borracho?

Sean los sucesos

A: El sr llega borracho

B: El sr NO apaga la luz

Espacio muestral

\(S = \{ {(A,B)},({\overline{A}, B}), (A,\overline{B}), ( \overline{A},\overline{B})\}\)

Datos

\(P(A)=0.6\) Probabilidad de que el sr Herrera llegue borracho

\(P(B/A)=0.9\) Probabilidad de que se le olvide apagar la luz dato que llega borracho

\(P(B/\overline{A})=0.05\) Probabilidad de que se se le olvide apagar la luz dado que llega sobrio

Solucion

  1. Probabilidad de que el señor Herrera apague la luz en una noche cualquiera \(P(\overline{B})\)

\(P(\overline{B})= P( \overline{B} \cap A) + P( \overline{B} \cap \overline{A} )\)

\(P(\overline{B})= P( \overline{B} / A )*P({A}) + P(\overline{B}/\overline{A})*P(\overline{A})\) (1)

\(P(\overline{A}) = 1 -P(A) = 1 - 0.6 = 0.4\) (2)

\(P(\overline{B}/ \overline{A}) = 1 - P(B/\overline{A})= 1 - 0.05 = 0.95\) (3)

\(P(\overline{B}/ A) = 1 - P(B/A)= 1 - 0.9 = 0.1\) (3)

Por tanto

\(P(\overline{B}) = 0.1*0.6 + 0.95*0.4 =0.44\)

Nota: \(P(C \cap D) = P(C / D)P(D)\)

  1. Si el Señor Herrera apagó la luz, ¿cuál es la probabilidad que haya llegado borracho?

\(P(A/\overline{B}) = \frac{P(A \cap \overline{B}) }{P(\overline{B})} = \frac{P(\overline{B}/A)*P(A)}{P(\overline{B})}=\frac{0.1*0.6}{0.44}=0.136\)

Punto 2

Se sabe por informes recientes que el 18% de los estudiantes de segundo de enseñanza sufren depresión en algún periodo de su escolarización, que el 2% piensa en el Suicidio y que el 19% sufre de depresión o piensa en el suicidio, ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de secundaria elegido aleatoriamente sufra de depresión y piense en el Suicidio?

Sean lo sucesos

A1: Un estudiante sufre depresion

A2: un estudiante piensa en el suicidio

Datos

\(P(A1)=0.18\)

\(P(A2)=0.02\)

\(P(A1 \cup A2 )=0.19\)

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de secundaria elegido aleatoriamente sufra de depresión y piense en el Suicidio?

\(P(A1 \cup A2 )=P(A1)+ P(A2) - P(A1 \cap A2)\)

Por tanto

\(P(A1 \cap A2) = P(A1)+P(A2)-P(A1 \cup A2)\) \(P(A1 \cap A2) = 0.18+0.02-0.19=0.01\)

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de secundaria elegido aleatoriamente sufra depresión pero no piense en el suicidio?

\(P(A1 \cap \overline{A2})= P(A1) - P(A1 \cap A2)\)

Por tanto

\(P(A1 \cap \overline{A2})= 0.18 - 0.01=0.17\)

Punto 3

En la seccional de salud se desea realizar un estudio tomando como base la edad de los de las personas con respecto al género y se tienen las siguientes probabilidades:

Además se sabe que la probabilidad de ser hombre en el grupo de 6 a 20 años es del 50%; en el grupo de 36 a 50 años es del 25% y la probabilidad de ser mujer en el grupo de 21 a 35 años es del 60%.

Se requiere saber cuál es la probabilidad de elegir:

  1. Un hombre y que tenga de 6 a 20 años

  2. Una persona que sea del grupo de 21 a 35 años dado que es hombre

  3. Elegir una persona que sea del grupo de 6 a 20 años o del grupo de 21 a 35 años

  4. Elegir un hombre o una persona que tenga entre 36 a 50 años.

  5. Elegir una mujer dado que tiene entre 36 a 50 años.

Construya árbol de decisiones y tabla de distribución de probabilidades.

SoluciÓn

Sean los sucesos

\(A\): elegir una persona del grupo de 6 a 20 años

\(B\): elegir una persona de 21 a 35 años

\(C\): Elegir una persona de 36 a 50 años

\(H\): persona es hombre

Datos

\(P(A)=0.10\)

\(P(B)=0.50\)

\(P(C)=0.40\)

\(P(H/A)=0.5\)

\(P(H/C)=0.25\)

\(P(M/B)=0.60\)

treeDiag(c("Grupos por edades","Genero"), c(0.10, 0.50, 0.40),
         list(c(0.5, 0.5), c(0.4, 0.6), c(0.25,  0.75)),
         c("A(6 a 20)", "B(21 a 35)", "C(36 a 50)"), c("H", "M"))

cuál es la probabilidad de elegir:

  1. Un hombre y que tenga de 6 a 20 años

\(P(H \cap A ) = P(A).P(H/A)\)

Por tanto

\(P(H \cap A ) = 0.1 * 0.5 = 0.05\)

  1. Una persona que sea del grupo de 21 a 35 años dado que es hombre

\(P(B/H) = \frac {P(B \cap H)}{ P(H)} = \frac {P({B})P(H/B)}{P(H)}\)

Por tanto

\(P(B/H)=\frac{0.5*0.4}{0.1*0.5 + 0.5*0.4+0.4*0.25}=\frac{0.2}{0.35}=0.5714\)

  1. Elegir una persona que sea del grupo de 6 a 20 años o del grupo de 21 a 35 años

\(P(A \cup B)= P(A) +P(B)=0.6\) Puesto que los sucesos pertenecer a un grupo de edad son mutuamente excluyentes

  1. Elegir un hombre o una persona que tenga entre 36 a 50 años

\(P(H \cup C)=P(H)+ P(C) - P( H\cap C)\) (1)

\(P(H) = P(A)*P(H/A) + P(B)*P(H/B) + P(C)*P(H/C)\)

\(\therefore\)

\(P(H) = 0.1*0.5 + 0.5*0.4 + 0.4*0.25 =0.35\) (2)

Ahora bien

\(P(C) = 0.4\) (3)

\(P(H \cap C) = P(H/C)P(C)= 0.25*0.4= 0.10\) (4)

Reemplazando (2), (3), (4) en (1) tenemos

\(P(H \cup C)=0.35 + 0.4 - 0.1 = 0.65\)

Probabilidad de elegir un hombre con rango de edad entre 36 y 50

\(P(C)=0.4\) Probabilidad de elegir una persona con rango de edad entre 36 y 50

  1. Elegir una mujer dado que tiene entre 36 a 50 años \(P(M/C)=0.75\)

Sucesos mutuamente excluyentes y sucesos compatibles

Punto 4

Suponga que se tienen 30 fichas de tres colores así: Amarillo, 15 fichas; negro, 10 fichas; y azul, 5 fichas. Al mezclarlas, ¿Cuál es la probabilidad, al sacar una de ellas, de que sea: a. Azul b. Azul o negra c. Amarilla o negra

sean los sucesos

A: sacar una ficha azul

B: Sacar una ficha negra

C: Sacar una ficha amarilla

  1. \(P(A)= 5/30=1/6\)

  2. \(P(A \cup B ) = P(A) + P(B) = 5/30 + 10/30 = 15/30=1/2\) puesto que los ensayos son mutuamente excluyentes

  3. \(P(C \cup B) = P(C)+ P(B)= 15/30 + 10/30 =25/30=5/6\)

Punto 5

En un grupo de estudiantes la probabilidad de obtener un puntaje bajo es 0.20; que se haya graduado en la universidad es 0.5 y que se den ambos es 0.05.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga un puntaje bajo o se haya graduado en la universidad?

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya graduado de la universidad dado que obtuvo un puntaje bajo?

Son sucesos compatibles, Sean los sucesos:

B: obtener un puntaje bajo

G: graduarse en la universidad

Tenemos:

\(P(B)=0.20\)

\(P(G)=0.50\)

\(P(B \cap G)=0.05\)

Puesto que son sucesos compatibles tenemos

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga un puntaje bajo o se haya graduado en la universidad?

\(P(B \cup G)=P(B)+P(G)-P(B \cap G)\)

Reemplazando tenemos

\(P(B \cup G)=0.20+0.50-0.05=0.65\)

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya graduado de la universidad dado que obtuvo un puntaje bajo?

\(P(G/B)= \frac {P(B \cap G)}{P(B)}\)

Reemplazando tenemos \(P(G/B)= \frac {0.05}{0.20}=0.25\)

Punto 6 (Teorema de Bayes)

Se sabe por los resultados obtenidos en otras evaluaciones que el 80% de los estudiantes de medicina estudian para el segundo parcial de biometría. También se conoce que la probabilidad de ganar el parcial entre quienes estudian para el parcial es de 90%, mientras que esa probabilidad disminuye al 1% cuando el estudiante no estudia para el parcial.

  1. En un grupo de 24 estudiantes ¿cuántos estudiantes se espera que ganen el parcial?

  2. Si un estudiante pierde el parcial ¿cuál es la probabilidad de que haya estudiado para aquel?

  3. Construya árbol de decisiones.

treeDiag(c("Estudia","Ganar"), c(0.80, 0.20),
         list(c(0.9, 0.1), c(0.01, 0.99)),
         c("estudia", "no estudia"), c("gana", "no gana"))

Solucion

Sean los sucesos

\(E\): estudiante escogido estudia para el segundo parcial

\(G\): estudiante escogido gana el segundo parcial

  1. En un grupo de 24 estudiantes ¿cuántos estudiantes se espera que ganen el parcial?

\(P(G) = P(E)P(G/E) + P(\overline{E})P(G/\overline{E})\)

\(P(G) = 0.8 * 0.9 + 0.2 * 0.01 = 0.722\)

Por tanto se esperan que ganen el parcial 24*0.722 = 18 estudiantes

  1. Si un estudiante pierde el parcial ¿cuál es la probabilidad de que haya estudiado para aquel?

\(P(E / \overline{G})=\frac{P(E)P(\overline{G}/E)}{P(\overline{G} )}\)

Usamos el teorema de probabilidad total \(P(\overline{G})=P(E)P(\overline{G}/E) + P(\overline{E})P(\overline{G}/\overline{E})\)

\(P(\overline{G})=0.8*0.1 + 0.2*0.99 =0.278\)

Por tanto

\(P(E / \overline{G})=\frac{0.8* 0.1}{0.278 }=0.2877698\)

Punto 7

Se extrae al azar una carta de una baraja de 40 cartas. Sea A el suceso de que la carta elegida es un Rey y B el suceso de que la carta elegida sea Copas.

  1. Calcular la probabilidad de que al menos uno de los sucesos A y B ocurra.

Solucion

Sean

A el suceso de que se escoja un rey

B el suceso de que se escoja una carta de copas

\(P(A)= 4/40 =0.1\)

\(P(B) = 10/40=0.25\)

\(P(A \cap B) = 1/40\)

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

Tenemos

\(P(A \cap B) = P(B). P(A/B)\)

\(P(A \cap B) = 0.25 * 0.1 = 0.025\)

\(P(A \cup B) = 0.1 + 0.25 - 0.025 = 0.325\)

Punto 8

Cuando agregamos un antibiótico al cultivo de una cepa de bacterias encontramos que de 7627 bacterias 4036 murieron en 1 hora.

  1. ¿Cuál es la probabilidad que tiene una bacteria de morir en una hora?

b.Suponiendo que lo sucedido a una bacteria es independiente de lo sucedido a la otra y que la probabilidad de morir es constante ¿cuantas bacterias se esperaria que murieran al cabo de la segunda hora?

  1. Cuantas se esperaria que sobrevivieran las primeras dos horas?

solucion

sea el evento morir en una hora

  1. ¿Cuál es la probabilidad que tiene una bacteria de morir en una hora?

\(P(M)= 4036 / 7627 = 0.5291727\)

  1. Suponiendo que lo sucedido a una bacteria es independiente de lo sucedido a la otra y que la probabilidad de morir es constante ¿cuantas bacterias se esperaria que murieran al cabo de la segunda hora?

A la segunda hora llegan vivas \(7627 - 4036 = 3591\) bacterias

Se espera que mueran \(3591*0.53 = 1903\) bacterias

  1. Cuantas se esperaria que sobrevivieran las primeras dos horas?

En las primeras dos horas se espera que sobrevivan \(3591 - 1903 = 1688\) bacterias

Punto9 (Concepto de independencia)

En un grupo de preparatoria que consta de 60 mujeres y 40 varones, se observa que 24 chicas y 16 muchachos usan lentes. Si un estudiante es elegido aleatoriamente:

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que use lentes?

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar use lentes dado que es un estudiante varón?

  3. ¿Cuál es la probabilidad de ambos eventos, que el estudiante use lentes y sea un varón, ocurran simultáneamente?

Tabla simple
– Mujeres Varones Total
Usan lentes 24 16 40
No usan lentes 36 24 60
Total 60 40 100

Solucion

Sean los sucesos L: Usar lente V: ser varon

  1. La probabilidad de usar lentes es:

\(P(L)=40/100=0.4\)

  1. probabilidad de que un estudiante elegido al azar use lentes dado que es un estudiante varón?

\(P(L/V)= \frac { P(V \cap L )}{P(V)}\)

Por tanto

\(P(L/V)= \frac {0.16}{0.40}=0.4\)

La informacion adicional de que el estudiante es un varon no altera la probabilidad de que el estudiante use lentes y \(P(L)= P(L/V)\) se puede decir que el evento “Ser varon” y “Usar lentes” en ese grupo son independientes

Demostremos que el evento de “Usar lentes” y “No ser varon” \(\overline{V}\) tambien son independientes

\(P(L/\overline{V})=\frac{P(\overline{V} \cap L)}{P(\overline{V})}\)

Reemplazamos

\(P(L/\overline{V})=\frac{0.24}{0.60}= 0.40\)

Observamos la misma probabilidad , por tanto el evento “Usar lentes” es independiente de “Sexo”

  1. ¿Cuál es la probabilidad de ambos eventos, que el estudiante use lentes y sea un varón, ocurran simultáneamente?

\(P(L \cap V) = P(V)*P(L/V)\)

Por tanto

\(P(L \cap V) = P(V)*P(L)\) puesto que \(P(L/V)=P(L)\)

\(P(L \cap V) = 0.40*0.40 = 0.16\)

Punto 10 (probabilidad condicional)

La probabilidad de que un paciente seleccionado aleatoriamente entre los residentes actuales de un hospital sea del sexo masculino es de 0.6. La probabilidad de que el paciente sea del sexo masculino y haya sido internado para cirugía es de 0,2. Un paciente seleccionado aleatoriamente entre los residentes actuales es del sexo masculino,

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que es paciente este internado para cirugía?

Sean los sucesos

A: Paciente seleccionado es de sexo masculino

B: paciente internado para cirugia

Datos:

\(P(A) = 0.6\)

\(P(A \cap B ) = 0.2\)

Aqui tenemos la probabilidad de que un paciente este internado en cirugia dado que es de sexo masculino

Claramente es una probabilidad condicional porque ya te aclara que es hombre por lo tanto no trabaja sobre la totalidad de la gente sino ya sabemos de antemano que es hombre .

\(P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)

Por tanto

\(P(B/A) = \frac{0.2}{0.6} = 1/3 = 0.333\)

Conclusion :

No se debe confundir la Probabilidad conjunta con la condicional. Una cosa es que te pregunten cual es la probabilidad de que una persona sea rubia y trabaje ( Ahi es conjunta ) y otra bien distinta es Habiendo una persona sido rubia , ¿ Cual es la probabilidad de que trabaje? , en este caso ya se sabe de antEmano que es rubia .

Punto 11

En cierta población de pacientes hospitalizados la probabilidad de que un paciente, seleccionado aleatoriamente, esté enfermo del corazón es de 0,35. La probabilidad de que un paciente enfermo del corazón sea fumador es de 0,86.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente seleccionado aleatoriamente, de esta población, sea fumador y esté enfermo del corazón?

solucion

Sean los sucesos

\(C\) estar enfermo del corazon

\(F\) ser fumador

\(P(C) = 0.35\)

\(P(F/C)=0.86\)

Tenemos:

\(P(C \cap F) = P(C)*P(F/C)\)

Por tanto

\(P(C \cap F) = 0.35*0.86=0.301\)

Punto 12

La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de una alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta si se ha producido algun incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningun incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma. ¿cual es la probabilidad de que no haya habido ningun incidente?

Sean los eventoS

I: se produce un incidente

S: suena la alarma

Solucion

Estan preguntando por:

\(P(\overline{I} / {S})= \frac{ P(\overline{I})P(S/ \overline{I})}{P(S)}\)

\(P(\overline{I} / {S})= \frac{ 0.9 * 0.02}{0.1*0.97+0.9*0.02}=0.157\)

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###Bibliografia

https://kupdf.net/viewer/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Fkupdf.net%2FdownloadFile%2F59ea470b08bbc58b08e65334%3Fpreview%3D1#zoom=page-fit

https://jonathanweisberg.org/vip/chbayes.html#chbayes

https://cyberhelp.sesync.org/blog/visualization-with-diagrammeR.html