Distribuciones de probabilidad continuas

Se les denomina continuas, debido a que sus eventos siempre asumen valores intermedios entre dos numeros cualesquiera que puedan darse.

Distribución de probabilidad normal \(X{\sim}N(\mu,\sigma^2)\)

También llamada distribución de Gauss, distribución gaussiana o distribución de Laplace-Gauss, corresponde una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en estadística y en la teoría de probabilidades.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto a sus parámetros media, mediana y moda, que resultan siendo el mismo valor. Esta curva se conoce como campana de Gauss.

Su importancia radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos; también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos de una regresión lineal.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son las siguientes:

caracteres morfológicos de individuos como la estatura;
caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;
caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
nivel de ruido en telecomunicaciones;
errores cometidos al medir ciertas magnitudes

De igual forma aparece en muchas áreas de la propia estadística; entre ellas: la distribución muestral de las medias muestrales \(\bar{x}_{size}\) es aproximadamente normal aún cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no lo sea.

La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests o pruebas estadísticas se basados en la normalidad de los datos bajo estudio o análisis y que puede ser más o menos justificada.

Nota

En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas.

Función de probabilidades \(f_{X}\)

\[ P(X=x)=\frac{1}{{sd}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-{mean}}{{sd}}\right)^{2}}\text{ con }-\infty{\leq}x{\leq}\infty \]

args(dnorm)

## function (x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE) 
## NULL

Esperanza \(\mu_{x}\)

\[ \mu_{x}=\int_{-\infty}^{\infty}x{\cdot}\frac{1}{{sd}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-{mean}}{{sd}}\right)^{2}}dx={mean} \]

Varianza \(\sigma_{x}^{2}\)

\[ \sigma_{x}^{2}=\int_{x=-\infty}^{\infty}\left(x-{mean}\right)^{2}{\cdot}\frac{1}{{sd}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-{mean}}{{sd}}\right)^{2}}dx={sd}^{2} \]

Ejemplo

library(ggfortify)

## Loading required package: ggplot2

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## 'rlang::last_warnings' when loading 'tibble'

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## 'rlang::check_dots_empty' when loading 'tibble'

densidad.normal <- function(mean, sd, colour = NULL, p = NULL) ggdistribution(dnorm, seq(mean-3*sd, mean+3*sd, 0.1), mean = mean, sd = sd, colour = colour, p = p)

densidad.normal(mean = 0, sd = 1, colour = "black", p = densidad.normal(mean = 0, sd = 0.5, colour = "blue", p = densidad.normal(mean = 2, sd = 1, colour = "green", p = densidad.normal(mean = 0, sd = 2, colour = "red"))))

library(ggfortify)
distribucion.normal <- function(mean, sd, colour = NULL, p = NULL)  ggdistribution(pnorm, seq(mean-3*sd, mean+3*sd, 0.1), mean = mean, sd = sd, colour = colour, p = p)

\[ P(X{\leq}x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{{sd}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-{mean}}{{sd}}\right)^{2}}dx\text{ con }-\infty{\leq}x{\leq}\infty \]

distribucion.normal(mean = 0, sd = 1, colour = "black", p = distribucion.normal(mean = 0, sd = 0.5, colour = "blue", p = distribucion.normal(mean = 2, sd = 1, colour = "green", p = distribucion.normal(mean = 0, sd = 2, colour = "red"))))

Estandarización de una distribución normal \(X{\sim}N(mean,sd^2)\)

\[ \text{Si }{x}\sim{N(mean,sd^2)}\text{ entonces }z=\frac{x-mean}{sd}\sim{N(0,1^2)} \]

Ejemplos

Estandarización de una variable aleatoria con media igual a 0 y desviación estándar igual a 0.5

\[ \text{Si }{azul}\sim{N(0,0.5^2)}\text{ entonces }z=\frac{azul-0}{0.5}\sim{N(0,1^2)} \]

azul <- rnorm(n = 10000000, mean = 0, sd = 0.5)
cat("la media de la variable aleatoria azul es: ", round(mean(azul),1)," y ","la desviación estándar de la variable aleatoria azul es: ", round(sd(azul),1))

## la media de la variable aleatoria azul es:  0  y  la desviación estándar de la variable aleatoria azul es:  0.5

z <- (azul - round(mean(azul),1))/round(sd(azul),1)
cat("la media de la variable aleatoria z es: ", round(mean(z),1)," y ","la desviación estándar la variable aleatoria z es: ", round(sd(z),1))

## la media de la variable aleatoria z es:  0  y  la desviación estándar la variable aleatoria z es:  1

Estandarización de una variable aleatoria con media igual a 2 y desviación estándar igual a 1

\[ \text{Si }{verde}\sim{N(2,1^2)}\text{ entonces }z=\frac{verde-2}{1}\sim{N(0,1^2)} \]

verde <- rnorm(n = 10000000, mean = 2, sd = 1)
cat("la media la variable aleatoria verde es: ", round(mean(verde),1)," y ","la desviación estándar la variable aleatoria verde es: ", round(sd(verde),1))

## la media la variable aleatoria verde es:  2  y  la desviación estándar la variable aleatoria verde es:  1

z <- (verde - round(mean(verde),1))/round(sd(verde),1)
cat("la media de la variable aleatoria z es: ", round(mean(z),1)," y ","la desviación estándar de la variable aleatoria z es: ", round(sd(z),1))

## la media de la variable aleatoria z es:  0  y  la desviación estándar de la variable aleatoria z es:  1

Estandarización de una variable aleatoria con media igual a 0 y desviación estándar igual a 2

\[\text{Si }{rojo}\sim{N(0,2^2)}\text{ entonces }z=\frac{rojo-0}{2}\sim{N(0,1^2)}\]

rojo <- rnorm(n = 10000000, mean = 0, sd = 2)
cat("la media de la variable aleatoria verde es: ", round(mean(rojo),1)," y ","la desviación estándar de la variable aleatoria verde es: ", round(sd(rojo),1))

## la media de la variable aleatoria verde es:  0  y  la desviación estándar de la variable aleatoria verde es:  2

z <- (rojo - round(mean(rojo),1))/round(sd(rojo),1)
cat("la media de la variable aleatoria z es: ", round(mean(z),1)," y ","la desviación estándar de la variable aleatoria z es: ", round(sd(z),1))

## la media de la variable aleatoria z es:  0  y  la desviación estándar de la variable aleatoria z es:  1

Estandarización de una variable aleatoria con media igual a 176 y desviación estándar igual a 15, que puede ser la distribución de las estaturas de los individuos en una población cuyo promedio de estaturas sea igual 176 centímetros y en promedio se alejen de este valor en 15 centimetros. Se toma una muestra de diez mil individuos para ilustrar.

\[ P(\text{ESTATURA}=estatura)=\frac{1}{{15}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{estatura-{176}}{{15}}\right)^{2}}\text{ con }-\infty{\leq}x{\leq}\infty \]

estaturas <- rnorm(n = 10000, mean = 176, sd = 7)
cat("la media de las estaturas es: ", round(mean(estaturas),1)," y ","la desviación estándar de las estaturas es: ", round(sd(estaturas),1))

## la media de las estaturas es:  176  y  la desviación estándar de las estaturas es:  7

library(ggplot2)
qplot(estaturas, geom = "histogram", bins = 30, main="Histograma de las estaturas", xlab="Estaturas", fill=I("blue"))

z <- (estaturas - mean(estaturas))/sd(estaturas)
cat("la media de z es: ", round(mean(z),1)," y ","la desviación estándar de z es: ", round(sd(z),1))

## la media de z es:  0  y  la desviación estándar de z es:  1

library(ggplot2)
qplot(z, geom = "histogram", bins = 30, main="Histograma de las estaturas estandarizadas", xlab="Estaturas estandarizadas", fill=I("blue"))

Estandarización de la media muestral para cualquier distribución \(X{\sim}Dens(\cdot)\)

\[\text{Si }{x}\sim{P(\cdot)}\text{ entonces }Z=\frac{\bar{x}_{size}-{mean}}{\frac{sd}{\sqrt{size}}}\stackrel{zise{\rightarrow}\infty}{\sim}{N(0,1)}\]

Ejemplo

Salarios de mil personas y muestras de tamaño cuarenta, con personas en estrato 1 y 2.

\[ \text{Si }{ingresos}\sim{Exp(rate)}\text{ entonces }\overline{ingresos}_{zise}\stackrel{zise{\rightarrow}\infty}{\sim}{N(\frac{1}{rate},\frac{1}{{rate^2}\cdot{zise}})} \]

\[ \text{Si }{ingresos}\sim{Exp(rate)}\text{ entonces }Z=\frac{\overline{ingresos}_{zise}-{\frac{1}{rate}}}{\frac{1}{{rate}\sqrt{zise}}}\stackrel{zise{\rightarrow}\infty}{\sim}{N(0,1)} \]

\(zise=40\)

rate <- 1/877803
size <- 40
average <- NULL
for(i in 1:1000)
    average <- c(average, mean(rexp(n = size, rate = rate)))

library(ggplot2)
qplot(rexp(n = 1000, rate = rate), geom = "density")

theo_mean <- 1/rate
cat("Media teorica de los ingresos en la población ", theo_mean)

## Media teorica de los ingresos en la población  877803

sample_mean <- mean(average)
cat("Media muestral de los mil datos simulados", sample_mean)

## Media muestral de los mil datos simulados 874915.3

thvar <- (rate * sqrt(size)) ^ -2
cat("Varianza teorica de los ingresos en la población ", thvar)

## Varianza teorica de los ingresos en la población  19263452670

samvar <- var(average)
cat("Varianza muestral de los mil datos simulados", samvar)

## Varianza muestral de los mil datos simulados 20579204389

library(ggplot2)
dfRowMeans<-data.frame(average)
mp<-ggplot(dfRowMeans,aes(x=average))
mp<-mp+geom_histogram(fill="gray",color="black",aes(y = ..density..))
mp<-mp + labs(title="Densidad para los 40 números de la distribución exponencial", x="Promedios para los 40 números", y="Densidad")
mp<-mp + geom_vline(xintercept=sample_mean,size=1.0, color="black")
mp<-mp + stat_function(fun=dnorm,args=list(mean=sample_mean, sd=sqrt(samvar)),color = "blue", size = 1.0)
mp<-mp + geom_vline(xintercept=theo_mean,size=1.0,color="yellow",linetype = "longdash")
mp<-mp + stat_function(fun=dnorm,args=list(mean=theo_mean, sd=sqrt(thvar)),color = "red", size = 1.0)
mp

## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

Ejemplos y ejrcicios

Para una distribución normal con media mean y desviación estándar sd calcular, en cada caso, la probabilidad \(P(X=a)\) y \(P(X<a)=P(X{\leq}a)\) solicitada en cada caso

\[ P(X=x)=\frac{1}{{sd}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-{mean}}{{sd}}\right)^{2}}\text{ con }-\infty{\leq}x{\leq}\infty \]

\(P(X=a)\) con mean = 0, sd = 1 y a = 0

\[ P(X=0)=\frac{1}{{1}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{0-{0}}{{1}}\right)^{2}}\text{ con }-\infty{\leq}x{\leq}\infty \]

1/sqrt(2*pi)

## [1] 0.3989423

a <- 0

library(ggfortify)
ggdistribution(dnorm, seq(0-3*1, 0+3*1, 0.1), mean = 0, sd = 1, colour = "blue", p = ggdistribution(dnorm, seq(a-0.05, a+0.05, 0.1), mean = 0, sd = 1, colour = "blue", fill = "blue"))

dnorm(x = a, mean = 0, sd = 1)

## [1] 0.3989423

\[ P(X=0)=\frac{1}{{1}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{0-{0}}{{1}}\right)^{2}}{\approx}P(X{\leq}0+0.5)-P(X{\leq}0-0.5) \]

\[ P(X{\leq}0+0.5)-P(X{\leq}0-0.5)=\int_{-\infty}^{0+0.5}\frac{1}{{1}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-{0}}{{1}}\right)^{2}}dx-\int_{-\infty}^{0-0.5}\frac{1}{{1}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-{0}}{{1}}\right)^{2}}dx \]

densidad.normal.aproximada <- function(epsilon) pnorm(q = a + epsilon, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE) - pnorm(q = a - epsilon, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE)

densidad.normal.aproximada(0.5)

## [1] 0.3829249

\(P(X{\leq}a)\) con mean = 0, sd = 1 y a = 0

a <- 0

library(ggfortify)
ggdistribution(dnorm, seq(0-3*1, 0+3*1, 0.1), mean = 0, sd = 1, colour = "blue", p = ggdistribution(dnorm, seq(0-3*1, a, 0.1), mean = 0, sd = 1, colour = "blue", fill = "blue"))

pnorm(q = a, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.5

library(ggfortify)
ggdistribution(pnorm, seq(0-3*1, 0+3*1, 0.1), mean = 0, sd = 1, colour = "blue", p = ggdistribution(pnorm, seq(a-0.05, a+0.05, 0.1), mean = 0, sd = 1, colour = "blue", fill = "blue"))

\(P(a{\leq}X{\leq}b)\) con mean = 0, sd = 1, a = 0 y b = 2

a <- 0
b <- 2

library(ggfortify)
ggdistribution(dnorm, seq(0-3*1, 0+3*1, 0.1), mean = 0, sd = 1, colour = "blue", p = ggdistribution(dnorm, seq(a, b, 0.1), mean = 0, sd = 1, colour = "blue", fill = "blue"))

pnorm(q = b, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE) - 0.5

## [1] 0.4772499

pnorm(q = b, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE) - pnorm(q = a, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.4772499

library(ggfortify)
ggdistribution(pnorm, seq(0-3*1, 0+3*1, 0.1), mean = 0, sd = 1, colour = "blue", p = ggdistribution(pnorm, seq(b-0.05, b+0.05, 0.1), mean = 0, sd = 1, colour = "blue", fill = "blue", p = ggdistribution(pnorm, seq(a-0.05, a+0.05, 0.1), mean = 0, sd = 1, colour = "blue", fill = "blue")))

mean = -0.55, sd = 1.85 y a = 1.77
mean = 1.78, sd = 2.88 y a = -1.9
mean = 1.32, sd = 0.58 y a = -2.52
mean = -1.83, sd = 0.14 y a = -1.14

Distribución de probabilidad t-student \(t_{n-1}\)

Es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media \(\mu\) (o mean), cuando la desviación estándar poblacional \(\sigma\) (o sd) es desconocida de una población normalmente distribuida y cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

\[ \text{Si }{x}\sim{P(\cdot)}\text{ entonces }t=\frac{\bar{x}_{size}-{mean}}{\frac{\widehat{sd}}{\sqrt{size}}}{\sim}t_{df} \]

args(dt)

## function (x, df, ncp, log = FALSE) 
## NULL

Fue desarrollada por William Sealy Gosset, bajo el seudónimo Student.

Nota

Los grados de libertad \(df=size-1\) hacen alusión a lo siguiente:

\[ \widehat{sd^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{size}\left(x_{i}-\bar{x}_{size}\right)^{2}}{size-1} \]

la anterior expresion se basa en el hecho de que si bien \({s}_{x}^{2}=\widehat{sd^{2}}\) esta basada en \(n\) cantidades \(x_{i}-\bar{x}_{n}\) con \(i=1,2,\ldots,n\), dichas cantidades suman cero; de esta manera al específicar los valores de cualesquiera \(n-1\) de dichas cantidades queda determinado el valor restante.

\[ \sum_{i=1}^{size}\left(x_{i}-\bar{x}_{size}\right)=0 \]

Asi que:

\[ \sum_{i=1}^{size}\left(x_{i}-\bar{x}_{size}\right)-\left(x_{k}-\bar{x}_{size}\right)=0-\left(x_{k}-\bar{x}_{size}\right) \]

\[ \sum_{i=1,\text{ con }i{\neq}k}^{size}\left(x_{i}-\bar{x}_{size}\right)=-\left(x_{k}-\bar{x}_{size}\right) \]

\[ \bar{x}_{size}-\sum_{i=1,\text{ con }i{\neq}k}^{size}\left(x_{i}-\bar{x}_{size}\right)=x_{k} \]

Insesgamiento

\[E(\bar{x}_{size}) = mean\]

\[E(\widehat{sd^2}) = sd^2\]

En resumen, si se conocen \(n-1\) sumandos el que resta no es desconocido, es igual a la suma de los otros multiplicada por menos uno.

Función de probabilidades \(f_{X}\)

\[ P(X=x)=\frac{\Gamma\left(\frac{{df}+1}{2}\right)}{\sqrt{{df}\pi}\Gamma\left(\frac{{df}}{2}\right)}\left(1+\frac{{t}^{2}}{{df}}\right)\text{ con }-\infty{\leq}x{\leq}\infty \]

args(dt)

## function (x, df, ncp, log = FALSE) 
## NULL

Esperanza \(\mu_{x}\)

\[ \mu_{x}=\int_{-\infty}^{\infty}x{\cdot}\frac{\Gamma\left(\frac{{df}+1}{2}\right)}{\sqrt{{df}\pi}\Gamma\left(\frac{{df}}{2}\right)}\left(1+\frac{{t}^{2}}{{df}}\right)dx=0 \]

Varianza \(\sigma_{x}^{2}\)

\[ \sigma_{x}^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(x-\mu_{x}\right)^{2}{\cdot}\frac{\Gamma\left(\frac{{df}+1}{2}\right)}{\sqrt{{df}\pi}\Gamma\left(\frac{{df}}{2}\right)}\left(1+\frac{{t}^{2}}{{df}}\right)dx=\frac{{df}}{{df}-2}\text{ para }{df}>2 \]

Ejemplo

library(ggfortify)
densidad.tstudent <- function(df, colour = NULL, p = NULL) ggdistribution(dt, seq(-3, 3, 0.1), df = df, colour = colour, p = p)

densidad.tstudent(df = 1, colour = "black", p = densidad.tstudent(df = 5, colour = "blue", p = densidad.tstudent(df = 11, colour = "green", p = densidad.tstudent(df = 30, colour = "red"))))

library(ggfortify)
distribucion.tstudent <- function(df, colour = NULL, p = NULL)  ggdistribution(pt, seq(-3, 3, 0.1), df = df, colour = colour, p = p)

distribucion.tstudent(df = 1, colour = "black", p = distribucion.tstudent(df = 5, colour = "blue", p = distribucion.tstudent(df = 11, colour = "green", p = distribucion.tstudent(df = 30, colour = "red"))))

Ejercicios

Para una distribución t-student con grados de libertad df, en cada caso, la probabilidad \(P(X=a)\), \(P(X<a)=P(X{\leq}a)\) y \(P(X<a)=P(a{\leq}X{\leq}b)\) solicitada en cada caso

\(P(X=a)\) con df = 1

a <- 0

library(ggfortify)
ggdistribution(dt, seq(-3, +3, 0.1), df = 1, colour = "blue", p = ggdistribution(dt, seq(a-0.05, a+0.05, 0.1), df = 1, colour = "blue", fill = "blue"))

dt(x = a, df = 1)

## [1] 0.3183099

pt(q = a + 0.5, df = 1, lower.tail = TRUE) - pt(q = a - 0.5, df = 1, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.2951672

\(P(X{\leq}a)\) con df = 1 y a = 0

a <- 0

library(ggfortify)
ggdistribution(dt, seq(-3, +3, 0.1), df = 1, colour = "blue", p = ggdistribution(dt, seq(-3, a, 0.1), df = 1, colour = "blue", fill = "blue"))

pt(q = a, df = 1, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.5

library(ggfortify)
ggdistribution(pt, seq(-3, +3, 0.1), df = 1, colour = "blue", p = ggdistribution(pt, seq(a-0.05, a+0.05, 0.1), df = 1, colour = "blue", fill = "blue"))

\(P(a{\leq}X{\leq}b)\) con df = 1, a = 0 y b = 2

a <- 0
b <- 2

library(ggfortify)
ggdistribution(dt, seq(-3, +3, 0.1), df = 1, colour = "blue", p = ggdistribution(dt, seq(a, b, 0.1), df = 1, colour = "blue", fill = "blue"))

pt(q = b, df = 1, lower.tail = TRUE) - 0.5

## [1] 0.3524164

pt(q = b, df = 1, lower.tail = TRUE) - pt(q = a, df = 1, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.3524164

library(ggfortify)
ggdistribution(pt, seq(-3, +3, 0.1), df = 1, colour = "blue", p = ggdistribution(pt, seq(b-0.05, b+0.05, 0.1), df = 1, colour = "blue", fill = "blue", p = ggdistribution(pt, seq(a-0.05, a+0.05, 0.1), df = 1, colour = "blue", fill = "blue")))

df = 9 y a = -1.4
df = 11 y a = 0.75
df = 8 y a = 1.52
df = 1 y a = 2.53

Distribución de probabilidad exponencial \(Exp(\lambda)\)

Muy comunmente utilizada para variables que describen el tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson; depende de un solo parámetro \(\lambda\) o el tiempo hasta que se produce un determinado hecho o suceso. De gran utilidad en situaciones como las siguientes:

Distribución del tiempo de espera entre sucesos de un proceso de Poisson
Distribución del tiempo que transcurre hasta que se produce un fallo, si se cumple la condición que la probabilidad de producirse un fallo en un instante no depende del tiempo transcurrido.

Función de probabilidades \(f_{X}\)

\[P(X=x)={rate}\cdot{e}^{-{rate}\cdot{x}}\text{ con }0{\leq}x{\leq}\infty\text{ y }{rate}>0\]

args(dexp)

## function (x, rate = 1, log = FALSE) 
## NULL

Esperanza \(\mu_{x}\)

\[ \mu_{x}=\int_{0}^{\infty}x{\cdot}{rate}\cdot{e}^{-{rate}\cdot{x}}dx=\frac{1}{{rate}} \]

Varianza \(\sigma_{x}^{2}\)

\[\sigma_{x}^{2}=\int_{0}^{\infty}\left(x-\mu_{x}\right)^{2}{\cdot}{rate}\cdot{e}^{-{rate}\cdot{x}}dx=\frac{1}{{rate}^{2}}\]

Ejemplo

library(ggfortify)
densidad.exponencial <- function(rate, colour = NULL, p = NULL) ggdistribution(dexp, seq(-0, 3, 0.1), rate = rate, colour = colour, p = p)

densidad.exponencial(rate = 1, colour = "black", p = densidad.exponencial(rate = 7, colour = "blue", p = densidad.exponencial(rate = 13, colour = "green", p = densidad.exponencial(rate = 17, colour = "red"))))

library(ggfortify)
distribucion.exponencial <- function(rate, colour = NULL, p = NULL) ggdistribution(pexp, seq(-0, 3, 0.1), rate = rate, colour = colour, p = p)

distribucion.exponencial(rate = 1, colour = "black", p = distribucion.exponencial(rate = 7, colour = "blue", p = distribucion.exponencial(rate = 13, colour = "green", p = distribucion.exponencial(rate = 17, colour = "red"))))

Distribución de probabilidad ji o chi cuadrado \(\chi^2_{n}\)

Conocida como distribución de Pearson, ji cuadrada(o) o chi cuadrado(a), es una distribución de probabilidad continua con un único parámetro \(n\) que representa los grados de libertad de dicha variable aleatoria construida de la siguiente manera:

\[X=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\cdots+Z_{n}^{2}\]

Donde cada \(Z_{i}\) representa una variable aleatoria normal e independiente del resto, la probabilidad de que \(Z_{i}\) tome un valor en partícular no depende del valor que puedan tomar las otras; para cada una de ellas su media cero y su varianza es uno.

Función de probabilidades \(f_{X}\)

\[ P(X=x)=\frac{\frac{1}{2}^{\frac{df}{2}}}{\Gamma\left(\frac{df}{2}\right)}x^{\frac{df}{2}-1}e^{-\frac{df}{2}}\text{ con }0{\leq}x{\leq}\infty\text{ y }{df}>0 \]

args(dchisq)

## function (x, df, ncp = 0, log = FALSE) 
## NULL

Esperanza \(\mu_{x}\)

\[ \mu_{x}=\int_{0}^{\infty}x{\cdot}\frac{\frac{1}{2}^{\frac{df}{2}}}{\Gamma\left(\frac{df}{2}\right)}x^{\frac{df}{2}-1}e^{-\frac{df}{2}}dx={df} \]

Varianza \(\sigma_{x}^{2}\)

\[ \sigma_{x}^{2}=\int_{0}^{\infty}\left(x-\mu_{x}\right)^{2}{\cdot}\frac{\frac{1}{2}^{\frac{df}{2}}}{\Gamma\left(\frac{df}{2}\right)}x^{\frac{df}{2}-1}e^{-\frac{df}{2}}dx=2\cdot{df} \]

Ejemplo

library(ggfortify)
densidad.chicuadrado <- function(df, colour = NULL, p = NULL) ggdistribution(dchisq, seq(0, 6*sqrt(2*df), 0.1), df = df, colour = colour, p = p)

densidad.chicuadrado(df = 1, colour = "black", p = densidad.chicuadrado(df = 3, colour = "blue", p = densidad.chicuadrado(df = 5, colour = "green", p = densidad.chicuadrado(df = 7, colour = "red"))))

library(ggfortify)
distribucion.chicuadrado <- function(df, colour = NULL, p = NULL) ggdistribution(pchisq, seq(0, 6*sqrt(2*df), 0.1), df = df, colour = colour, p = p)

distribucion.chicuadrado(df = 1, colour = "black", p = distribucion.chicuadrado(df = 3, colour = "blue", p = distribucion.chicuadrado(df = 5, colour = "green", p = distribucion.chicuadrado(df = 7, colour = "red"))))

Distribución de probabilidad F de Fischer \(F_{m,n}\)

Es una distribución de probabilidad continua. También se le conoce como distribución F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribución F de Fisher-Snedecor (por Ronald Fisher).

Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente cociente:

\[F={\frac {X_{1}/m}{X_{2}/n}}\]

En donde

\(X_{1}\) y \(X_{2}\) siguen una distribución chi-cuadrado con \(m\) y d2 grados de libertad respectivamente, y
\(m\) y \(n\) son independientes desde el punto de vista estadístico.

Función de probabilidades \(f_{X}\)

\[ P(X=x)=\frac{\sqrt{\frac{\left({df1}\cdot{x}\right)^{{df1}}{{df2}}^{{df2}}}{\left({df1}\cdot{x}+{df2}\right)^{{df1}+{df2}}}}}{{x}\cdot\mathcal{B}\left(\frac{{df1}}{2},\frac{{df2}}{2}\right)}\text{ con }0{\leq}x{\leq}\infty\text{, }{df1}>0\text{ y }{df2}>0 \]

args(df)

## function (x, df1, df2, ncp, log = FALSE) 
## NULL

Esperanza \(\mu_{x}\)

\[ \mu_{x}=\int_{x=-\infty}^{\infty}x{\cdot}\frac{\sqrt{\frac{\left({df1}\cdot{x}\right)^{{df1}}{{df2}}^{{df2}}}{\left({df1}\cdot{x}+{df2}\right)^{{df1}+{df2}}}}}{{x}\cdot\mathcal{B}\left(\frac{{df1}}{2},\frac{{df2}}{2}\right)}dx=\frac{{df2}}{{df2}-2}\text{ para }df2>2 \]

Varianza \(\sigma_{x}^{2}\)

\[ \sigma_{x}^{2}=\int_{x=-\infty}^{\infty}\left(x-\mu_{x}\right)^{2}{\cdot}\frac{\sqrt{\frac{\left({df1}\cdot{x}\right)^{{df1}}{{df2}}^{{df2}}}{\left({df1}\cdot{x}+{df2}\right)^{{df1}+{df2}}}}}{{x}\cdot\mathcal{B}\left(\frac{{df1}}{2},\frac{{df2}}{2}\right)}dx=\frac{2\cdot{df2}^{2}\left({df1}+{df2}-2\right)}{{df1}\left({df2-2}\right)^{2}\left({df2}-4\right)}\text{ para }df2>4 \]

Ejemplo

library(ggfortify)
densidad.F <- function(df1, df2, colour = NULL, p = NULL) ggdistribution(df, seq(0.01, 6*sqrt(df1/(df2-2)), 0.1), df1 = df1, df2 = df2, colour = colour, p = p)

densidad.F(df1 = 1, df2 = 3, colour = "black", p = densidad.F(df1 = 5, df2 = 7, colour = "blue", p = densidad.F(df1 = 11, df2 = 13, colour = "green", p = densidad.F(df1 = 17, df2 = 19, colour = "red"))))

library(ggfortify)
distribucion.F <- function(df1, df2, colour = NULL, p = NULL) ggdistribution(pf, seq(0, 6*sqrt(df1/(df2-2)), 0.1), df1 = df1, df2 = df2, colour = colour, p = p)

distribucion.F(df1 = 1, df2 = 3, colour = "black", p = distribucion.F(df1 = 5, df2 = 7, colour = "blue", p = distribucion.F(df1 = 11, df2 = 13, colour = "green", p = distribucion.F(df1 = 17, df2 = 19, colour = "red"))))

Distribución de probabilidad uniforme \(U(a,b)\)

Familia de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, tales que para cada miembro de la familia, todos los intervalos de igual longitud en la distribución en su rango son igualmente probables.

Función de probabilidades \(f_{X}\)

\[ P(X=x)=\frac{1}{b-a}\text{ con }a{\leq}x{\leq}b \]

args(dunif)

## function (x, min = 0, max = 1, log = FALSE) 
## NULL

Esperanza \(\mu_{x}\)

\[ \mu_{x}=\int_{0}^{\infty}x{\cdot}\frac{1}{b-a}dx=\frac{a+b}{2} \]

Varianza \(\sigma_{x}^{2}\)

\[ \sigma_{x}^{2}=\int_{0}^{\infty}\left(x-\mu_{x}\right)^{2}{\cdot}\frac{1}{b-a}dx=\frac{(b-a)^2}{12} \]

Ejemplo

library(ggfortify)
densidad.uniforme <- function(min, max, colour = NULL, p = NULL) ggdistribution(dunif, seq(min, max, 0.1), min = min, max = max, colour = colour, p = p)

densidad.uniforme(min = 2, max = 3, colour = "black", p = densidad.uniforme(min = 3, max = 5, colour = "blue", p = densidad.uniforme(min = 5, max = 7, colour = "green", p = densidad.uniforme(min = 7, max = 11, colour = "red"))))

library(ggfortify)
distribucion.uniforme <- function(min, max, colour = NULL, p = NULL) ggdistribution(punif, seq(min, max, 0.1), min = min, max = max, colour = colour, p = p)

distribucion.uniforme(min = 2, max = 3, colour = "black", p = distribucion.uniforme(min = 3, max = 5, colour = "blue", p = distribucion.uniforme(min = 5, max = 7, colour = "green", p = distribucion.uniforme(min = 7, max = 11, colour = "red"))))

Ejercicios

\(P(X{\leq}c)\) con c = 2, a = 1 y b = 3

c <- 2

ggdistribution(dunif, seq(1, 3, 0.1), min = 1, max = 3, colour = "blue", p = ggdistribution(dunif, seq(c-0.05, c+0.05, 0.1), min = 1, max = 3, colour = "blue", fill = "blue"))

dunif(x = 2 ,min = 1, max = 3)

## [1] 0.5

\(P(X{\leq}c)\) con c = 2, a = 1 y b = 3

ggdistribution(dunif, seq(1, 3, 0.1), min = 1, max = 3, colour = "blue", p = ggdistribution(dunif, seq(1, c, 0.1), min = 1, max = 3, colour = "blue", fill = "blue"))

punif(q = 2, min = 1, max = 3, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.5

Distribución de probabilidad gamma \(gamma(\alpha,\theta)\)

Función de probabilidades \(f_{X}\)

\[ P(X=x)=\frac{1}{{scale}\cdot\Gamma(shape)}x^{shape-1}e^{-\frac{x}{{scale}}}\text{ con }0{\leq}x{\leq}\infty\text{, }{shape}>0\text{ y }{scale}>0 \]

args(dgamma)

## function (x, shape, rate = 1, scale = 1/rate, log = FALSE) 
## NULL

Esperanza \(\mu_{x}\)

\[ \mu_{x}=\int_{0}^{\infty}x{\cdot}\frac{1}{{scale}\cdot\Gamma(shape)}x^{shape-1}e^{-\frac{x}{{scale}}}dx={shape}\cdot{scale} \]

Varianza \(\sigma_{x}^{2}\)

\[ \sigma_{x}^{2}=\int_{0}^{\infty}\left(x-\mu_{x}\right)^{2}{\cdot}frac{1}{{scale}\cdot\Gamma(shape)}x^{shape-1}e^{-\frac{x}{{scale}}}dx={shape}\cdot{scale}^{2} \]

Ejemplo

library(ggfortify)
densidad.gamma <- function(shape, scale, colour = NULL, p = NULL) ggdistribution(dgamma, seq(0, 6*sqrt(shape*scale^2), 0.1), shape = shape, scale = scale, colour = colour, p = p)

densidad.gamma(shape = 2, scale = 3, colour = "black", p = densidad.gamma(shape = 3, scale = 5, colour = "blue", p = densidad.gamma(shape = 5, scale = 7, colour = "green", p = densidad.gamma(shape = 11, scale = 13, colour = "red"))))

library(ggfortify)
distribucion.gamma <- function(shape, scale, colour = NULL, p = NULL) ggdistribution(pgamma, seq(0, 6*sqrt(shape*scale^2), 0.1), shape = shape, scale = scale, colour = colour, p = p)

distribucion.gamma(shape = 2, scale = 3, colour = "black", p = distribucion.gamma(shape = 3, scale = 5, colour = "blue", p = distribucion.gamma(shape = 5, scale = 7, colour = "green", p = distribucion.gamma(shape = 7, scale = 11, colour = "red"))))

Ejercicios

\(P(X{\leq}c)\) con c = 2, shape = 2 y scale = 3

c <- 2

ggdistribution(dgamma, seq(0, 6*sqrt(1*3**2), 0.1), shape = 2, scale = 3, colour = "blue", p = ggdistribution(dgamma, seq(c-0.05, c+0.05, 0.1), shape = 2, scale = 3, colour = "blue", fill = "blue"))

dgamma(x = 2, shape = 2, scale = 3)

## [1] 0.1140927

\(P(X{\leq}c)\) con c = 2, a = 2 y b = 3

ggdistribution(dgamma, seq(0, 6*sqrt(1*3**2), 0.1), shape = 2, scale = 3, colour = "blue", p = ggdistribution(dgamma, seq(0, c, 0.1), shape = 2, scale = 3, colour = "blue", fill = "blue"))

pgamma(q = 2, shape = 2, scale = 3, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.1443048

Distribución de probabilidad beta \(beta(\alpha,\beta)\)

Función de probabilidades \(f_{X}\)

\[ P(X=x)=\frac{x^{shape1-1}(1-x)^{shape2-1}}{\mathbf{B}(shape1,shape2)}\text{ con }0{\leq}x{\leq}1\text{, }{shape1}>0\text{ y }{shape2}>0 \]

args(dbeta)

## function (x, shape1, shape2, ncp = 0, log = FALSE) 
## NULL

Esperanza \(\mu_{x}\)

\[ \mu_{x}=\int_{0}^{\infty}x{\cdot}\frac{x^{shape1-1}(1-x)^{shape2-1}}{\mathbf{B}(shape1,shape2)}dx=\frac{shape1}{shape1+shape2} \]

Varianza \(\sigma_{x}^{2}\)

\[ \sigma_{x}^{2}=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{shape1-1}(1-x)^{shape2-1}}{\mathbf{B}(shape1,shape2)}dx=\frac{{shape1}\cdot{shape2}}{(shape1+shape1+1)(shape1+shape1)^{2}}\text{ con }{shape1}>1\text{ y }{shape2}>1 \]

Ejemplo

library(ggfortify)
densidad.beta <- function(shape1, shape2, colour = NULL, p = NULL) ggdistribution(dbeta, seq(0, 9*sqrt((shape1*shape2)/((shape1+shape2+1)*(shape1+shape2)**2)), 0.01), shape1 = shape1, shape2 = shape2, colour = colour, p = p)

densidad.beta(shape1 = 1, shape2 = 1, colour = "black", p = densidad.beta(shape1 = 2, shape2 = 3, colour = "blue", p = densidad.beta(shape1 = 3, shape2 = 5, colour = "green", p = densidad.beta(shape1 = 5, shape2 = 7, colour = "red"))))

library(ggfortify)
distribucion.beta <- function(shape1, shape2, colour = NULL, p = NULL) ggdistribution(pbeta, seq(0, 9*sqrt((shape1*shape2)/((shape1+shape2+1)*(shape1+shape2)**2)), 0.01), shape1 = shape1, shape2 = shape2, colour = colour, p = p)

distribucion.beta(shape1 = 1, shape2 = 1, colour = "black", p = distribucion.beta(shape1 = 2, shape2 = 3, colour = "blue", p = distribucion.beta(shape1 = 3, shape2 = 5, colour = "green", p = distribucion.beta(shape1 = 5, shape2 = 7, colour = "red"))))

Ejercicios

\(P(X{\leq}c)\) con c = 2, shape1 = 2 y shape2 = 3

c <- 0.5

ggdistribution(dbeta, seq(0, 6*sqrt((2*3)/((2+3+1)*(2+3)**2)), 0.01), shape1 = 2, shape2 = 3, colour = "blue", p = ggdistribution(dbeta, seq(c-0.05, c+0.05, 0.01), shape1 = 2, shape2 = 3, colour = "blue", fill = "blue"))

dbeta(x = 0.5, shape1 = 2, shape2 = 3)

## [1] 1.5

\(P(X{\leq}c)\) con c = 0.5, a = 2 y b = 3

ggdistribution(dbeta, seq(0, 6*sqrt((2*3)/((2+3+1)*(2+3)**2)), 0.01), shape1 = 2, shape2 = 3, colour = "blue", p = ggdistribution(dbeta, seq(0, c, 0.01), shape1 = 2, shape2 = 3, colour = "blue", fill = "blue"))

pbeta(q = 0.5, shape1 = 2, shape2 = 3, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.6875

Distribuciones de probabilidad continuas

M Sc. Mario Gregorio Saavedra Rodríguez

2023-03-19

Introducción a las distribuciones de probabilidad