Introdução

Esta nota técnica apresenta uma derivação de limites superiores para \(\pi\) a partir de polígonos regulares circunscrito em um círculo de raio 1.

Limite superior para \(\pi\) por hexágono circunscrito

Considere a figura a seguir, contendo um polígono regular com 6 faces (hexágono) inscrito num círculo com raio com dimensão 1.

figura PI

Fig 1: Hexágono circunscrito em círculo

Pela geometria da Fig 1, podemos concluir que o perímetro do círculo \(P_c\) será dado por:

Se \(P_h\) representa o perímetro do hexágono, pode-se concluir facilmente que \(P_h>P_c\), dado que o hexágono está fora do círculo. Observando o ângulo de 30º ao dividirmos um dos seis triângulos equiláteros pela metade, temos que o perímetro do hexágono será dado por 6 vezes a tg 30º, resultando em 3,4641.Portanto,

Mas esse limite inferior pode ser melhorado, usando em lugar do hexágono, um polígono regular inscrito de 12 lados (dodecágono).

Limite superior para \(\pi\) por dodecágono circunscrito

Se considerarmos um polígono de 12 lados, encontraremos que o ângulo passará de 30º, para 15º, fazendo com que o perímetro do dodecágono, nesse caso, passe a ser 12 vezes a tg 15º, resultando em 3,2154.Portanto,

Ou, utilizando o R para os cálculos, considerando s1 o número de lados do dodecágono e s0 do hexágono, obtemos

s0<-6
s1<-2*s0
Pd<-tan((pi/6)/(s1/s0))*s1

Concluindo-se, novamente, então um melhor limite superior para \(\pi\):

Melhores limites com polígonos de mais lados

O mesmo argumento utilizado para a construção do dodecágono a partir do hexágono pode ser repetido para construção de um polígono regular inscrito de 24 faces a partir do dodecágono, e assim sucessivamente, dobrando-se a cada passo o número de faces (48, 96, 192 … ).

Para isso, pode-se considerar a seguinte expressão, lembrando que o argumento utilizado para o dodecágono foi mantido. Recessivamente, então, podemos concluir que: * \(P_n=(tan(30º)/(s_(n-1)/s_0)* S_n\) Com essa definição, \(p_n\) corresponde ao perímetro do polígono de n lados, \(s_n\) o número de lados do polígono de n lados, e \(s(0)\) o número de lados do hexágono.

Dessa forma, o limite superior de \(pi\) determinado por um polígono de 96 faces pode ser encontrado por

s0<-6
s4<-16*s0
P96<-tan((pi/6)/(s4/s0))*s4

Conclui-se, então, que o limite superior dado pelo polígono de 96 lados é * 3.1427146 \(> \pi\).

Portanto, essa relação mostra que quanto mais lados forem colocados no polígono, respeitando a expressão mostrada anteriormente, mais próximo o limite superior de \(pi\) ficará do limite inferior, evidenciado pelo fato de: