Obtenção de estimativa do limite superior para \(\pi\) por geometria

Limite superior para \(\pi\) com um círculo inscrito em um hexágono regular

Como visto na figura abaixo,o lado do hexágono pode ser encontrado por

• \(L6/2=\tan(60°/2)\)
• \(L6=2\tan(\pi/(3X2))\)

E o perímetro do hexágono será:

• \(P6=(6XL6)/2\)

L6<-2*tan(pi/(3*2))
P6<-(6*L6)/2
P6

## [1] 3.464102

Limite superior para \(\pi\) com um círculo inscrito em um dodecágono regular

Como visto na figura abaixo,o lado do dodecágono pode ser encontrado por

• \(L12/2=\tan(60°/4)\)
• \(L12=2\tan(\pi/3X4))\)

E o perímetro do hexágono será:

• \(P12=(6XL12)/2\)

L12<-2*tan(pi/(3*4))
P12<-(12*L12)/2
P12

## [1] 3.21539

Generalizando o limite superior de \(\pi\) para um polígono de n lados

Como os cálculos anteriores produzem um padrão, podemos generalizar uma fórmula para um polígono de n lados. Antes assuma: L6=> n=1; L12=> n=2; L24=> n=3 … Logo,

• \(Ln=2\tan(\pi/(3X2^n))\)

E o perímetro será

• \(Pn=(nºdeladosXLn)/2\)

Para um polígono de 96 lados,n=5

• \(L96=2\tan(\pi/(3x(2^5)))\)
• \(P96=(96XL96)/2\)

Logo, P96= 3,142715 um valor aproximado de \(\pi\)

n<-5
L96<-2*tan(pi/(3*(2^n)))

P96<-(96*L96)/2
P96

## [1] 3.142715