Modelo de Ocupación Dinámico

Diego J. Lizcano

Este documento contiene un ejemplo del modelo de ocupación de una sola especie y varias temporadas. Este modelo fue descrito por MacKenzie et. al (2003) en:

MacKenzie, D. I., J. D. Nichols, J. E. Hines, M. G. Knutson, and A. B. Franklin. 2003. Estimating site occupancy, colonization, and local extinction when a species is detected imperfectly. Ecology 84:2200–2207.

Parámetros Adicionales

Este modelo incluye dos parámetros adicionales que representan la colonización y extinción de cada sitio. Estos dos parámetros adicionales pueden ser modelados con covariables que varían año a año.

Antes de entrar en materia con el modelo dinámico vale la pena que revisemos el modelo básico de ocupación.

Recordemos el Modelo estático

Recordemos que el modelo básico de ocupación de MacKenzie et. al (2002), también es conocido como el modelo estático de ocupación. Este modelo se aplica a una sola especie, y por lo general en una sola temporada.

Donde
ψ es la ocupación y p la probabilidad de detección. Con
β como el coeficiente de la regresión para las co-variables de la ocupación y
α el coeficiente de regresión para las co-variables de la detección.

Si desean conocer en detalle el modelo estático y saber más del poder y potencial de las simulaciones en ecología, les recomiendo seguir el Tutorial Ubicado en este enlace.

Recordemos la forma de la distribución Bernoulli!

La distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático suizo Jacob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (q=1-p).

La distribución de Bernoulli es un caso particular de la distribución binomial, pero con solo dos posibles resultados (éxito o fracaso) unos y ceros.

El proceso Bernoulli es el más simple proceso aleatorio que existe! Imagínemelo como algo tan sencillo como una secuencia de lanzamientos de una moneda. Donde un solo lanzamiento es un “trial” y muchos lanzamientos componen el proceso.

Usemos el siguiente código ejecutándolo varias veces y cambiando los parámetros para entender su efecto en el resultado.

R source

library(ggplot2)
ni<-10 # numero de datos
pi<- 0.5 # probabilidad (~proporcion de unos)
# Generemos datos con esa informacion 
daber<-data.frame(estimado=rbinom(ni, 1, pi)) 
# Grafiquemos 
library(ggplot2)
ggplot(daber, aes(x=estimado)) + 
    geom_histogram(aes(y=..density..), # Histograma y densidad 
                   binwidth=.1, # Ancho del bin
                   colour="black", fill="white") + 
        geom_vline(aes(xintercept=mean(estimado, na.rm=T)), 
          color="blue", linetype="dashed", size=1) # media en azul

Si desean conocer más detalles de la distribución Bernoulli les recomiendo la muy buena explicación de jbstatistics

Y si quieren aún más detalles visiten la clase del profesor Tsitsiklis del MIT.

Los Parámetros de los modelos

Modelo estatico:

z_i ∼ Bernoulli(ψ_i) Proceso Ecológico

y_ij ∼ Bernoulli(z_i * p_ij) Proceso de Observación

con sitio i durante el muestreo j

De forma Lineal

logit(Ψi) = α0 + α1xi1 + . . . + αUxiU.

logit(pij) = β0 + β1xi1 + . . . + βUxiU + βU+1yij1 + . . . + βU+V yijV.

Modelo Dinámico

z_it ∼ Bernoulli(ψ_i, t) Proceso Ecológico

y_ijt ∼ Bernoulli(z_i * p_i, tj) Proceso de Observación

con sitio i durante el muestreo j en el tiempo t (años)

Modelo Dinámico considerando colonización y extinción

z_it ∼ Bernoulli(z_{i, t − 1ϕit} + (1 − z_{i, t − 1})γ_i, t) Proceso Ecológico

y_ijt ∼ Bernoulli(z_it * p_ijt) Proceso de Observación

De forma Lineal

logit(Ψi,1) = α0 + α1xi1 + . . . + αUxiU.

Ψi,t|zi,t−1 = zi,t−1 × (1 −ϵ_i,t−1) + (1 − zi,t−1) × γ_i,t−1, for t > 1.

// [[Rcpp::export]]
NumericVector timesTwo(NumericVector x) {
    return x * 2;
}

You can write math expressions, e.g. Y = Xβ + ϵ, footnotes¹, and tables, e.g. using knitr::kable().

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