Pronóstico puntual
Estimación Puntual
Una vez estimado el modelo las predicciones para un conjunto de valores de los regresores, \(\color{red}{[X’s]}\), se obtiene a partir de la expresión:
\(\color{green}{\hat{Y}_m} = \color{red}{X'_m}*\color{green}{\hat{\beta}}\)
Donde: \[\color{red}{X'_m=\begin{bmatrix}
1 & x_1 & x_2 & ... & x_k
\end{bmatrix}}\]
\(\color{red}{\text{Es el conjunto de valores para los regresores,}}\) \(\color{red}{\text{que serán usados para generar el pronóstico}}\) \(\color{green}{\hat{Y}_m}\).
\(\color{green}{\hat\beta}\) es el estimador MCO, del modelo ajustado.
Intervalos de confianza
Intervalo de confianza para pronósticos individuales \(\hat{Y}_m\)
- El \(\color{green}{\text{pronóstico puntual}}\) por si sólo, no es totalmente útil, \(\color{red}{\text{si no se brinda un marco de referencia}}\) para evaluar su volatilidad,
es decir una medida aproximada del grado de incertidumbre bajo el cual se implementa.
El intervalo de confianza, para una predicción individual se construye de la siguiente manera:
\[\color{purple}{IC_{\hat{Y}_m}^{1-\alpha}:\hat{Y}_m \pm t_{\alpha /2,n-k}*\hat\sigma*\sqrt{1+X'_m[X'X]^{-1}X_m}}\] Donde \(\color{purple}{\hat\sigma}\) es el error estándar de estimación del modelo, el modelo tiene \(\color{purple}{k}\) parámetros.
Intervalo de Confianza para la media \(E[Y_m]\)
- En algunos casos interesa obtener el pronóstico del valor esperado de la variable dependiente, condicionada a los valores de los regresores, en ese caso la formula es ligeramente diferente.
El intervalo de confianza, para el valor esperado de Y se construye de la siguiente manera:
\[\color{purple}{IC_{{E[Y}_m]}^{1-\alpha}:\hat{Y}_m \pm t_{\alpha /2,n-k}*\hat\sigma*\sqrt{X'_m[X'X]^{-1}X_m}}\]
Ejemplo de Pronóstico en R
Pronostico del precio de casas (medv) en Boston, descripción del dataframe en: descripción de variables
\[
\begin{aligned}
\text{medv} &= \alpha + \beta_{1}(\text{crim}) + \beta_{2}(\text{zn}) + \beta_{3}(\text{indus})\ + \\
&\quad \beta_{4}(\text{chas}_{\text{1}}) + \beta_{5}(\text{nox}) + \beta_{6}(\text{rm}) + \beta_{7}(\text{age})\ + \\
&\quad \beta_{8}(\text{dis}) + \beta_{9}(\text{rad}) + \beta_{10}(\text{tax}) + \beta_{11}(\text{ptratio})\ + \\
&\quad \beta_{12}(\text{b}) + \beta_{13}(\text{lstat}) + \epsilon
\end{aligned}
\]
##
## t test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 36.45948839 5.10345881 7.1441 0.0000000000032834 ***
## crim -0.10801136 0.03286499 -3.2865 0.0010868 **
## zn 0.04642046 0.01372746 3.3816 0.0007781 ***
## indus 0.02055863 0.06149569 0.3343 0.7382881
## chas1 2.68673382 0.86157976 3.1184 0.0019250 **
## nox -17.76661123 3.81974371 -4.6513 0.0000042456438076 ***
## rm 3.80986521 0.41792525 9.1161 < 0.00000000000000022 ***
## age 0.00069222 0.01320978 0.0524 0.9582293
## dis -1.47556685 0.19945473 -7.3980 0.0000000000006013 ***
## rad 0.30604948 0.06634644 4.6129 0.0000050705290227 ***
## tax -0.01233459 0.00376054 -3.2800 0.0011116 **
## ptratio -0.95274723 0.13082676 -7.2825 0.0000000000013088 ***
## b 0.00931168 0.00268596 3.4668 0.0005729 ***
## lstat -0.52475838 0.05071528 -10.3471 < 0.00000000000000022 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Introducción a la Simulación
Simulación: proceso de aplicación de un modelo estadistico o matemático , con el proposito de generar proyecciones de valores conocidos de la variable endógena, con información de las variables exógenas no utilizadas en la construcción del modelo para constrastar su capacidad predictiva.
Evaluación de Pronósticos
Medidas de Performance [Desempeño] para la predicción:
Para todas las medidas, se tiene que:
\(\color{blue}{\hat{Y}_m}\): son los valores simulados [pronosticados] por el modelo.
\(\color{blue}{Y_a}\): son los valores reales de la variable dependiente no incluidos en la estimación del modelo.
\(\color{blue}{m}\): Es el número de observaciones no incluidas en la estimación del modelo.
- Raíz del Error Cuadrático Medio [RECM] [Root Mean Square Deviation, RMSD]:
\[\color{green}{RMSD=\sqrt\frac{\sum_{j=1}^{m}(\hat{Y}_{j,m}-Y_{j,a})^2}{m}}\]
- Desviación Absoluta Media [DAM] [Mean Absolut Error, MAE]:
\[\color{green}{MAE = \frac{\sum_{j=1}^{m}\mid\hat{Y}_{j,m}-Y_{j,a}\mid}{m}}\]
- Error Porcentual Absoluto Medio [EPAM] [Mean Percentage Absolute Error, MAPE]:
\[\color{green}{MAPE = \frac{\sum_{j=1}^{m}\mid(\hat{Y}_{j,m}-Y_{j,a})/Y_{j,a}\mid}{m}*100}\]
- Coeficiente de U de Theil
\[\color{green}{U_{Theil}=\frac{\sqrt{\frac{\sum_{j=1}^{m}(\hat{Y}_{j,m}-Y_{j,a})^2}{m}}}{\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\hat{Y}_{j,m}^2}+\sqrt{\sum_{j=1}^{m}{Y}_{j,a}^2}}}\]
\[\color{green}{U^M=\frac{(\bar{\hat{Y}}_{j,m}-\bar{Y}_{j,a})^2}{{\sqrt{\sum_{j=1}^{m}(\hat{Y}_{j,m}-Y_{j,a})^2}}/m}}\]
- \(\color{red}{\text{Proporción de Varianza}}\) [Variance Proportion]
\[\color{green}{U^S=\frac{(\sigma_{\hat{Y}_{m}}-\sigma_{Y_a})^2}{{\sqrt{\sum_{j=1}^{m}(\hat{Y}_{j,m}-Y_{j,a})^2}}/m}}\]
- \(\color{red}{\text{Proporción de Covarianza}}\) [Covariance Proportion]
\[\color{green}{U^S=\frac{2*(1-\rho)*\sigma_{{\hat{Y}}_{m}}*\sigma_{{Y}_{a}}}{{\sqrt{\sum_{j=1}^{m}(\hat{Y}_{j,m}-Y_{j,a})^2}}/m}}\]
