Solucionario_T9
Mateo Linares
8/7/2020
Ejercicio 1
Describa de la manera más formal pero solo con un p´arrafo cada una de las palabras clave en (Griffiths, Hill, & Judge, 1993, pp. 639)- Forecasting: Estimación de la variable \(y_t\) para los periodos futuros \(T+h\) a partir de la información recopilada hasta el momento \(T\)
- Moving Average Process: Modelo en lo que el valor de la variable \(y_{t+1}\) es una media ponderada del valor presente y pasado de una perturbación aleatoria (el término de error)
- ARMA Models: Modelo que combina procesos autoregresivos con procesos de media móvil. Esto sucede principalmente cuando las funciones de autocorrelación parcial y ordinaria no favorecen alguno de los dos procesos en particular.
- Invertible Process: Los procesos AR y MA están relacionados en la medida que un AR(1) se puede expresar como un MA infinito. los parámetros estimados deben ser menores a 1 en términos absolutos, hecho que garantiza la convergencia a una progresión geométrica a la sumatoria de los parametros cuando se pasa de un AR a un MA. A su vez esto garantiza la estabilidad del modelo y que la varianza no explote.
- Time-Series Models: Modelos que relacionan los valores actuales de una variable únicamente con los valores pasados de si misma o con los valores presentes y pasados de los términos de perturbación
- Autoregresive Models: Modelo en el que la variable \(y_t\) depende únicamente de sus valores pasados y una media (que puede ser cero)
- ARIMA Models: Los modelos Autoregresivos y de Media móvil requeren ser estacionarios (media y varianza tiempo invariantes) para garantizar la invertibilidad del polinomio (que los parametros sean menores a 1 en términos absolutos), sin embargo, cuando las series presentan tendencia al menos un parámetro no cumplirá con esta condicion, bien sea por una tendencia determinÃstica en el tiempo, o por una dependencia del valor pasado con un parámetro igual a 1. Este problema se soluciona diferenciando las series, es decir, restandole el valor anterior a cada dato, esto se conoce como serie integrada y es lo que corresponde a la I en los modelos ARIMA
Ejercicio 2
Realice todos los Ejercicios de (Griffiths et al., 1993, pp. 677-678)
20.1
Consider the AR(1) process in equation 20.3.1. Define a new random variable \(y_t^*=y_t-\mu\), and show that \(y_t^*\) have the same variances, covariances, and autocorrelations.
El modelo 20.3.1 se asume estacionario en media y en varianza, pues \(\delta\) es una constante, redefiniendo el modelo en términos de \(y_t^*\):
\(y_t=\delta+\theta_1t_{t-1}+e_t\)
\(y_t^*=\delta-\mu+\theta_1t_{t-1}+e_t\)
Calculando la varianza
\(var(y_t^*)=var(\delta-\mu+\theta_1t_{t-1}+e_t)\)
Pero como \(\mu\) y \(\delta\) son constantes, su varianza es cero y el calculo se reduce a:
\(var(y_t^*)=var(\theta_1t_{t-1}+e_t)\)
Que es la misma expresion de la varianza para \(y_t\), por lo que la varianza será la misma
\(\sigma_y ^2=\frac{\sigma^2_e}{1-\theta_1^2}\)
En el caso de las covarianzas, se especificarÃan asÃ:
\(cov(y_t^*,y_{t-1}^*)=E[y_t^*-E(y_t^*)][y_{t-1}^*-E(y_{t-1}^*)]\)
El valor esperado de \(y_t^*\) serÃa
\(E[y_t^*]=\frac{\delta -\mu}{1-\theta_1}\)
Por lo que:
\(cov(y_t^*,y_{t-1}^*)=E[y_t^*-\frac{\delta -\mu}{1-\theta_1}][y_{t-1}^*-\frac{\delta -\mu}{1-\theta_1}]\)
\(cov(y_t^*,y_{t-1}^*)=E[y_t^*y_{t-1}^*-\frac{y_t^*(\delta -\mu)}{1-\theta_1}-\frac{y_{t-1}^*(\delta -\mu)}{1-\theta_1}+\frac{(\delta -\mu)^2}{(1-\theta_1)^2}]\)
Simplificando
\(cov(y_t^*,y_{t-1}^*)=E[y_t^*y_{t-1}^*-2\frac{y_t^*(\delta -\mu)}{1-\theta_1}+\frac{(\delta -\mu)^2}{(1-\theta_1)^2}]\)
Expandimos \(y_t^*\)
\(cov(y_t^*,y_{t-1}^*)=E[(\delta -\mu)y_{t-1}^*-2\frac{(\delta -\mu)^2}{1-\theta_1}-2\frac{\theta y_{t-1}^*(\delta -\mu)}{1-\theta_1}+\theta_1 \sigma^2_y+\frac{(\delta -\mu)^2}{(1-\theta_1)^2}]\)
Como el valor esperado de una multiplicación es igual a la multiplicación de los valores esperados de cada término, podemos reemplazar \(y_{t-1}^*\) por la media
\(cov(y_t^*,y_{t-1}^*)=E[\frac{(\delta -\mu)^2}{1-\theta_1}-2\frac{(\delta -\mu)^2}{1-\theta_1}-2\frac{\theta (\delta -\mu)^2}{(1-\theta_1)^2}+\theta_1 \sigma^2_y+\frac{(\delta -\mu)^2}{(1-\theta_1)^2}]\)
Reordenando términos:
\(cov(y_t^*,y_{t-1}^*)=E[\theta_1 \sigma^2_y-\frac{(\delta -\mu)^2}{1-\theta_1}-2\frac{\theta (\delta -\mu)^2}{(1-\theta_1)^2}+\frac{(\delta -\mu)^2}{(1-\theta_1)^2}]\)
En el modelo de 20.3.1 se asumÃa que la media era igual a cero, por lo que \(\delta = 0\), en este caso, hacer el mismo supuesto implicarÃa \(\delta - \mu=0\) con lo cual se obtendrÃa el mismo resultado de 20.3.1
\(cov(y_t^*,y_{t-1}^*)=\theta_1 \sigma^2_y\)
y como las correlaciones son las autocovarianzas dividias en la varianza, estas serán iguales por construcción
20.2
Show that the autocorrelation function of the MA(2) statistical model of equation 20.4.4a is given by equation 20.4.5.
El modelo MA(2) de 20.4.4a es:
\(y_y=\mu +e_t+\alpha_1 e_{t-1}+\alpha_2 e_{t-2}\)
y la ecuación 20.4.5 es:
\(\rho_k=\begin{Bmatrix}\frac{\sum^{q-k}_{i=0}\alpha_i\alpha_{i+k}}{\sum^{q}_{i=0}\alpha_i^2} & for & k=0,1,2,...,q\\ 0 & for & k>q \end{Bmatrix}\)
Para comprobarlo simplemente calculamos con 20.4.5 las correlaciones de orden 1, 2, y 3 con 20.4.5 y las comparamos con las presentadas en 20.4.4f. Tomemos en primer lugar la autocorrelación de orden 1
\(\rho_1=\frac{\alpha_0\alpha_1+\alpha_1\alpha_2}{\alpha_0^2+\alpha_1^2+\alpha_2^2}\)
Considerando que si \(\alpha_1\) es el que acompaña a \(e_{t-1}\) y \(\alpha_2\) el que acompaña a \(e_{t-2}\) entonces \(\alpha_0\) debe ser el parámetro que acompaña a \(e_t\), que en este caso vale uno, con lo cual se puede reemplazar obteniendo:
\(\rho_1=\frac{\alpha_1+\alpha_1\alpha_2}{1+\alpha_1^2+\alpha_2^2}\)
Factorizando \(\alpha_1\) en el numerador se llega al mismo resultado que en 20.4.4f
\(\rho_1=\frac{\alpha_1(1+\alpha_2)}{1+\alpha_1^2+\alpha_2^2}\)
Tomemos ahora el caso de la autocorrelación de orden 2:
\(\rho_2=\frac{\alpha_0\alpha_2}{\alpha_0^2+\alpha_1^2+\alpha_2^2}\)
En este caso, como partimos de i=0, el i+k serÃa igual a 2, y ya no podrÃamos incluir más elementos en la sumatoria. Adicionalmente, como \(\alpha_0=1\) la expresión se reduce a:
\(\rho_2=\frac{\alpha_2}{1+\alpha_1^2+\alpha_2^2}\)
Que es la misma que aparece en 20.4.4f. Finalmente, para la autocorrelación de orden 3, como estas se definen \(\rho_\tau=\gamma_\tau / \gamma_0\) y como \(\gamma_3=0\) entonces \(\rho_3=0\) comprobandose asà la ecuación 20.4.5
20.3
Derive the covariances \(\gamma_k\) of the ARMA(1, 1) statistical model given in equation 20.5.2 and show that the autocorrelation function is given by equation 20.5.3
La ecuación 20.5.2 viene dada por:
\(y_t=\delta+\theta_1y_{t-1}+e_t+\alpha_1e_{t-1}\)
Es decir que \(y_{t-1}\) se podrÃa escribir como:
\(y_{t-1}=\delta+\theta_1y_{t-2}+e_{t-1}+\alpha_1e_{t-2}\)
Reemplazando en la primera ecuación:
\(y_t=\delta+\theta_1\delta+\theta_1^2y_{t-2}+\theta_1e_{t-1}+\theta_1 \alpha_1e_{t-2}+e_t+\alpha_1e_{t-1}\)
si hacemos este mismo reemplazo pero con \(y_{t-2}\)
\(y_t=\delta+\theta_1\delta+\theta_1^2\delta+\theta_1^3y_{t-3}+\theta_1^2e_{t-2}+\theta_1^2\alpha_1e_{t-3}+\theta_1e_{t-1}+\theta_1 \alpha_1e_{t-2}+e_t+\alpha_1e_{t-1}\)
Por lo que generalizando se puede escribir:
\(y_t=\delta \sum_{i=0}^{j}\theta^j+\alpha_1 \sum_{i=0}^{j} \theta^{j-1}e_{t-j}+\sum_{i=o}^j\theta^je_{t-j}\)
El valor esperado serÃa: \(y_t=\frac{\delta}{1-\theta_1}\)
La varianza, o \(\gamma_0\) serÃa:
\(Var(y_t)=E[y_t-E(y_t)][y_t-E(y_t)]\)
Reemplazando:
\(Var(y_t)=E[(\frac{\delta}{1-\theta_1}+\alpha_1 \sum_{i=0}^{j} \theta^{j-1}e_{t-j}+\sum_{i=o}^j\theta^je_{t-j}-\frac{\delta}{1-\theta_1})^2]\)
Es decir:
\(Var(y_t)=E[(\alpha_1 \sum_{i=0}^{j} \theta^{j-1}e_{t-j}+\sum_{i=o}^j\theta^je_{t-j})^2]\)
Resolviendo:
\(Var(y_t)=\frac{\alpha_1^2\sigma^2_e}{(1-\theta_1)^2}+\frac{\alpha_1 \theta_1 \sigma^2_e}{(1-\theta_1)^2}+\frac{\alpha_1 \theta_1 \sigma^2_e}{(1-\theta_1)^2}+\frac{\sigma^2_e}{(1-\theta_1)^2}\)
Agrupando términos:
\(Var(y_t)=\frac{\alpha_1^2\sigma^2_e}{(1-\theta_1)^2}+\frac{2\alpha_1 \theta_1 \sigma^2_e}{(1-\theta_1)^2}+\frac{\sigma^2_e}{(1-\theta_1)^2}\)
Factorizando \(\sigma_e^2\) se llega al mismo resultado de \(\gamma_0\) en el libro
\(Var(y_t)=(\frac{\alpha_1^2+2\alpha_1\theta_1+1}{(1-\theta_1)^2})\sigma_e^2\)
Ahora si calculamos la autocovarianza de orden 1
\(\gamma_1=E[(y_{t-1}-E[y_{t-1}])(y_t-E[y_t])]=\)
\(\gamma_1=E[(\alpha_1 \sum_{i=0}^{j-1} \theta^{j-2}e_{t-j}+\sum_{i=o}^{j-1}\theta^{j}e_{t-j})(\alpha_1 \sum_{i=0}^{j} \theta^{j-1}e_{t-j}+\sum_{i=o}^j\theta^je_{t-j})]\)
\(\gamma_1=\frac{\alpha^2\theta_1\sigma^2_e}{(1-\theta_1)^2}+\frac{\alpha\theta_1^2\sigma^2_e}{(1-\theta_1)^2}+\frac{\alpha\theta_1\sigma^2_e}{(1-\theta_1)^2}+\frac{\theta_1\sigma^2_e}{(1-\theta_1)^2}\)
Factorizando se llega al mismo resultado que en el libro
\(\gamma_1=\frac{\alpha^2\theta_1\sigma^2_e+\alpha\theta_1^2\sigma^2_e+\alpha\theta_1\sigma^2_e+\theta_1\sigma^2_e}{(1-\theta_1)^2}\)
\(\gamma_1=(\frac{(1+\alpha\theta_1)(\theta_1+\alpha)}{(1-\theta_1)^2})\sigma_e^2\)
Por lo que se cumplira para todos los \(\gamma_k\) y como tanto la varianza como las autocovarianzas son las mismas, tambien lo será la autocorrelación:
\(\rho_1=\frac{\gamma_1}{\gamma_0}\)
Reemplazando:
\(\rho_1=\frac{(\frac{(1+\alpha\theta_1)(\theta_1+\alpha)}{(1-\theta_1)^2})\sigma_e^2}{(\frac{\alpha_1^2+2\alpha_1\theta_1+1}{(1-\theta_1)^2})\sigma_e^2}\)
Simplificando:
\(\rho_1=\frac{(\frac{(1+\alpha\theta_1)(\theta_1+\alpha)}{(1-\theta_1)^2})}{(\frac{\alpha_1^2+2\alpha_1\theta_1+1}{(1-\theta_1)^2})}\)
\(\rho_1=\frac{(1+\alpha\theta_1)(\theta_1+\alpha)}{(\alpha_1^2+2\alpha_1\theta_1+1)}\)
Que es el mismo resultado en 20.5.3
20.4
Consider the random walk process in equation 20.6.1. Using your computer software, and guided by the examples in your computer manual, construct and plot \(T=1000\) values of \(y_t\), assuming \(y_T=0\). Repeat this process several times using different sets of random disturbances.
La ecuación 20.6.1 viene dada por:
\(y_t=y_{t-1}+e_t\)
Que se podrÃa expresar como:
\(y_t-y_{t-1}=e_t\)
Es decir que la serie es estacionaria en diferencias, e igual a un termino de perturbación igualmente estacionario con media cero y varianza constante, en ese sentido podemos simular la serie prumero simulando los errores y luego agregandolos
library(ggplot2)## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 3.6.3library(dplyr)## Warning: package 'dplyr' was built under R version 3.6.3##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, unionsimulacion<-function(T,sd){
#Simulacion de los errores
e1<-rnorm(T, mean=0,sd=sd)
e1<-matrix(e1)
#creación de Y_t
yt<-matrix(0,nrow=T,ncol=1)
# Actualizacion de valores de y_t a partir de los errores
for(i in 1:T){
if(i==1){yt[i,1]<-0}else{
yt[i,1]<-yt[i-1,1]-e1[i-1,1]}
}
#Creación de una variable tiempo decreciente ya que, el primer valor de yt es el que está valiendo 0 y este debe representar el presente, no el primer dato
time<-seq(1000, 1)
#Generamos los errores:
et<-yt-lag(yt,n=1)
#consolidamos en un data frame
df<-data.frame(time,yt,et)
#Graficamos
grafico<-ggplot(data=df,aes(x=time, y=yt))+geom_line()
salida<-list()
salida$g<-grafico
salida$df<-df
return(salida)
}
#miramos una primera simulacion
yt1<-simulacion(1000,0.6)
yt1$g
#una segunda
yt2<-simulacion(1000,0.6)
yt2$g
#una tercera
yt3<-simulacion(1000,0.6)
yt3$g
Se observa que a pesar de conservar la misma varianza en el error, la tendencia no siempre es la misma
20.5
Show that the time series \(e_t\) formed of independent and identically distributed \(N(0, \sigma^2_e)\) random variables is stationary
library(tseries)## Warning: package 'tseries' was built under R version 3.6.3## Registered S3 method overwritten by 'xts':
## method from
## as.zoo.xts zoo## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
## method from
## as.zoo.data.frame zoo#residuos serie 1
adf.test(yt1$df$et[-1])## Warning in adf.test(yt1$df$et[-1]): p-value smaller than printed p-value##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: yt1$df$et[-1]
## Dickey-Fuller = -9.9802, Lag order = 9, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary#residuos serie 2
adf.test(yt2$df$et[-1])## Warning in adf.test(yt2$df$et[-1]): p-value smaller than printed p-value##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: yt2$df$et[-1]
## Dickey-Fuller = -10.799, Lag order = 9, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary#residuos serie 3
adf.test(yt3$df$et[-1])## Warning in adf.test(yt3$df$et[-1]): p-value smaller than printed p-value##
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## data: yt3$df$et[-1]
## Dickey-Fuller = -10.341, Lag order = 9, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationaryEn todos los casos se confirma la estacionareidad.
20.6
Consider the U.S. personal consumption data illustrated in Figure 20.2. Construct the sample autocorrelation functions for the first and the second differences of the data. What order of differencing appears appropriate? Explain. (Hint: Plot the differenced series)
Generamos la serie en primeras y segundas diferencias
personal_c$fd<-personal_c$P_C-lag(personal_c$P_C,1)
prmeras_diferencias<-ggplot(personal_c,aes(x=agno, y=fd, group = 1))+geom_line()
prmeras_diferencias## Warning: Removed 1 row(s) containing missing values (geom_path).
personal_c$sd<-personal_c$fd-lag(personal_c$fd,1)
segundas_diferencias<-ggplot(personal_c,aes(x=agno, y=sd, group = 1))+geom_line()
segundas_diferencias## Warning: Removed 2 row(s) containing missing values (geom_path).
Creamos las funciones de autocorrelación parcial y ordinarias
#Función de autocorrelación ordinaria primeras diferencias
acf(personal_c$fd[-1])
#Función de autocorrelación parcial primeras diferencias
pacf(personal_c$fd[-1])
#Función de autocorrelación ordinaria segundas diferencias
acf(personal_c$sd[c(-1,-2)])
#Función de autocorrelación parcial segundas diferencias
pacf(personal_c$sd[c(-1,-2)])
Parece ser más apropiado las segundas diferencias ya que la varianza en primeras diferencias es cada vez más grande
20.7
Define each of the following terms:- stationary process: Proceso con media y varianza que no varÃan en el tiempo
- invertible process: Como se definió en el ejercicio 1, hace referencia a cuando las raices del polinomio caracterÃstico del proceso son menores a 1, ello garantiza la convergencia de las sumatorias a una progresión geometrica cuando se expresa un AR en función solo de los errores, como un MA infinito
- random walk: Proceso en el que el valor presente de una variable depende únicamente de su valor inmediatamente anterior y una perturbación
- integrated process: Proceso estacionario al rededor de una tendencia, este se hace completamente estacionario al expresarlo en diferencias
20.8
For the general ARMA(p, q) model, the forecast error variance can be constructed as follows. Define the parameters \(\phi_i\) as
\(\phi_1= \alpha_1+\theta_a\)
\(\phi_n=\begin{Bmatrix}\alpha_n+\sum^{min(n,p)}_{i=1}\theta_i \phi_{n-1} &for&n=1,2,...,q\\ \sum^{min(n,p)}_{i=1}\theta_i \phi_{n-1}&for&n>q\end{Bmatrix}\)
Then the h-period-ahead forecast variance for an ARMA(p,q) model is
\(\sigma^2_h=\sigma^2_e \sum^{h-1}_{i=0}\phi_i^2\)
where \(\phi_0=1\). Use this result to verify the forecast error variances for h=1 and 2 periods ahead forecasts for the AR(1), MA(1), and ARMA(1,1) models given in Section 20.8.1.
Tomemos por un momento el ejemplo del modelo ARMA(1,1) de la sección 20.8.1c
\(y_t=\delta + \theta_1y_{t-1}+e_t+\alpha_1e_{t-1}\)
En ese caso la varianza en el momento h=1 harÃa que la sumatoria fuera solo cuando i=0, es decir \(\phi_0^2=1\) es decir que la varianza serÃa tan solo \(\sigma^2_e\) concordando con el planteamiento de la sección 20.8.1. Ahora bien, cuando h=2, la sumatoria irÃa hasta i=1 por lo que:
\(\sigma_h^2=\sigma^2(1+\phi_1^2)\)
Reemplazando
\(\sigma_h^2=\sigma^2(1+(\alpha_1+\theta_1)^2)\)
Concordando nuevamente con el resultado del libro y comprobando la validez de la generalización para la varianza del error
20.9
Assume that the MA(1) model in equation 20.4.9 is invertible, or \(|\alpha_1|<1\). Carry out the repeated substitutions, begun in equation 20.4.12, to ilustrate that the MA(1) process has an infinite AR representation.
La ecuación 20.4.12 era:
\(y_t=\alpha_1y_{t-1}-\alpha_1^2e_{t-2}+e_t\)
Definiendo:
\(e_{t-2}=y_{t-2}-\alpha_1e_{t-3}\)
\(e_{t-3}=y_{t-3}-\alpha_1e_{t-4}\)
\(e_{t-4}=y_{t-4}-\alpha_1e_{t-5}\)
Reemplazamos en \(y_t\)
\(y_t=\alpha_1y_{t-1}-\alpha_1^2y_{t-2}+\alpha_1^3e_{t-3}+e_t\)
\(y_t=\alpha_1y_{t-1}-\alpha_1^2y_{t-2}+\alpha_1^3y_{t-3}-\alpha_1^4e_{t-4}+e_t\)
\(y_t=\alpha_1y_{t-1}-\alpha_1^2y_{t-2}+\alpha_1^3y_{t-3}-\alpha_1^4y_{t-4}+\alpha_1^5e_{t-5}+e_t\)
Y asà csucesivamente la sumatoria se seguirá expandiendo al infinito, por lo que la podemos abreviar como:
\(y_t=\sum^\infty_{j=1}(-\alpha_1)^jy_{t-j}+e_t\)
Que es la espresión del AR infinito
20.10
Use the infinite AR representation for an invertible MA(1) process, derived in Exercise 20.9, to rewrite the sum of squares in equation 20.4.8 in terms of the observable random variables \(y_t,y_{t-1},...,y_1\). Why is it justifiable, in large samples, to delete terms involving the presample values \(y_0,y_{-1},...\)?
La ecuación 20.4.8 es:
\(S(\alpha_1)=\sum^T_{t=1}e_t^2=\sum_{t=1}^T(y_t-\alpha_1e_{t-1})^2\)
y de el punto anterior podemos tomar lo siguiente:
\(e_t=\sum^\infty_{j=0}(-\alpha_1)^jy_{t-j}\)
por tanto:
\(\sum^T_{t=1}e_t^2=\sum^T_{t-1}(\sum^\infty_{j=0}(-\alpha_1)^jy_{t-j})^2\)
Tiene sentido eliminar los términos más antiguos en muestra grande porque como \(|\alpha_1|<1\) en muestra grande \(\alpha_1^j\) converge a cero, y por tanto esas observaciones desaparecen.
20.11
In Table 20.6 three data series of 100 observations each are given. For each of the series do the following:-
Plot the observations against time
#serie 1 g20_11<-ggplot(data=Tabla_20_6,aes(x=Observation, y=y1))+geom_line() g20_11
#serie 2 g20_12<-ggplot(data=Tabla_20_6,aes(x=Observation, y=y2))+geom_line() g20_12
#serie 3 g20_13<-ggplot(data=Tabla_20_6,aes(x=Observation, y=y3))+geom_line() g20_13
-
Use the first T=90 observations to identify, estimate, and chech the adequacy of a Box-Jenkins time series model fitting the data.
#Tomamos solo los primeros noventa datos d90<-subset(Tabla_20_6,Tabla_20_6$Observation<=90) #Para ahorrarnos tiempo revisando las funciones de autocorrelación parcial y ordinaria para determinar el número de rezagos del AR y del MA, usamos auto.arima library(forecast)## Warning: package 'forecast' was built under R version 3.6.3#modelo serie 1 my1<-auto.arima(d90$y1) summary(my1)## Series: d90$y1 ## ARIMA(2,0,0) with non-zero mean ## ## Coefficients: ## ar1 ar2 mean ## 0.2945 0.2004 2.2868 ## s.e. 0.1044 0.1047 0.1984 ## ## sigma^2 estimated as 0.9579: log likelihood=-124.36 ## AIC=256.72 AICc=257.19 BIC=266.72 ## ## Training set error measures: ## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ## Training set -0.01235672 0.962295 0.7703042 -36.51075 59.28383 0.7732085 ## ACF1 ## Training set -0.003603379#modelo serie 2 my2<-auto.arima(d90$y2) summary(my2)## Series: d90$y2 ## ARIMA(0,0,0) with non-zero mean ## ## Coefficients: ## mean ## 11.8971 ## s.e. 0.1017 ## ## sigma^2 estimated as 0.9416: log likelihood=-124.49 ## AIC=252.99 AICc=253.13 BIC=257.99 ## ## Training set error measures: ## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ## Training set 2.289534e-15 0.9649627 0.7616122 -0.6591307 6.458147 0.7210633 ## ACF1 ## Training set 0.1248211#modelo serie 3 my3<-auto.arima(d90$y3) summary(my3)## Series: d90$y3 ## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean ## ## Coefficients: ## ar1 mean ## 0.6412 36.3128 ## s.e. 0.0814 0.2781 ## ## sigma^2 estimated as 0.9481: log likelihood=-124.56 ## AIC=255.12 AICc=255.4 BIC=262.62 ## ## Training set error measures: ## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ## Training set -0.0163132 0.9628147 0.7692718 -0.1148589 2.121003 0.8828933 ## ACF1 ## Training set 0.01162269En el caso del modelo 2, auto.arima detecta que la mejor estimación es la media porque en las funciones de autocorrelación parcial y ordinaria no hay ningun rezago que sobresalga
Acf(d90$y2)
Pacf(d90$y2)
-
Use the model developed in part (b) to construct forecast intervals for observations T=91,…,100
#Pronostico de serie 1 fy1<-forecast(my1, h=10) plot(fy1)
#Pronostico de serie 2 fy2<-forecast(my2, h=10) plot(fy2)
#Pronostico de serie 3 fy3<-forecast(my3, h=10) plot(fy3)